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湖南省2011年对口升学考试数学试题

时间:2014-03-10


机密 ★ 启用前

湖南省 2011 年普通高等学校对口招生考试

数 学 试 题
时量 120 分钟 总分:120 分 一、选择题(在本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每一小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求的) 1、不等式 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 的解集是 · · · · · · ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( (A) (?1, 2) (C) [?1, 2]
2



(B) (??, ?1) ? (2, ??) (D) (??, ?1] ? [2, ??) )

2、方程 x ? px ? q ? 0 有解的充要条件是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( (A) p ? 4q ? 0
2

(B) p ? 4q ? 0
2

(C) p ? 4q ? 0
2

(D) p ? 4q ? 0
2

3、下列函数中为指数函数的是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( (A) y ? 2 x 4、曲线 y ? sin 2 x ? (A)0 (B) y ? 2
x



(C) y ? x

2

(D) y ? log 2 x )

1 , x ?[0, ? ] 与直线 y ? 1的交点个数为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( 2
(B)1 (C)2 (D)3

5、设复数 z ? (2 ? i )i ,则下列命题正确的是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( (A) z 的实部为 2 (B) | z |? 5
2



(C) z ? 1 ? 2i

(D) z ? ?3 ? 4i
2

6、数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3n ? 2 ,则 a1 , a4 的值依次为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( (A)1,21
2 2



(B)13,46

(C)1,46

(D)3,21 )

7、已知方程

x y · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 · 9?k 4?k
(B) k ? 4 (C) k ? 9 (D) 4 ? k ? 9

(A) k ? 4

8、设 a, b 为直线, ? 为平面,则下列选项能判定 a ? ? 的条件是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( (A) a / /b, b ? ? (B) a ? b, b / /? (C) a / /b, b ? ? (D) a ? b, b ? ?



? sin ax ,x ?0 ? 9、已知函数 f ( x ) ? ? x ,在点 x ? 0 处连续,则 a ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( ? ?2 x ? 3, x ? 0 1 (A)3 (B) (C)1 (D)0 3 1 3 2 10、函数 y ? x ? 2 x ? 3x ? 5 的单调递减区间为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( 3
(A) (??,1) (B) (1,3) (C) (3, ??)





(D)(??,1) ? (3, ??)

数学试题 第 1 页 (共 4 页)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡上对应的横线上) 11、设集合 M ? {x | x ? 1}, N ? {0,1} ,则 M ? N ?
2

。 (用区间表示) 。 。

12、函数 f ( x) ?

2 ? x ? lg( x ? 1) 的定义域为

13、若二次函数 f ( x) 是偶函数,且满足 f (?1) ? ?1, f (0) ? 0 ,则 f ( x) 的表达式是

14、从 a, b, c, d 四个字母中任取 3 个,并从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 2 个,将它们 排成一列,则所有排列的种数是 (用数字作答) 。 。

15、过点(1,2)且与直线 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线的一般式为

16、设 O 是三角形 ABC 所在平面外一点,若 OA ? OC, BA ? BC 则异面直线 AC 与 BO 所成的 角度是 。

三、解答题(本大题共 7 小题,其中第 22、23 小题为选做题,共 50 分,解答应写出文字说明或 简演算步骤) 17、 (本题满分 8 分) 已知 sin(? ? ? ) ?

2 , 3

(1)求 sin ? , (2 分)

(2)求 sin 2? (cot

?

(6 分) ? tan ) 的值。 2 2

?

18、 (本题满分 8 分) 设数列 {an } 为等差数列,数列 {bn } 为等比数列, (1)若 a1 ? 3, a10 ? 39 ,求 S50 . (4 分)

(2)若 b2 ? a4 , b1 ? b2 ? 20 ,求 b4 . (4 分)

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19、 (本题满分 8 分) 已知平面上的三点 A(4,0), B(?2, 2), C (2, 4) ,D 为 AB 的中点。 (1)求 D 点的坐标。 (2 分)

(2)若向量 a ? (1, 2k ) 与 CD 垂直,求 k 的值。 (6 分)

?

??? ?

20、 (本题满分 10 分)

y 2 x2 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其焦距与长轴长之比为 ,两个焦点分别为 2 a b ? 1 5 ???? ???? F1 , F2 ,点 P 是坐标平面内一点,且 | OP |? , PF1 ? PF2 ? (O 为坐标原点) 。 2 4
(1)求椭圆的标准方程。 (4 分)

(2)过点 D ( ? , 0) 且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,在 x 轴上是否存在定点 M, 使以 AB 为直径的圆恒过这个点。若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。 (6 分)

1 3

21、 (本题满分 8 分) 日本大地震导导致核电站发生泄漏事故。3 月 21 日至 4 月 10 日,某调查机构在亚洲、欧 洲、南美、北美、非洲等地区调查了 3 万 4 千人。结果显示,地震后反对核电站建设的人数 比例为 43 ? ? ,现从该地区随机抽查 10 人, (1)估计约有多少 1 反对核电站建设。 (精确到个位) (4 分)

(2)求至少有 1 人反对核电站建设的概率。 (精确到 0.001 ) (4 分)

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四、选做题(注意:第 22、23 题任选一题作答,若全部作答,则只评阅第 22 小题。 ) 22、 (本题满分 8 分) 设 f ( x) ? x( x ? 1) ? e
? ax

, (a ? R) ,且 f ( x) 在 x ? 0 处取得极值,

(1)求 a 的值。 (4 分)

(2)设 g ( x) ?

bf ( x) 1 ,若曲线 y ? g ( x) 在 x ? 1 对应点处的切线垂直于直线 y ? x ? 2 , x 3

求 b 的值。 (4 分)

23、 (本题满分 8 分)我国铁路运输迈入高铁时代,高速铁路建设速度快、条件好,但票价高昂。 已知某高速铁路某路段每年满负荷运力为 2000 万人次,当票价为 600 元时,年实际运送量约 800 万人次,估计票价每下降 100 元,实际运送量将提高 300 万人次。 (1)设票价为 x 元,写出售票收入 y(单位:元)与票价 x 之间的函数关系式,并指明函数 的定义域。 (4 分)

(2)当票价定为多少时,售票收入最大?(4 分)

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