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福建省漳州市第一中学2013届高三上学期期末考试数学理试题


漳州一中 2012~2013 学年上学期期末考试 高三年数学科(理科)试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题: (以下每题有且只有一个正确选项,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知全集 U ? {2,3,4,5} , M ? {3,4,5} , N ? {4,5} ,则(     A. M ? N ? {4} B. M ? N ? U C. (C

U N ) ? M ? U )
1 1 D. ( ) a ? ( ) b 3 3

) D. (CU M ) ? N ? N

2.若 a、b 为任意非零实数,且 a ? b ,则下列不等式成立的是( .. A.
1 1 ? a b

B.

b ?1 a

C. lg(a ? b) ? 0

3.命题 p :函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1在 (1, ??) 上是增函数,命题 q : f ( x) ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )在

(0,??) 是减函数,则 p 是 q 的(

) D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

4.已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 2a 2 , 3a 3 , 4a 4 成等差数列,则 a3 等于( A. 0 B.

1 4

C. 1

D.

1 或1 4

5.如图,长方形的四个顶点为 O(0,0), A(4,0) , B ( 4,2),

C (0,2) , 曲线 y ? x 经过点 B, 现将一质点随机投入长方形
质点落在图中阴影区域的概率是( A.
2 3

OABC 中,则

) D.
7 12

B.

3 4

C.

4 7

D

D

6.如图所示是三棱锥 D—ABC 的三视图,若在三棱锥的直观 点 O 为线段 BC 的中点,则异面直线 DO 与 AB 所成角的余弦 ( A.
6 6
2
C 主视图 B 侧视图 C(A)

图中, 值等于
B(A)

) B.
6 3

C.

3 3

D.

5 5
2

B(D)

? 7.已知函数 f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin2 ( x ? ) ,其中 x ? R ,则下 6
中正确的是 ( )

列结论
A C

2
俯视图

A. f (x) 是最小正周期为 ? 的偶函数 C. f (x) 的最大值为 2

B. f (x) 的一条对称轴是 x ?

?
3

? 得到函数 f (x) 的图象 6 8.高一(1)班进行的演讲比赛中,共有 6 位选手参加,其中 4 位女生,2 位男生,如果 2 位男生不能连续

D.将函数 y ? 3 sin2x 的图象左移

出场,且女生甲不能排在第一个,则 6 位选手出场顺序的排法种数为( A.320 B.384 C.408 D.480

) 。

9.定义:若平面点集 A 中的任一个点 ( x0,y0 ) ,总存在正实数 r ,使得集合: —1—

B ? {( x, y) | ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? r} ? A ,则称 A 为一个开集.给出下列集合:
① ( x, y) | x 2 ? y 2 ? 4 ③?( x, y) || x ? y |? 4? 其中为开集的集合是( A.① ④ ) C.② ④ D.③ ④ ) B.② ③

?

?

②?( x, y) | x ? 2 y ? 1 ? 0?

④ ( x, y) | 0 ? x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1

?

?

10.已知函数 f ( x) ? ln A.6

2012 ex ke ,若 ? f ( ) ? 503(a ? b) ,则 a 2 ? b 2 的最小值为( e?x 2013 k ?1

B.8

C.9

D.12

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)

? 1 x ?( )    x ? 0 ) 11. f ( x) ? ? 2 ,则    f (2013 ? __________。 ? f ( x ? 4)   x ? 0 ?
12. (2 ? x ) 8 展开式中不含 x 3 项的系数的和为____________。 .. 13.以抛物线: y 2 ? 20x 的焦点为圆心,且与双曲线: _______。
2 14.若曲线 f ( x) ? x ? 3x ? a ln x 存在与直线 x ? y ? 1 ? 0 互

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线都相切的圆的方程为 16 9
E
D

C
P

相垂直的

切线,则实数 a 的取值范围是__

____。

15.如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E ,使得

A

B
运 动 :

DE ? CD ,若动点 P 从点 A 出发,沿正方形的边按如下路线

??? ? ??? ? ??? ? A ? B ? C ? D ? E ? A ? D ,其中 AP ? ? AB ? ? AE ,则下列判断中:
① 当 P 为 BC 的中点时 ? ? ? ? 2 ; ② 满足 ? ? ? ? 1 的点 P 恰有三个;

   。 , 3) ③ ? ? ? 的最大值为 3 ; ④ 若满足 ? ? ? ? k 的点 P 有且只有两个,则 k ? (1  
正确判断的序号是___________。 (请写出所有正确判断的序号)

三.解答题(共 70 分) : 16. 某高校在 2013 年考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组: 1 组 [75, 第 2 组 [80, 第 80), 85),第 3 组 [85,90),第 4 组 [90,95),第 5 组 [95,100]得到的频率分布直方图如图所示, (1)分别求第 3,4,5 组的频率; 频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 —3— 0.01 75 80 85 90 95 100 分数

(2)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试, ① 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率; ② 若第三组被抽中的学生实力相当, 在第二轮面试中获得优秀的概率均为 名获得优秀,求 X 的分布列和数学期望。

3 , 设第三组中被抽中的学生有 X 4

sin ,   ) , sin cos ,   ) , ? n cos 17.已知向量 m ? (   A  B n ? (   B  A m   ? sin 2C ,且 A 、 B 、 C 分别为 ?ABC 的
三边 a 、 b 、 c 所对的角, (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sin B, sin C 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求 c 边的长及△ ABC 的面积。 18.如图,在直角梯形 ABCP 中, AB ? BC ? 3 , AP ? 7 , CD ? AP 于D ,现将 ?PCD 沿线段 CD 折成

?

?

?

?

60 ? 的二面角 P ? CD ? A ,设 E,F,G 分别是 PD ,PC ,BC 的中点.
(1) 求证: PA // 平面 EFG ; (2) M 为线段 CD 上的一个动 若 点 M 在什么位置时,直线MF 与
A D

P
点,问

E
E P





EFG 所成的角最大?并求此最大
弦值。

F A D M C

角的余

F B G C

B

G

2 19.已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, Sn 为其前 n 项和,且满足 an ? S2n?1 ,令 bn ?

1 ,数 an ? an ?1

列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , (1)求数列 ?an ? 的通项公式及数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (2)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n) ,使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列?若存在,求出所有的 m, n 的值;若 不存在,请说明理由。

—5—

20. 已知椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l0 : x ? 4 ,A 是椭圆 C 的右顶点,点 P( x1 , y1 ) 是椭圆上异于 4 3

左、右顶点的一个动点,直线 PA 与 l 0 交于点 M 1 ,直线 l 过点 P 且与椭圆交于另一点 B( x2 , y 2 ) ,与 l 0 交于 点 M 2, (1)若直线 l 经过椭圆的左焦点 F ,且使得 AP ? AB ? 3 ,求直线 l 的方程; (2)若点 B 恰为椭圆的左顶点,问 x 轴上是否存在定点 D ,使得对变化的点 P ,以 M 1 M 2 为直径的圆总经 过点 D ,若存在,求这样的圆面积的最小值,若不存在说明理由。
?? ??

21.已知定义在 R 上的 偶 函 数 f ( x ) 的最小值为 1,当 . 时, f ( x) ? ae x , (1) 若当 x ? 0 时都有不等式: f ( x) ? kx ? 1 ? 0 恒成立, 值范围; (2)求最大的整数 m(m ? 1) ,使得存在 t ? R ,只要 有 f ( x ? t ) ? ex .

x ? [0, ??)

求实数 k 的取

x ? [1, m] ,就

—7—

漳州一中 2012~2013 学年上学期期末考试

数学(理)答案 2013.2.2
一.选择题: 1—10、 CDBDA ADCCB

二、填空题: 11、8 12、-111 13、 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 9 14、 a ? ?2 15、①②③

三、解答题: 16、解: (1)第三组的频率为 0.06 ? 5 ? 0.3 ;第四组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ; 第五组的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1 (2)①设学生甲和学生乙同时进入第二轮面试为事件M:则 P( M ) ?
1 C 28 1 ? 3 C30 145 ?? 1 144 ? 所以学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率 P ( M ) ? 1 ? 145 145 3 k 3 k 1 3? k ②由已知得 X ~ B (3, ) ,且 P ( X ? k ) ? C 3 ( ) ( ) , k ? 0,1,2,3 , 4 4 4 X 的分布列如下:

X P X 的数学期望

0

1

2

3

1 64

9 64

27 64

27 64 EX ? np ? 3 ?

3 9 ? 4 4

?? ? ?? ? ? 17、解: (1) m ? n ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ,又 ∵ m ? n ? sin 2C ,
? ∴ sin C ? sin 2C ? 2sin C cos C

∴ coC? ? s

1 , 又 ?0 ? C ? ? , 2

∴C? ?

?
3

.

(2)由已知得 sin A ? sin B ? 2sin C ,由正弦定理可知 a ? b ? 2c , 又∵ CA ? ( AB ? AC ) ? 18 ,∴ CA ? CB ? 18 , 即ab ? 36
2 2 2 由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos C ? 36

??? ??? ???? ? ?

??? ??? ? ?

∴ c ? 6.

∴ S ?ABC ?

1 1 3 absin C ? ? 36 ? ?9 3 2 2 2

18、方法一: ? (1)证明:? AD ? CD, PD ? CD,? CD ? 平面 PAD,∴ 平面PAD ? 平面ABCD ∴ CD ? 过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O,则 PO ? 平面 ABCD。 过 O 作 BC 的垂线,交 BC 于 H,分别以 OH,OD,OP 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,

? ? ?PDO 是二面角 P—PC—A 的平面角,∴ ?PDO ? 60? ,
又? PD ? 4, ∴ OP ? 2 3.OD ? 2, AO ? 1, 得 A(0,?1,0), P(0,0,2 3), D(0,2,0) ,

3 1 E (0,1, 3 ), F ( ,1, 3 ), G (3, ,0) 2 2

故 EF ? ( ,0,0), EG ? (3,?

??

3 2

??

1 ,? 3 ) , 2

—9—

设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z), 则

?3 x ? 0, ?? ?? ? ? n? EF ? 0 ? 2 ? 即? 取z ? 1, 得 n ? (0,?2 3,1) ,而 PA ? (0,?1,?2 3), ?? ?? ? n? EG ? 0, ?3x ? 1 y ? 3 z ? 0, ? ? 2 ?
? ??

n? PA ? 0 ? 2 3 ? 2 3 ? 0,? n ? PA , 又PA ? 平面EFG ,故 PA//平面 EFG。
3 ? x,?1, 3 ) ,设 MF 与平面 EFG 所成角为 ? , 2

?

?? ?

(2)解:设 M (x,2,0) ,则 MF ? (

则 sin ? ?| cos ? n, MF ?|

n ? MF | n || MF |

|?

3 3 3 13 ? ( ? x) 2 ? 4 2

故当 x ?

3 时, sin ? 取到最大值,则 ? 取到最大值,此时点 M 为线段 CD 的中点,MF 与平面 EFG 所成角 2

的余弦值 cos? ?

5 13 。 26

方法二: (1)证明:取 AD 的中点 H,连结 EH,HG。

? H,G 为 AD,BC 的中点,∴HG//CD,
又 EF//CD,∴EF//HG,∴E,F,G,H 四点共面, 又∵PA//EH,EH ? 平面 EFGH,PA ? 平面 EFGH,∴PA//平面 EFG。 (2)过 M 作 MO⊥ 平面 EFG,垂足 O,连结 OF, ?OFM 即为 MF 与平面 EFG 所成角, 因为 CD//EF,故 CD//平面 EFG,故 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离 MO 为定长, 故要使 ?OFM 最大,只要 MF 最短, 故当 MF ? CD 时,即 M 为线段 CD 中点时 , ?OFM 最大, 可求得平面 EFG 所成角的余弦值 cos? ?

5 13 。 26
2

19、解: (1)因为 {an } 是等差数列,由 an ? S2 n ?1 ?

(a1 ? a2 n?1 )(2n ? 1) ? (2n ? 1)an , 2

又因为 an ? 0 ,所以 an ? 2n ? 1,由 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
—11—

(2)由(1)知, Tn ?

n 1 m n , Tn ? ,所以 T1 ? , Tm ? , 2n ? 1 3 2m ? 1 2n ? 1

m 2 1 n m2 n ) ? ( ) ,即 ? 若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( . 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6n ? 3
解法一:由

m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ? ,可得 ? ,所以 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 ,.5u 2 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 n m

从而: 1 ?

6 6 ,又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . ? m ? 1? 2 2

故可知:当且仅当 m ? 2 , n ? 12 ,使数列 ?Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列。

解法二:因为

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , ? ? ,故 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n

从而: 1 ?

6 6 , (以下同上) 。 ? m ? 1? 2 2

20、 (1)解:由已知得椭圆 C 左焦点 F (?1,0) ,设直线 l : x ? m y ? 1(m ? 0)

6m ? (1)   ? y1 ? y 2 ? 3m 2 ? 4    ?3 x ? 4 y ? 12 ? 2 2 ? (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ? ? ? ? x ? my ? 1 ? y ? y ? ? 9    (  2) ? 1 2 3m 2 ? 4 ?
2 2

且 ? ? 0 恒成立, ∵ A(2,0) ,由 AP ? AB ? 3 ? ( x1 ? 2, y1 )(x2 ? 2, y 2 ) ? 3 ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 ? 3
?? ??

? (my1 ? 3)(my2 ? 3) ? y1 y2 ? 3 即 (m2 ? 1) y1 y2 ? 3m( y1 ? y2 ) ? 6 ? 0
将(1) (2)代入上式解得 m ?
2

15 15 ,∴m ? ? ,∴ 直线 l 的方程是: 3x ? 15y ? 3 ? 0 9 3

(2)若点 B 恰为椭圆的左顶点,即 B(?2,0) ,此时 l : y ?

y1 6 y1 ( x ? 2) ,∴M 2 (4, ) x1 ? 2 x1 ? 2

直线 PA 方程为 y ?
?? ? ?? ?

y1 2 y1 ( x ? 2) , M 1 (4, ) ,设存在点 D(t ,0) , x1 ? 2 x1 ? 2
?? ? ?? ?

使得 DM 1 ? DM 2 ? 0 ? DM 1 ? DM 2 ? 0 ? 则有 (4 ? t ) ?
2

12y1
2

2

x1 ? 4

?0

P( x1 , y1 ) 在椭圆 C 上,∴3x1 ? 4 y1 ? 12 ∴
2 2

y1
2

2

x1 ? 4

??

3 4

—13—

2 代入上式得 ( 4 ? t ) ? 12 ? ( ? ) ? 0 ,解得 t ? 1 或 7,∴D(1,0) 或 D(7,0)

3 4

6 | y1 | 2 | y1 | 12 y1 6 y1 2 y1 ? ?2 ?6 此时直径 | M 1 M 2 |?| ? |= 2 x1 ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2 2 ? x1 4 ? x1
当且仅当

2

6 y1 2 y1 ? x1 ? 2 2 ? x1

即 x1 ? 1 , P (1,? ) 时, S min ? 32 ? ? 9? 。

3 2

21、解: (1)因为 f ( x) ? ae x 为单调函数,故 f (0) ? 1 ,得 a ? 1 , 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f ( x) ? f (? x) ? e ? x ,综上: f ( x ) ? ? 所以当 x ? 0 时, g ( x) ? e ? x ? kx ? 1 ,则 g ?( x) ? k ? e ? x ① k ? 1 ,则当 x ? 0 时, ? x ? 0, e ? x ? 1,?e ? x ? ?1, k ? e ? x ? k ? 1 ? 0 , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 , 若 从而当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ,符合题意; ② k ? 1 时,则当 x ? (??,? ln k ) 时, g '( x) ? ? , g ( x) 为减函数, 若 当 x ? (? ln k ,0) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为增函数,所以 g ( x) ? g (0) ? 0 不合题意, ② ∴ 综合① 可得 k 的取值范围为 (??,1] 。 (2)因为任意 x ? [1, m] ,都有 f ( x ? t ) ? ex ,故 f (1 ? t ) ? e 且 f (m ? t ) ? em
1? t ?? 当 1 ? t ? 0 时, e ? e ,从而 1 ? t ? 1,∴ 1 ? t ? 0 ? (1?t ) ?? ? e ,从而 ?(1 ? t ) ? 1 ,∴ 2 ? t ? ?1 ,综上 ?2 ? t ? 0 , 当 1 ? t ? 0 时, e
t m ?t 故 m ? t ? 0 ,故 f (m ? t ) ? em 得: e ? em ,即存在 t ?[?2,0] ,满足 e ?

?e x , x ? 0 ? ?x ?e , x ? 0 ?

em em

? ∴

em ? {et }min ? e ?2 ,即 em ? e3m ? 0 , em

令 g ( x) ? e x ? e3 x , x ? [2, ??) ,则 g '( x) ? e x ? e3 当 x ? (2,3) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 当 x ? (3, ??) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, 又 g (3) ? ?2e ? 0 , g (2) ? ?e ? 0 , g (4) ? e (e ? 4) ? 0 , g (5) ? e (e ? 4) ? 0
3 3 3 3 2

由 此 可 见 , 方 程 g ( x) ? 0 在 区 间 [2, ??) 上 有 唯 一 解 m0 ? (4,5) , 且 当 x ?[2, m0 ] 时 g ( x) ? 0 , 当

x ?[m0 , ??) 时 g ( x) ? 0 ,? m ? Z ,故 mmax ? 4 ,此时 t ? ?2 .
下面证明: f ( x ? 2) ? e ①当 x ? [1, 2] 时,即 e
| x ?2|

? ex 对任意 x ? [1, 4] 恒成立,

2? x

? ex ,等价于 e ? xe x ,? x ? [1, 2] ,∴ ex ? e, x ? 1 , xe x ? e ?

②当 x ? [2, 4] 时,即 e 令 h( x) ? e
x ?3

x?2

? ex ,等价于 {ex?3 ? x}max ? 0

? x ,则 h '( x) ? e x?3 ? 1 ,? h( x) 在 (2,3) 上递减,在 (3, 4) 上递增,
—15—

∴ hmax ? max{h(2), h(4)},而 h(2) ? ?

1 ? 2 ? 0, h(4) ? e ? 4 ? 0 , e

综上所述, f ( x ? 2) ? ex 对任意 x ? [1, 4] 恒成立。

—17—


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