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直线与圆锥曲线的位置关系


直线与圆锥曲线的位置关系
【高考要求】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、 压轴题出现, 主要涉及位置 关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类 讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算 能力较高。 【重难点归纳】 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研

究它们的方程组成的方 程是否有实数解或实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即 应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来,相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的 关系灵活转化,往往就能事半功倍 【第一课时】 教学目标:掌握直线与圆锥曲线的三种位置关系,即会判断直线与圆锥曲线交点个数问题: 判断方程组解的个数,会简单的应用。 重点:会判断直线与圆锥曲线的三种位置关系
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难点:是消去一个未知数若得到的是关于另一未知数的一元二次方程,用根的判别式 ? 来判 断 1.例题讲解: 例:判断下列直线与圆锥曲线的位置关系,若相交或相切求出交点或切点坐标 (1) l : 2 x ? y ? 1 ? 0 与 C :

x2 ? y2 ?1 4

(相交)

(2) l : 2 x ? y ? 1 ? 0 与 C :

x2 y ? ?1 9 4

2

(相交)

2 (3) l : x ? y ? 1 ? 0 与 C : y ? 4 x

(相切)

变式训练: 1.已知直线 l :2 x ? y ? m ? 0 与椭圆 C :

x2 y ? ? 1 ,当 m 为何值时,直线 l 与椭圆 C : 4 2
(3)没有公共点?

2

(1)有两个不重合的公共点 (2)有且只有一个公共点
2

2.已知直线 y ? kx ? 2 和椭圆 相切 (3)相离?

x2 y ? ? 1, ,当 k 为何值时,此直线与椭圆:(1)相交 (2) 3 2

3. 已知直线 y ? kx ? 2 和双曲线 相切 (3)相离?

x2 ? y 2 ? 1, 当 k 为何值时, 此直线与双曲线: (1)相交(2) 4

5.例题讲解: 例:已知点 A (0,2)和抛物线 C : y 2 ? 6 x ,求过点 A 且与抛物线相切的直线 l 的方程。 变式训练: 4. (1)已知直线 x ? y ? k ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x ,当 k 为何值时,此直线与抛物线有一个 交点? (2)已知直线 kx ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x ,当 k 为何值时,此直线与抛物线有一个交 点? 需要注意的问题: (1)消元并转化为一元二次方程是否准确 (2)解一元二次不等式 (3)抛物线有一个交点的情况 (4)双曲线有一个交点的情况可以不讲(个人观点)只讲切点问题即可

解析几何最重要的思想是--------------“设而不求”
【第二课时】 教学目标: 掌握直线与圆锥曲线相交的弦长计算问题, 会由设而不求的思想及韦达定理来推 导弦长公式,并会简单应用 重点:设而不求的思想及会求弦长 难点:弦长公式的推导及应用 .例题讲解: 例:已知斜率为 2 的直线经过椭圆

x2 y ? ? 1 的右焦点 F2 ,与椭圆相交于 A, B 两点,求 5 4

2

弦长 AB (连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦) 变式训练: 1.已知抛物线 y ? 8x 的弦 AB 过它的焦点,直线 AB 的斜率为 2,求弦长 AB
2

2.若将例题变形为: 已知斜率为 2 的直线 l 与椭圆 的方程。
2 2 从而引出设而不求的思想,与学生一起推导弦长公式|AB|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) =

x2 y 5 5 ? ? 1 相交于 A, B 两点, 且弦长 AB ? , 求直线 l 5 4 3

2

(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 = (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] 。或 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2

强调:
易错点:在公式推导过程中的计算,及韦达定理的应用, 易漏点:公式形状及系数。

练习: 1.已知斜率为 2 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 8x 相交于 A, B 两点,且弦长 AB ? 3 3 ,求直线

l 的方程______________________
2.过椭圆 3x2 ? 4 y 2 ? 48 的左焦点 F 引直线交椭圆于 A, B 两点, 若 AB ? 7 , 则此直线的 方程为______________________. 3.若直线 y ? x ? t 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点, 当 t 变化时, ( | AB | 的最大值是 4



A 2

B

4 5 5

C

4 10 5

D

2 10 5

4.已知抛物线的顶点在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 它截直线 y ? 2 x ? 1 所得的线段长是 15 , 求此抛物线方程。

解析几何最重要的方法-----------“点差法”

“点差法” 设直线与圆锥曲线交于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 ) , 再将圆锥曲线上的两点 A 、B 的 坐标代入圆锥曲线的方程,然后将两式作差并进行变形,可得到弦 AB 的斜率与弦中点的坐 标之间的关系式.此关系式可用于解决如下问题: (1)以定点为中点的弦的方程; (2)平行 弦中点的轨迹; (3)过定点的弦的中点的轨迹; (4)对称问题. 【第三课时】 教学目标:掌握“点差法” ,会用“点差法” 来解决以定点为中点的弦的方程问题, 重点: “点差法” 来解决以定点为中点的弦的方程问题 难点: “点差法” 来解决以定点为中点的弦的方程问题的过程 .例题讲解: 例:已知直线 l : x ? 2 y ? 8 ? 0 与椭圆 x ? 4 y ? 36 交于 A, B 两点,点 M 是 A, B 两点
2 2

的中点,求 M 的坐标。 变式训练: 1.已知点 M (4,2) 是直线 l 被椭圆 x ? 4 y ? 36 所截得的线段 AB 的中点,求直线 l 的方
2 2

程。 2. 已知点 M (1,3) 是直线 l 被椭圆

y x ? ? 1 所截得线段 AB 的中点,求直线 l 的方程。 16 12
2

2

2

3. 已知点 P(1,?1) 是直线 l 被抛物线 y ? 8x 所截得的线段 AB 的中点,求直线 l 的方程。

4.已知椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 4 ,则以 (1,1) 为中点的弦的长度是 (



A

3 2

B 2 3

C

30 3

D

3 6 2
1 , 2

5.中心在原点, 一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆被直线 l : y=3x-2 截得的弦的中点横坐标为 则椭圆方程是

强调:
易错点:在公式推导过程中的系数和符号问题, 易漏点:在椭圆中有个符号问题, 【第四课时】 教学目标:掌握“点差法” ,会用“点差法” 来解决(1)平行弦中点的轨迹; (2)过定点 的弦的中点的轨迹问题 重点:会用“点差法” 来解决(1)平行弦中点的轨迹; (2)过定点的弦的中点的轨迹问题 难点:会用“点差法” 来解决(1)平行弦中点的轨迹; (2)过定点的弦的中点的轨迹问题 的过程 例题讲解:

x2 ? y2 ? 1. 例:已知椭圆 2
(1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程; (2)过 N (2,1) 的直线 l 与椭圆相交,求被 l 截得的弦的中点轨迹方程; 解析: 设弦的两端点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,中点为 M ( x0 , y0 ) ,则有

x x 2 ?1 两 式 作 差 得 : x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 . 由 1 ? y12 ? 1 , 2 ? y 2 2 2

2

2

( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ) x y ?y x ?x x ? ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? 1 ,? 2 1 ? ? 2 1 ? ? 0 .即 k AB ? ? 0 .① 2 x2 ? x1 2( y 2 ? y1 ) 2 y0 2 y0
(I)设弦中点为 M ( x, y) ,由①式, 2 ? ?

x ,? x ? 4 y ? 0 .故所求的轨迹方程为 2y

x ? 4 y ? 0 (在已知椭圆的内部).
(II)不妨设 l 交椭圆于 A 、 B ,弦中点为 M ( x, y) .由①式, k l ? k AB ? ?

x ,又∵ 2y

k l ? k MN ?
变式训练:

y?2 x y?2 2 2 ? ,? ? .整理得 x ? 2 y ? x ? 4 y ? 0, 此即所求的轨迹方程. x ?1 2y x ?1

已知椭圆

x2 ? y2 ?1. 4

(1)求斜率为 3 的平行弦中点的轨迹方程; (2)过 N (2,1) 的直线 l 与椭圆相交,求被 l 截得的弦的中点轨迹方程

【第五课时】 教学目标:掌握“设而不求”的思想,会利用垂直的条件来解决问题。 重点: “设而不求”及“韦达定理”的综合运用 难点: 将“设而不求”及“韦达定理”转化为条件来解决问题 例题讲解: 例:已知直线 y ? ax ? 1 与椭圆 x 2 ? 3 y 2 ? 2 相交于 P, Q 两点,且 OP ? OQ ,求 a 的值。 变式训练: 1.已知椭圆的中心是坐标原点,它的短轴长是 2 2 ,一个焦点 F 的坐标为 (c,0) , (c ? 0 ) , 一个定点 A 的坐标为 (

10 ? c,0 ) ,且 OF ? 2 FA ,过点 A 的直线与椭圆相交于 P, Q 两点, c

(1) 求椭圆的方程及离心率 (2) 若 OP ? OQ ,求直线 PQ 的方程 2.已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OP ⊥OQ,|PQ|=
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10 ,求椭圆方程 2 解 设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0), P(x1,y1),Q(x2,y2)
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?y ? x ? 1 由? 2 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, 2 ?mx ? ny ? 1
Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴

2(n ? 1) 2n +1=0, ? m?n m?n


∴m+n=2

4(m ? n ? mn) 10 2 ?( ) , m?n 2 将 m+n=2,代入得
又2 m·n=

3 4



1 3 3 1 ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2 2 x 3 2 3 2 1 2 故椭圆方程为 + y =1 或 x + y =1 2 2 2 2
由①、②式得 m=

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【备用习题】

1. 过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,作倾斜角为 ? 的直线交抛物线于 A , B 两点,且
AB ? 16 则? ? 3



2.若过椭圆

3? x2 y 2 ? 2 ? 1(0 ? b ? 2) 右焦点 F2 且倾斜角为 的直线与椭圆相交所得 4 4 b

的弦长等于

24 ,则 b ? 7

3. 设 抛 物 线 y 2 ? 2 p x( p ? 0 ), Rt ?AOB 内 接 于 抛 物 线 , O 为 坐 标 原 点 ,
A O? B O , AO 所在的直线方程为 y ? 2 x , | AB |? 5 13 ,求抛物线方程。

4.已知某椭圆的焦点是 F 过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的 1 ? ?4,0?、F 2 ? 4,0? , 一个交点为 B , 且F 椭圆上不同的两点 A? x1, y1 ?、C ? x2 , y2 ? 满 1B ? F 2 B ? 10 。 足条件: F2 A 、 F2 B 、 F2C 成等差数列。 (Ⅰ)求该椭圆的方程; (Ⅱ)求弦 AC 中点的横坐标; (Ⅲ)设弦 AC 垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,求 m 的取值范围。
5..椭圆
? ? x2 y2 OP ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) OQ 与直线 x+y-1=0 相交与两点 P 、 Q ,且 ⊥ a2 b2

(O 为原点) (1) 求证:

1 1 ? 2 等于定值; 2 a b

(2) 若椭圆离心率 e ? ?

? 3 2? , ? 时,求椭圆长轴长的取值范围 ? 3 2 ?

6..(2008 全国Ⅱ 21 . )设椭圆中心在坐标原点, A(2,, 0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线

y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点.
(Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

??? ?

????

x2 ? y 2 ? 1, 4

y B O E D

F A x

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) .

如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 , 故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k 2

.①

由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ?

??? ?

????

1 5 10 ; (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2

由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ?
2 化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ?

2 2 10 .所以 , ? 1 ? 2k 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2

2 3 或k ? . 3 8

( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

, h2 ?

x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 1 ? 4k 2 ? 4 k 2(1 ? 2k ) 1 4(1 ? 2k ) AB (h1 ? h2 ) ? ? 5 ? ? ?2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 5(1 ? 4k 2 ) 1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 2

≤2 2 ,

当 2k ? 1 ,即当 k ?

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为
2 2 2 2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 ) S ? S△BEF ? S△AEF ? x2 ? 2 y2 ? ( x2 ? 2 y2 ) 2 ? x2

?2 2,
当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 【09 年考题回放】 1.(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点
2

A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y ? ? 4 x
2

).
2

B. y ? ? 8x
2

C. y ? 4 x
2

D. y ? 8x

【解析】: 抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) , 它与 y 轴的交点为 A (0, ? ) ,所以△OAF 的面积为 方程为 y 2 ? ? 8x ,故选 B. 2. (2009 宁夏海南卷理)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛 物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 ? 的方程为_____________. 解析:抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,

a 4

a 4

a 2

1 a a | | ? | |? 4 ,解得 a ? ?8 .所以抛物线 2 4 2

? y12 ? 4 x1 ? A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则有x1 ? x2, ? 2 ? ? y2 ? 4 x2 y ? y2 4 2 两式相减得,y12 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?, ? 1 ? ?1 x1 ? x2 y1 ? y2 ? 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
3. 17.(2009 福建卷理)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物
?

线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p ? ________________ 【答案】 :2 解 析 : 由 题 意 可 知 过 焦 点 的 直 线 方 程 为 y ? x?

p , 联 立 有 2

? y 2 ? 2 px p2 p2 ? 2 2 2 ?8? p ? 2。 ? 0 ,又 AB ? (1 ? 1 ) (3 p) ? 4 ? ? p ? x ? 3 px ? 4 4 ?y ? x ? ? 2
4. (2009 辽宁卷理)已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 (20)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

3 2

1 9 3 ? 2 ? 1,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b
……………4 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

3 x2 y 2 ? ? 1得 (Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ? ,代入 2 4 3

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2

设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以

3 2

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 2 3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
……12 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为 5. (2009 天津卷理)

x2 y 2 以知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F 1 (?c,0)和F 2 (c,0)(c ? 0) ,过点 a b

E(

a2 , 0) 的直线与椭圆相交与 A, B 两点,且 F1 A / / F2 B, F1 A ? 2 F2 B 。 c

(1) 求椭圆的离心率; (2) 求直线 AB 的斜率;

a2 ?c EF2 F2 B 1 1 c ? ? (3) 解:由 F // 且 ,得 ,从而 A F B ? FA ? 2 F B 1 2 1 2 2 EF1 F1A 2 a 2 ?c c
整理,得 a ? 3c ,故离心率 e ?
2 2 2 2

c 3 ? a 3
2 2

2 2 2 (4) 解:由(I)得 b ? a ? c ? 2c ,所以椭圆的方程可写为 2 x ? 3 y ? 6c

设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ?

? ?

a2 ? ? ,即 y ? k ( x ? 3c) . c ? ? y ? k ( x ? 3c)
2 2 2 ?2 x ? 3 y ? 6c

由已知设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则它们的坐标满足方程组 ? 消去 y 整理,得 (2 ? 3k ) x ?18k cx ? 27k c ? 6c ? 0 .
2 2 2 2 2 2

依题意, ? ? 48c (1 ? 3k ) ? 0,得 ?
2 2

3 3 ?k? 3 3




x1 ? x2 ?

18k 2c 2 ? 3k 2

x1 x2 ?

27k 2c 2 ? 6c c 2 ? 3k 2



由题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以

x1 ? 3c ? 2 x2
联立①③解得



x1 ?

9k 2 c ? 2c 9k 2 c ? 2c x ? , 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

21 世纪教育 网

将 x1 , x2 代入②中,解得 k ? ?

2 . 3


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直线和圆锥曲线位置关系教学设计

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直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法

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直线和圆锥曲线的位置关系

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直线与圆锥曲线的位置关系

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