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张家港市后塍高中2014届高三12月月考数学试题


江苏省张家港市后塍高中 2013-2014 第一学期高三数学 月考试卷
2013.12.21

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填写在答题卡相应的位置上. ......... 1 1. 设集合 A={x|- <x<2} ,B={x|x2≤1} ,则 A∪B= ▲ . 2 2.复数 i2(1-2i)的实部是 ▲ .

3.命题“ ? x∈R,x2+ax+1<0” 的否定是 4.函数 f(x)= 1-log3x的定义域是 ▲ . ▲ .

5. 在各项均为正数的等比数列{an}中, 已知 a1+ a2+ a3 =2, a3+ a4+ a5 =8,则 a4+ a5+ a6 = ▲ . 6.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,向量 c=2a+b.则向量 c 的模为 ▲ . x2 y2 7. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 y= 3x 是双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0) 的一条渐近线方程, a b 则此双曲线的离心率为 ▲ .

8.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,则下列四个命题: ①若 α∥β,则 l⊥m; ③若 l∥m,则 α⊥β; ②若 α⊥β,则 l∥m; ④若 l⊥m,则 α∥β.

其中正确命题的序号是 ▲ . 9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线 x+y = 5 下方的概率为 ▲ .

π 10.已知 f(x)=3sin(2x- ),若存在 α∈(0,π ),使 f(α+x)= f(α-x)对一切实数 x 恒成立,则 α= 6 ▲ .

11.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的 取值范围是 ▲ . ▲ .

12.已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) , 若 a ? b ,f(a)= f(b) ,则 a+2b 的取值范围是

?x ? y ? 4 ? 2 2 13. 已知点 P 的坐标 ( x, y )满足 ? y ? x , 过点 P 的直线 l 与圆 C : x ? y ? 16 相交于 A、 ?x ? 1 ?

1

B 两点,则 AB 的最小值为





14. 曲线 C:y ?

b “望点” 以 , “望 (a ? 0, b ? 0) 与 y 轴的交点关于原点的对称点称为 | x | ?a

点”为圆心,凡是与曲线 C 有公共点的圆,皆称之为“望圆” ,则当 a ? 1, b ? 1时,所 有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 f ( A) ? 2cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

⑴ 求函数 f ( A) 的最大值; ⑵ 若 f ( A) ? 0, B ?

?? , a ? 2 6 ,求 c 的值. 12

16. (本题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 为平行四边形,四边形 ADEF 是正方形,且 BD⊥平面 CDE,H 是 BE 的中点,G 是 AE,DF 的交点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)求证:面 ADEF⊥面 ABCD.

2

17. (本题满分 14 分)

5 的定义域为 ? 0, ?? ? .设点 P 是函数图像上的任意一点, x 过点 P 分别作直线 y ? 2 x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 N .
已知函数 f ? x ? ? 2 x ? ⑴ PM ? PN 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由; ⑵ 设点 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.
y
y=2x

N

P
M

O

x

18. (本题满分 16 分) 已知圆 C : ? x ? 2 ? ? y ? 1
2 2

(1) 求:过点 P ? 3, m ? 与圆 C 相切的切线方程; (2) 若点 Q 是直线 x ? y ? 6 ? 0 上的动点,过点 Q 作圆 C 的切线 QA, QB ,其中 A, B 为切点,求:四边形 QACB 面积的最小值及此时点 Q 的坐标.

19. (本题满分 16 分)

1 1 1 , an ? an ?1 ? n ? n ? 2 ? ,数列 ?bn ? 满足 bn ? 2 n a n . 2 2 2 ⑴ 求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ? an ? 的通项公式;
已知数列 ? an ? 中, a1 ?
3

⑵ 求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ; ⑶ 设数列 ?cn ? 满足 a n (c n ? 3 n ) ? (?1) n ?1 ?n ( ? 为非零常数, n ? N * ) ,问是否存在 整数 ? ,使得对任意 n ? N * ,都有 c n ?1 ? c n .

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? a ? x ?

? ?

1? ? ? ln x, x ? R . x?

⑴ 若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; ⑵ 若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的单调区间; ⑶ 设函数 g ? x ? ? ?

?

?

a .若至少存在一个 x0 ? ?1, ?? ? ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求 x

实数 a 的取值范围.

数学(附加题) 21【选做题】每小题 10 分,共 20 分. B.选修 4—2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 M=?

?1 2?,N=?0 -1?. ? ? ? ?3 4? ?1 3?

(1)求矩阵 MN; (2)若点 P 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 Q(0,1),求点 P 的坐标.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)

4

在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2cos ? , ? ( ? 为参数) , ? y ? 2sin ? , ?

若以直角坐标系 xoy 的原点为极点,OX 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,直线 l π 的极坐标方程为 ρsin(θ+ )=0, 求与直线 l 垂直且与曲线 C 相切的直线 m 的极坐标方程. 4

[必做题]22. (本小题满分 10 分) 口袋中有 n(n∈N )个白球,3 个红球.依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么继 续取球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为 X, 若 P(X=2)= 7 求: 30 (1)n 的值; (2)X 的概率分布与数学期望.


23. (本小题满分 10 分) 已知点 F (0,1), 直线 l : y ? ?1, P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q ,且

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹方程; (2) A, B 是轨迹 M 上异于坐标原点 O 的不同两点,轨迹 M 在点 A, B 处的切线分别为 l1 , l2 ,

5

且 l1 ? l2 ,[ l1 , l2 相交于点 D,求点 D 的纵坐标.

参考答案 1. {x|-1≤x<2} 5.16 1 9. . 6 13. 2 6 2.-1 6. 2 3 10. 3. ?x ? R, x ? ax ? 1 ? 0
2

4. (0,3] 8. ①③ 12. 2 2 ? 3

7.2 11.(-2,1)

? 5?
, 3 6

14、 3?

15. (1) f ( A) ? 2cos 解: 3分

A A A A ? sin ? sin 2 ? cos 2 ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) .?? 2 2 2 2 4

? ? ?? .??????4 分 ? A? ? 4 4 4 ? ? 3? 则所以当 A ? ? ,即 A ? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 .???7 分 4 2 4 ? ? (2)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又知 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,则 A ? .??????10 分 4 4 4 4 4 ?? 7? ? 因为 B ? ,所以 A ? C ? ,则 C ? .??????12 分 12 12 3 ? 2 6 ? sin a c a sin C 3 ? 6 .??????14 分 由 得, c ? ? ? ? sin A sin C sin A sin 4
因为 0 ? A ? ? ,所以 ? 16.证明:⑴ G 是 AE , DF 的交点,∴ G 是 AE 中点,又 H 是 BE 的中点, ∴ ?EAB 中, GH // AB , ∵ABCD 为平行四边形 ∴AB∥CD ∴ GH // CD , ----------------------------------------------4 分 ---------------2 分

又∵ CD ? 平面CDE, GH ? 平面CDE ∴ GH // 平面 CDE
6

-------------------7 分

⑵? BD ? 平面CDE , 所以 BD ? ED , 又因为四边形 AFED 为正方形, -------------------9 分

? ED ? AD ,
? AD ? BD ? D ,
ED ? 面ABCD ,? ED ? 面AFED 面AFED ? 面ABCD .
17. (本题满分 14 分)

------------------10 分

-----------------12 分

----------------14 分

解:⑴设点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,则有 y0 ? 2 x0 ?

5 ,??????2 分 x0

由点到直线的距离公式得 PM ?

y0 ? 2 x0 5

?

5 x0 5

?

5 ,??????4 分 x0

PN ? x0 ,??????6 分
? PM ? PN ? 5 ,即 PM ? PN 为定值 5 ;??????7 分
(2)由题意可设 M ? t , 2t ? ,知 N ? 0, y0 ? . 由 PM 与直线 y ? 2 x 垂直,知 K PM ? ?

y ? 2t 1 1 ?? , ,即 0 x0 ? t 2 2

又 y0 ? 2 x0 ?

5 2 ,解得 t ? x0 ? , x0 x0
2? ? .??????10 分 x0 ?
? 5 ? 2 ?1 ? 2 ? , 2 ? x ?0

故 OM ? 5 ? x0 ?

? ?

所 以 S ?OPM ?

?2 1 5 ? ? ? 5 ? x0 ? ? ? 2 x0 x ? 0 ?

S ?OPN ?

? 1 5? 5 ? x0 ? ? 2 x0 ? ? ? x0 2 ? .??????12 分 2 x0 ? 2 ?

7

所以 SOMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ?
1

5? 2 ? 5 5 2 2 ?1 ? 2 ? ? x0 ? ? x0 ? 2 ? 5 ? 2 5 ? 5 . 2 ? x0 ? 2 x0

当且仅当 x0 ? 54 时等号成立,故四边形面积有最小值 2 5 ? 5 .??????14 分 18. ⑴ ①当 m ? 0时 切线方程为 x ? 3 ―――――2 分

②当 m ? 0 时

设切线方程为 y ? m ? k ? x ? 3?

?

k ?m 1? k
2

? 1? k ?

1? m 2m

切线方程为

x ? 3或 y ? m ?

1 ? m2 ? x ? 3? 2m

―――――――8 分

2 ⑵ SQACB ? 2 S ?QAC ? AC ? AQ ? CQ ? 1

故 CQ 最小时四边形面积最小,

CQmin ?

2?6 2

?2 2

SQ

的最小值为 A C B

7

此时 CQ : y ? x ? 2 19. (本题满分 16 分) 解: (1)由 an ?

? Q ? 4 , ?2

――――――16 分

1 1 an ?1 ? n ? n ? 2 ? ,则 2 n a n ? 2 n ?1 a n ?1 ? 1 . 2 2

∵ bn ? 2 n a n ,∴ bn ? bn ?1 ? 1 ,即当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? 1 .??????3 分 又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 n a n ,∴ a n ? (2)由(1)得 a n ?

n .??????5 分 2n

1 1 1 n ,所以 Sn ? 1? ? 2 ? 2 ? ? ? n ? n ①, n 2 2 2 2

1 1 1 1 ? Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ②,??????7 分 2 2 2 2
由①-②得

1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? 2 ? ? ? n ? n ? n?1 ? 1 ? n ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2

? Sn ? 2 ?

2?n .??????9 分 2n
n ?1 ? ?1? ? ? n ? 3n ? n ?1 ? ?1? ? ? 2n ,

n (3)∵ cn ? 3 ?

an

∴ c n ?1 ? c n ? [3 n ?1 ? (?1) n ? ? 2 n ?1 ] ? [3 n ? (?1) n ?1 ? ? 2 n ]

8

? 2 ? 3 n ? 3? (?1) n ?1 ? 2 n ? 0
∴ (?1)
n ?1

?3? ?? ? ? ? ?2?

n ?1

①??????11 分
2k ?2

?3? 当 n=2k-1,k=1,2,3,??时,①式即为 ? ? ? ? ?2?



依题意,②式对 k=1,2,3??都成立,∴ ? ? 1 ??????13 分

?3? 当 n=2k,k=1,2,3,??时,①式即为 ? ? ?? ? ?2?
依题意,③式对 k=1,2,3??都成立, ∴? ? ?

2 k ?1



3 2

∴?

3 ? ? ? 1 ,又 ? ? 0 ??????15 分 2

∴存在整数 ? ? ?1 ,使得对任意 n ? N * 有 cn ?1 ? cn .??????16 分

20. (本题满分 16 分) 解:函数的定义域为 ? 0, ?? ? ,

1 ? 1 ax 2 ? x ? a ? f ? x ? ? a ?1 ? 2 ? ? ? x2 ? x ? x
'

f ?( x) ? a(1 ?

1 2 ax2 ? 2 x ? a . )? ? x2 x x2

???????????????????1 分

(1)当 a ? 2 时,函数 f ? x ? ? 2 ? x ?

? ?

1? ' ? ? ln x ,由 f ?1? ? 0 , f ?1? ? 3 . x?

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 3 ? x ? 1? , 即 3x ? y ? 3 ? 0 .???????????????????????????4 分 (2)函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ?? ? . 由 a ? 0 , ? ? 1 ? 4a ,
2

(ⅰ)若 0 ? a ?

1 , 2
1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 或x? ; 2a 2a

由f

'

? x ? ? 0 ,即 h ? x ? ? 0 ,得 x ?

9

1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 ?x? 由 f ? x ? ? 0 ,即 h ? x ? ? 0 ,得 .????????6 2a 2a
'



? 1 ? 1 ? 4a 2 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0, ? 2a ?
单调递减区间为 ? (ⅱ)若 a ?

? ? 1 ? 1 ? 4a 2 ? , ?? ? , ? 和? ? ? ? 2a ? ? ?
??????????????8 分

? 1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4 a 2 , ? 2a 2a ?

? ?. ? ?

1 ' , h ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,则 f ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,此时 2

f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. ????????????????????????

10 分 (3) )因为存在一个 x0 ? ?1, ?? ? 使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? , 则 ax0 ? ln x0 ,等价于 a ? 令 F ? x? ?

ln x0 . x0

ln x , x ? ?1, ?? ? ,等价于“当 x ? ?1, ?? ? 时, a ? F ? x ?min ”. ???12 分 x 1 ? ln x ' 对 F ? x ? 求导,得 F ? x ? ? . x2
因为当 x ? ?1, e ? 时, F ? x ? ? 0 ,
'

所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递增. 故此时 F ? x ? ? ? 0, ? , e 当 x ? ? e, ?? ? 时, F ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递减.,
'

? 1? ? ?

又 F ? x ? ? 0 ,故此时 F ? x ? ? ? 0, ? ,???????????????????14 分 综上, F ? x ? ? ? 0, ? ,即 F ? x ?min ? F ?1? ? 0 ,所以 a ? 0 .?????????16 分 e 另解:当 x ? ?1, ?? ? 时, F ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, F ? x ? ? 0 . 即 F ? x ?min ? F ?1? ? 0 ,所以 a ? 0 . 另解: 设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? ln x , x ? ?1, ?? ? ,
10

? ?

1? e?

? 1? ? ?

F ' ? x? ? a ?

1 ax ? 1 . ? x x

依题意,至少存在一个 x ? ?1, ?? ? ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等价于当 x ? ?1, ?? ? 时, F ? x ?max ? 0 . (1)当 a ? 0 时, ???????????????12 分

F ? ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 恒成立,所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递减,
只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,则不满足题意. ????????????13 分

1? ? a? x ? ? ax ? 1 1 a? ' (2)当 a ? 0 时, F ? x ? ? ,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? . ? ? x x a
(ⅰ)当 0 ?

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, a
'

在 ?1, ?? ? 上 F ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,由 F ?1? ? a ? 0 , 所以 F ? x ? ? 0 恒成立???????????????????????14 分 (ⅱ)当

1 ? 1 ,即 0 ? a ? 1时, a

在 ?1,

? 1? ?1 ? ? ? ? 上 F ? x ? ? 0 ,在 ? , ?? ? 上 F ? x ? ? 0 , ? a? ?a ? ? 1? ?1 ? ? 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增, ? a? ?a ?

所以 F ? x ? 在 ?1,

由 F ?1? ? a ? 0 ,所以 F ? x ? ? 0 恒成立????????????????15 分

综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) .

???????????????16 分

21B。 (1) 解: MN=? 分 (2)设 P(x,y),则 解法一:

?1 2? ?0 -1?=?2 ? ? ? ? ?3 4? ?1 3? ?4

5? 9?

?;

…………5

?2 ? ?4

5? ?x?

?2x+5y=0, ?0? ? ? ?=? ?,即?4x+9y=1. ? 9? ?y? ?1?

11

? ?x=5, 5 解得? 2 即 P( ,-1). 2 ?y=-1, ?
解法二:

…………10 分

?2 因为? ?4

9 5? 5? ?-9 5?-1 ?-2 ? 2?.所以?x?=? 2 2? ? =? ?? ? ? ? ?y? 9? ? 2 -1? ? 2 -1?

? 5 ? ?0?=? 2 ?. ? ? ? ? ?1? ?-1?
…………10 分

5 即 P( ,-1). 2 21C。解: l : y ? ? x, C : ( x ? 2) ? y ? 4 ······ 分 ·····3 ·····
2 2

设m: y ? x ?b ,

?直线 m 与 C 相切,可得

| 2 ?b| ? 2,? b ? 2 或 b ? ?3 2 ,······7 分 ······ ······ 1?1

?直线 m 的极坐标方程为

? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 或 ? cos ? ? ? sin ? ? 3 2 ? 0 ·10 分 · ·

22.解: (1)由题知 P ( X ? 2) ?

1 1 A3 ? An 3n 7 ? ? , 2 (n ? 3)( n ? 2) 30 An ?3

即7 n 2 ? 55 n ? 42 ? 0, 即(7 n ? 6)( n ? 7) ? 0. 因为n ? N * , 所以n ? 7.???? 5分
(2)由题知,X 的可能取值为 1,2,3,4,所以

P ( X ? 1) ?

1 A7 A 2 A1 7 7 7 ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? 3 3 7 ? , 1 30 120 A10 10 A10

P ( X ? 4) ? 1 ?

7 7 7 1 ? ? ? , 10 30 120 120

所以,X 的概率分布表为

X P

1

2

3

4

7 10

7 30

7 120

1 120

所以 E ( X ) ? 1 ?

7 7 7 1 11 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . 10 30 120 120 8
12

答 X 的数学期望是

11 . 8
??? ??? ? ? ??? ??? ? ?
2

…………10 分

23.解:(1)设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? ,∵ QP ? QF ? FP ? FQ ,
2 ∴ ? 0, y ? 1? ? ? ? x, 2 ? ? ? x, y ? 1? ? ? x, ?2 ? . 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ? 1? ,即 x ? 4 y ,

所以动点 P 的轨迹 M 的方程 x ? 4 y
2

…………4 分

(2) 设点 A . B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? . ? x2 , y2 ? , ∵ l1 . l 2 分别是抛物线 C 在点 A . B 处的切线, ∴直线 l1 的斜率 k1 ? y ∵ l1 ? l2 , ∴ k1k2 ? ?1 , 得 x1 x2 ? ?4 . ① …………6 分
' x ? x1

?

x1 ' ,直线 l 2 的斜率 k2 ? y 2

x ? x2

?

x2 2

∵ A . B 是抛物线 C 上的点, ∴ y1 ?

x12 x2 , y2 ? 2 . 4 4 x12 x1 x2 x ? ? x ? x1 ? ,直线 l 2 的方程为 y ? 2 ? 2 ? x ? x2 ? 4 2 4 2
x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? 解得 ? ? y ? ? 2 ? ?1. ? ? 2
…………10 分

∴ 直线 l1 的方程为 y ?

? x2 x y ? 1 ? 1 ? x ? x1 ? , ? ? 4 2 由? 2 ? y ? x2 ? x2 ? x ? x ? , 2 ? ? 4 2
∴点 D 的纵坐标为 ?1

13


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