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椭圆及其标准方程1


椭圆及其标准方程
一. 学习目标: 1.理解并掌握椭圆的定义,了解椭圆标准方程的推导方法; 2.能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标, 会用待定系数法确定椭 圆的方程; 3.初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法. 二、重点与难点 重点:掌握椭圆的标准方程,理解坐标法的基本思想 难点:椭圆标准方程的推导与化简,坐标法的应用 三、基础梳理 1、椭圆定义:

文字定义:平面内到两定点 F1 、 F2 的距离 ( )点的轨迹(集合)

叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点的距离叫做 注意:若 2a ? F1F2 ,则点的轨迹是 若 2a ? F1F2 ,则点的轨迹是 若 2a ? F1F2 ,则点的轨迹 。 符号定义: 2、椭圆的标准方程: 焦点位置 焦点在 x 轴上
y
P

; ;

焦点在 y 轴上
y
P F2 O F1





F1

O

F2

x

x

方 焦

程 点

a,b,c之间的关 系

3. 焦点三角形的周长和面积:

1

四、典型例题 例 1、椭圆标准方程的计算 1、求椭圆 2 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的焦距与焦点坐标;

2、椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 2,求 m 的值 4 m

3、方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则求 k 的取值范围 k ?3 5?k

例 2、求椭圆的标准方程
5 3 1、 求焦点为 F1 (?2,0), F2 (2,0) ,且过点 ( ,? ) 的椭圆的标准方程. 2 2

2、求满足 a ? b ? 8, c ? 4 的椭圆的标准方程

3、求中心在原点,焦点在坐标轴上,求过 P(2,3), Q(3,1) 的椭圆的标准方程

2

例 3、椭圆定义的应用 1、已知动圆 P 过定点 A(-3,0),并且在定圆 B: (x-3)2+y2=64 的内部与其相切,求 动圆圆心 P 的轨迹方程. w.zxxk.co

2、已知椭圆 过焦点。

x2 y2 ? ? 1 , F1 , F2 是椭圆的两个焦点,P,Q 为椭圆上点,PQ 不 4 3

(1)求 ?F1 PQ , ?F1 PF2 的周长; (2)已知 ?F1 PF2 ? 60? ,求 ?F1 PF2 的面积;.

? (3)若 ?F1 PF2 ? ? ,求证: ?F1 PF2 的面积 S ? b 2 tan 。 2

例 4、与椭圆有关的轨迹问题 1、已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为 2,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作 垂线段 PD,求线段 PD 的中点 M 的轨迹。

3

2、设点 A,B 的坐标分别为 (?5,0), (5,0) 。直线 AM,BM 相交于点 M,且斜率之积为
? 4 ,求点 M 得轨迹方程 9

课外思考: AB 是平面 ? 的斜线段,A 为斜足,若点 P 在平面内运动,且使三角形 ABP 的 面积为定值,则点 P 得轨迹为?

课后训练
1.椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 3 的焦距为 ( )

A.1 2.椭圆 为 A.5 3. ( 若
2

B. 2

C. 3

D. 6

x ? y 2 ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2,则点 P 到另一个焦点的距离 25

) B.6 椭 圆
x y ? ?1 2 3m m
2 2

C.7 的 焦 距 C.3 C.
x a
2 2

D.8 为 4 , D.4
(
? y
2 2



m=

( ) A.1 B.2 4.焦点为(0,-1 ),(0,1)的椭圆方程可以是 A.
x a
2 2

)
?1

?

y
2

2

a ?1

?1

B.

x
2

2

a ?1

?

y a

2 2

?1

a ?1

?1

D.

x

2 2

1? a

?

y

2

a2

5.过点 A(-1,-2)且与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点相同的椭圆标准方程是__ 6 9

6.如果椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,则实数 k 的取值是__________. 7.已知 F1 , F2 为椭圆
x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 25 9 | F2 A | ? | F2 B |? 12 ,则 | AB |? ____. .

8. 椭 圆 为 9.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上 一 点 P 到 两 焦 点 的 距 离 之 差 为 2 , 则 ?F1 PF2 的 形 状 16 12 .
x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4, 则 | PF2 |? _____, 9 2

?F1 PF2 ? ____.
10.过原点的直线与椭圆 面积最大值为
4

x2 y2 ? ? 1 相交于 A, B 两点, F 为椭圆右焦点, 则 ?FAB a2 b2

11.椭圆 值

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,求 | PF1 | ? | PF2 | 的最大 100 64

12.已知圆 B: 又有定点 A(1,0), C 为圆 B 上任意一点, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16 的圆心为点 B, 求 AC 的 垂直平分线与线段 CB 的交点 P 的轨迹方程.

13.已知三角形 ABC 的一边 BC 的长为 6,周长为 16,求顶点 A 的轨迹方程。

14.已知椭圆 C 与椭圆 x 2 ? 37 y 2 ? 37 的焦点 F1 , F2 相同,且椭圆 C 过点 ( (1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若 P ? C ,且 ?F1 F2 P ?

?
3

5 7 , ?6) . 2

,求 ?F1 PF2 的面积.

5


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