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2015届高考数学(理科)必考题型穿插滚动练(四)


穿插滚动练(四)
1.设全集 U={x|x<3},A={x|x<1},则?UA=________. 答案 {x|1≤x<3} 解析 因为 U={x|x<3},A={x|x<1},则?UA={x|1≤x<3}. π 1 2. “θ≠ ”是“cos θ≠ ”的________条件. 3 2 答案 必要不充分 1 π π 1 解析 因为“c

os θ= ”是“θ= ”的必要不充分条件,所以“θ≠ ”是“cos θ≠ ”的必 2 3 3 2 要不充分条件. 3.定义一种运算“*” :对于自然数 n 满足以下运算性质: (ⅰ)1] 答案 n 解析 由(n+1)*1=n*1+1,得 n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=?=1] S12 S10 4. 在等差数列{an}中, a1=-2 014, 其前 n 项和为 Sn, 若 - =2, 则 S2 014 的值为________. 12 10 答案 -2 014 Sn S1 解析 根据等差数列的性质,得数列{ }也是等差数列,根据已知可得这个数列的首项 = n 1 S2 014 a1=-2 014,公差 d=1,故 =-2 014+(2 014-1)×1=-1,所以 S2 014=-2 014. 2 014 a2+b2 1 5.已知 a>b>0,且 ab=1,若 0<c<1,p=logc ,q=logc( )2,则 p,q 的大小关 2 a+ b 系是________. 答案 p<q a2+b2 a2+b2 解析 ∵ >ab=1,∴p=logc <0. 2 2 1 1 1 1 又 q=logc( )2=logc >logc =logc >0,∴q>p. 4 a+ b a+b+2 ab 4 ab f?x? 6.(2014· 徐州模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x),g(x)满足 =ax,且 f′(x)g(x)<f(x)g′(x), g?x? ? f?n? ? f?1? f?-1? 5 31 ? (n∈N*)的前 n 项和等于 ,则 n=________. + = ,若有穷数列? 32 g?1? g?-1? 2 ?g?n?? 答案 5 f?x? 解析 令 h(x)= , g?x? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? 则 h′(x)= <0, g2?x? .

1

故函数 h(x)为减函数,即 0<a<1. f?1? f?-1? 5 1 5 再根据 + = ,得 a+ = , a 2 g?1? g?-1? 2 1 解得 a=2(舍去)或者 a= . 2 f?n? ?1?n 所以 = , g?n? ?2? 1 1? 1- n? ? f?n? ? 2? 2 ? 1 ?的前 n 项和是 数列? =1- n, 1 2 ?g?n?? 1- 2 1 31 由于 1- n= ,所以 n=5. 2 32 7.在正三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别是 AB,BC 的中点,有下列三个论断: ①AC⊥PB;②AC∥平面 PDE;③AB⊥平面 PDE. 其中正确论断的序号为________. 答案 ①②

解析 如图,∵P-ABC 为正三棱锥,∴PB⊥AC. 又∵DE∥AC,DE?平面 PDE, AC?平面 PDE, ∴AC∥平面 PDE. 故①②正确. x ? ?2 ?x≥0?, 8.已知函数 f(x)=? ? ?x2 ?x<0?, 则 f[f(x)]≥1 的充要条件是________.

答案 x∈(-∞,- 2]∪[4,+∞) x 解析 当 x≥0 时,f[f(x)]= ≥1,所以 x≥4; 4 x2 当 x<0 时,f[f(x)]= ≥1,所以 x2≥2,x≥ 2(舍)或 x≤- 2.所以 x∈(-∞,- 2]∪[4, 2 +∞).

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9.如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为________. 5 答案 5 解析 不妨令 CB=1,则 CA=CC1=2. 可得 O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1), → → ∴BC1=(0,2,-1),AB1=(-2,2,1), → → 4-1 BC1· AB1 1 → → ∴cos〈BC1,AB1〉= = = → → 5× 9 5 |BC1||AB1| 5 = >0. 5 → → ∴BC1 与AB1 的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角, 5 ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 . 5 10.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a x,C(x)=


ax+a x,其中 a>0,且 a≠1,下面正确的运算公式是________.


①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y); ③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y). 答案 ③④ 解析 经验证易知①②错误. 依题意, 注意到 2S(x+y)=2(ax y-a
+ -x-y

), 又 S(x)C(y)+C(x)S(y)

=2(ax y-a


-x-y

), 因此有 2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); 同理有 2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y),

综上所述,填③④.

11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三 棱锥 D1-EDF 的体积为________. 1 答案 6 解析 利用三棱锥的体积公式直接求解.

1 VD1 ? EDF ? VF ? DD1E ? S?DD1E . AB 3
3

1 1 1 = × ×1×1×1= . 3 2 6 12.(2014· 北京)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n=________时,{an} 的前 n 项和最大. 答案 8 解析 ∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0. ∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0. ∴数列的前 8 项和最大,即 n=8. 13. (2014· 浙江)已知实数 a, b, c 满足 a+b+c=0, a2+b2+c2=1, 则 a 的最大值是________. 6 答案 3 解析 因为 a+b+c=0,所以 b+c=-a. 因为 a2+b2+c2=1, 所以-a2+1=b2+c2=(b+c)2-2bc=a2-2bc, 所以 2a2-1=2bc≤b2+c2=1-a2, 2 所以 3a2≤2,所以 a2≤ , 3 6 6 6 所以- ≤a≤ .所以 amax= . 3 3 3 14.(2014· 天津)已知函数 f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数 根,则实数 a 的取值范围为________. 答案 (0,1)∪(9,+∞) 解析 设 y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|, 在同一直角坐标系中作出 y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图象如图所示.

由图可知 f(x)-a|x-1|=0 有 4 个互异的实数根等价于 y1=|x2+3x|与 y2=a|x-1|的图象有 4 个不同的交点, 当 4 个交点横坐标都小于 1 时, ?y=-x2-3x, ? ? 有两组不同解 x1,x2, ? ?y=a?1-x? 消 y 得 x2+(3-a)x+a=0,

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故 Δ=a2-10a+9>0, 且 x1+x2=a-3<2,x1x2=a<1, 联立可得 0<a<1. 当 4 个交点横坐标有两个小于 1,两个大于 1 时, 2 ? ?y=x +3x, ? 有两组不同解 x3,x4. ?y=a?x-1? ? 消去 y 得 x2+(3-a)x+a=0, 故 Δ=a2-10a+9>0, 且 x3+x4=a-3>2,x3x4=a>1, 联立可得 a>9, 综上知,0<a<1 或 a>9. π ? 15.已知函数 f(x)=2sin x,g(x)=2sin? ?2-x?,直线 x=m 与 f(x),g(x)的图象分别交于 M、N 两点,则 MN 的最大值为________. 答案 2 2 解析 构造函数 F(x)=2sin x-2cos x π? =2 2sin? ?x-4?,故最大值为 2 2. → → 16.(2014· 辽宁)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知BA· BC= 1 2,cos B= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → 解 (1)由BA· BC=2 得 c· acos B=2. 1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B. 1 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×6× =13. 3 ? ? ? ?ac=6, ?a=2, ?a=3, 解? 2 2 得? 或? ?a +c =13, ?c=3 ?c=2. ? ? ? 因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中, 1 2 2 1-? ?2= , 3 3 c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= × = . b 3 3 9 sin B= 1-cos2B=

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因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 因此 cos C= 1-sin2C= 4 22 7 1-? ?= . 9 9

于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C 1 7 2 2 4 2 23 = × + × = . 3 9 3 9 27

17.如图所示,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设 M 在线段 AB 上, 且满足 AM=2MB, 试在线段 CE 上确定一点 N, 使得 MN∥平面 DAE. (1)证明

∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面 ABE, ∵AE?平面 ABE,∴AE⊥BC. 又∵BF⊥平面 ACE, AE?平面 ACE, ∴AE⊥BF. ∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE, 又 BE?平面 BCE,∴AE⊥BE. (2)解 在△ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点, 在△BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交 EC 1 于 N 点,连结 MN,则由比例关系易得 CN= CE. 3 ∵MG∥AE,MG?平面 ADE,AE?平面 ADE, ∴MG∥平面 ADE.同理,GN∥平面 ADE. 又∵GN∩MG=G, ∴平面 MGN∥平面 ADE.

6

又 MN?平面 MGN, ∴MN∥平面 ADE. ∴N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点. 18.为保增长、促发展,某地计划投资甲、乙两项目,市场调研得知,甲项目每投资百万元 需要配套电能 2 万千瓦,可提供就业岗位 24 个,增加 GDP 260 万元;乙项目每项投资百万 元需要配套电能 4 万千瓦,可提供就业岗位 32 个,增加 GDP 200 万元,已知该地为甲、乙 两项目最多可投资 3 000 万元, 配套电能 100 万千瓦, 并要求它们提供的就业岗位不少于 800 个,如何安排甲、乙两项目的投资额,增加的 GDP 最大? 解 设甲项目投资 x(单位:百万元),乙项目投资 y(单位:百万元),两项目增加的 GDP 为 z =260x+200y,

? ?2x+4y≤100, 依题意,x、y 满足?24x+32y≥800, x≥0, ? ?y≥0,
x+y≤30, 所确定的平面区域如图中阴影部分,

? ? ?x+y=30, ?x=10, 解? 得? 即 A(10,20). ?2x+4y=100, ?y=20, ? ? ?x+y=30, ?x=20, ? ? 解? 得? 即 B(20,10). ? ? ?24x+32y=800, ?y=10,

设 z=0, 得 y=-1.3x, 将直线 y=-1.3x 平移至经过点 B(20,10), 即甲项目投资 2 000 万元, 乙项目投资 1 000 万元时,两项目增加的 GDP 最大.

19.(2014· 浙江)如图,在四棱锥 A-BCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE=∠BED=
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90° ,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= 2. (1)证明:DE⊥平面 ACD; (2)求二面角 B-AD-E 的大小. (1)证明 在直角梯形 BCDE 中, 由 DE=BE=1,CD=2,得 BD=BC= 2. 由 AC= 2,AB=2, 得 AB2=AC2+BC2,即 AC⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCDE, 平面 ABC∩平面 BCDE=BC, 从而 AC⊥平面 BCDE, 又 DE?平面 BCDE,所以 AC⊥DE. 又 DE⊥DC,从而 DE⊥平面 ACD. (2)解 方法一

(1) 如图(1),作 BF⊥AD,与 AD 交于点 F, 过点 F 作 FG∥DE,与 AE 交于点 G,连结 BG, 由(1)知 DE⊥AD,则 FG⊥AD. 所以∠BFG 是二面角 B-AD-E 的平面角. 在直角梯形 BCDE 中, 由 CD2=BC2+BD2,得 BD⊥BC, 又平面 ABC⊥平面 BCDE,得 BD⊥平面 ABC,从而 BD⊥AB. 由于 AC⊥平面 BCDE,得 AC⊥CD. 在 Rt△ACD 中,由 DC=2,AC= 2,得 AD= 6. 在 Rt△AED 中,由 ED=1,AD= 6,得 AE= 7. 在 Rt△ABD 中,由 BD= 2,AB=2,AD= 6,得 2 3 2 2 2 7 BF= ,AF= AD,从而 GF= ,AG= . 3 3 3 3
8

在△ABE,△ABG 中,利用余弦定理分别可得 5 7 2 cos∠BAE= ,BG= . 14 3 GF2+BF2-BG2 3 在△BFG 中,cos∠BFG= = . 2BF· GF 2 π 所以∠BFG= , 6 π 即二面角 B-AD-E 的大小是 . 6

(2) 方法二 以 D 为原点,分别以射线 DE,DC 为 x,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D- xyz,如图(2)所示. 由题意知各点坐标如下: D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2, 2),B(1,1,0). 设平面 ADE 的法向量为 m=(x1,y1,z1), 平面 ABD 的法向量为 n=(x2,y2,z2), → → → 可算得AD=(0,-2,- 2),AE=(1,-2,- 2),DB=(1,1,0). → ? AD=0, ?m· ?-2y1- 2z1=0, 由? 得? → ?x1-2y1- 2z1=0. ? AE=0, ?m· 可取平面 ADE 的一个法向量 m=(0,1,- 2). → ? AD=0, ?n· ?-2y2- 2z2=0, 由? 得? → ?x2+y2=0, ? DB=0, ?n· 可取平面 ABD 的一个法向量 n=(1,-1, 2). |m· n| 3 3 于是|cos〈m,n〉|= = = . |m|· |n| 2 3×2 由题意可知,所求二面角是锐角, π 故二面角 B-AD-E 的大小是 . 6 n?1+an? 20.已知各项全不为零的数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= ,n∈N*. 2 (1)求证:数列{an}为等差数列;

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(2)若 a2=3,求证:当 n∈N*时,

1 1 1 1 + +?+ < . a1a2 a2a3 anan+1 2

1+a1 证明 (1)由 S1= =a1 知 a1=1. 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 n?1+an? ?n-1??1+an-1? = - , 2 2 化简得(n-2)an-(n-1)an-1+1=0,① 以 n+1 代替 n 得(n-1)an+1-nan+1=0.② 两式相减得(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0. 则 an+1-2an+an-1=0,其中 n≥2. 所以,数列{an}为等差数列. (2)由 a1=1,a2=3, 结合(1)的结论知 an=2n-1(n∈N*). 1 1 1 于是 + +?+ a1a2 a2a3 anan+1 1 1 1 = + +?+ 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? 1 1 11 1 1 1 1 = (1- )+ ( - )+?+ ( - ) 2 3 23 5 2 2n-1 2n+1 1 1 1 = (1- )< . 2 2n+1 2 1 1 1 1 即当 n∈N*时, + +?+ < . a1a2 a2a3 anan+1 2 1 21.(2014· 盐城模拟)已知函数 f(x)=ln x-ax+1 在 x=2 处的切线斜率为- . 2 (1)求实数 a 的值及函数 f(x)的单调区间; x2+2kx+k (2)设 g(x)= ,对?x1∈(0,+∞),?x2∈(-∞,0)使得 f(x1)≤g(x2)成立,求正实 x 数 k 的取值范围; 2 ln 2 ln 3 ln n 2n -n-1 (3)证明: 2 + 2 +?+ 2 < (n∈N*,n≥2). 2 3 n 4?n+1? 1 (1)解 由已知得 f′(x)= -a,(x>0), x 1 1 ∴f′(2)= -a=- ,解得 a=1. 2 2 1-x 1 于是 f′(x)= -1= , x x 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数, 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数, 即 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)解 由(1)知 x1∈(0,+∞),f(x1)≤f(1)=0,
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即 f(x1)的最大值为 0, 由题意知:对?x1∈(0,+∞),?x2∈(-∞,0)使得 f(x1)≤g(x2)成立, 只需 f(x)max≤g(x)max. k x2+2kx+k k ∵g(x)= =x+ +2k=-?-x+-x?+2k≤-2 k+2k, x x ? ? ∴只需-2 k +2k≥0,解得 k≥1. 2 ln 2 ln 3 ln n 2n -n-1 (3)证明 要证明 2 + 2 +?+ 2 < (n∈N*,n≥2). 2 3 n 4?n+1? 2 2ln 2 2ln 3 2ln n 2n -n-1 只需证 2 + 2 +?+ 2 < , 2 3 n 2?n+1? 2 ln 22 ln 32 ln n2 2n -n-1 只需证 2 + 2 +?+ 2 < . 2 3 n 2?n+1? 由(1)当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数, f(x)=ln x-x+1≤0,即 ln x≤x-1, ∴当 n≥2 时,ln n2<n2-1, 2 ln n2 n -1 1 1 1 1 =1- + , 2 < 2 =1- 2<1- n n n n n+1 n?n+1? 1 ? ? 1 1 ? ln 22 ln 32 ln n2 ? 1 ?1-1+ 1 ?=n-1-1+ 1 1- + + + ? + 2 + 2 + ?+ 2 < 1- + 2 3 2+1? ? 3+1? 2 3 n ? 2 n+1 ? n n+1? 2 2n -n-1 = , 2?n+1? 2 ln 2 ln 3 ln n 2n -n-1 ∴ 2 + 2 +?+ 2 < . 2 3 n 4?n+1?

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