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1.4.全称量词与存在量词 最终

时间:2016-04-20


1.4.3
复习回顾
全称命题

含有一个量词的命题的否定
“对M中任意一个x,有p(x)成立”

符号简记为: ? x∈M,p(x) 读作:对任意x属于M,有p(x)成立

含有全称量词的命题,叫做全称命题
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号简记为: ?x∈R ,

p(x)
读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”

集 合

含有存在量词的命题,叫做特称命题

复习回顾
常见的全称量词有“所有的”“任意一个” “一切” “每一个” “任给”“所有的”等.

常见的存在量词有“存在一个”“至少一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
判断全称命题和特称命题真假

练习:
判断下列语句是不是命题,如果是,说明其是全称命题 还是特称命题,并用符号"? "或 " ?"来表示 (1)有一个向量a,a的方向不能确定. (2)存在一个函数f(x),使f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)对任何实数a,b,c,方程ax2+bx+c=0都有解. (4)平面外的所有直线中,有一条直线和这个平面垂直吗? 解答(1)(2)(3)都是命题,其中(1)(2)是特称命题,(3)是全称命 题.(4)不是命题.

问题1

(1)命题p是真命题还是假命题 设p:“平行四边形是矩形”(2)请写出命题p的否定形式 (3)判断?p的真假

你能否用学过的“全称量词和存在量词”来解决上述问题
可以在“平行四边形是矩形”的前面加上全称量词, 变为 假命题 p:“所有的平行四边形是矩形”
也就是说“存在至少一个平行四边形它不是矩形” 所以,?p : “存在平行四边形不是矩形” 真命题

想一想?

写出下列命题的否定 1)所有的矩形都是平行四边形; ?x ? M,p(x)

2)每一个素数都是奇数; 2 3)?x ? R, x ? 2x ? 1 ? 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数;

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)

1)存在一个矩形不是平行四边形;?x ? M,?p(x)

?x ? M,?p(x)
?x ? M,?p(x)

3)?x ? R, x ? 2x ?1 ? 0
2

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

要点归纳
从形式看,全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论
全称命题 p : ?x ? M,p(x) 它的否定 ?p : ?x ? M,?p(x)

全称命题的否定是特称命题

例1写出下列全称命题的否定: 1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; 2)p:每一个四边形的四个顶点公圆; 2 3)p:对任意x ? Z,x 的个位数字不等于3。
全称命题 p : ?x ? M,p(x) 它的否定 ?p : ?x ? M,?p(x)

1)?p:存在一个能整除的整数不是奇数。
2)?p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆。

3)?p:

?x0 ? Z , x0 的个位数字等于3.
2

想一想?

写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;

?x ? M,p(x)

2)某些平行四边形是菱形; 3)?x ? R, x2 ? 1 ? 0
否定:
1)所有实数的绝对值都不是正数;

?x ? M,p(x)
?x ? M,p(x)

?x ? M,?p(x)

2)每一个平行四边形都不是菱形;
3) ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

?x ? M,?p(x)
?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题 它的否定

p : ?x ? M,p(x) ?p : ?x ? M,?p(x)

特称命题的否定是全称命题

例2 写 出下列特 称命题 的否定: 1)p:?x ? R,x +2x+3 ? 0;
2

2)p:有的三角形是等边三角形; 3)p:有一个素数含有三个正因子。
特称命题 它的否定

p : ?x ? M,p(x) ?p : ?x ? M,?p(x)
2

1)?p:?x ? R,x +2x+3 ? 0;

2)?p:所有的三角形都不是等 边 三角形;
3)?p:每一 个 素都不含三 个 正因子。

例3.

写 出下列命题
两个
2

的否定,并判

其真假:

1)p:任意

等 边 三角形都是相似的;

2)p:?x ? R,x +2x+2=0; 3 )空集是任何集合的真子集.

1)?p:存在两个 等 边 三角形,它 们不相似;
假命题

2)?p:?x ? R,x2 +2x+2 ? 0,?p是真命 题 ; 3 )空集不 是某些集合的真子集.

例4、写出下列命题的否定:
(1) ?x ? R,3 x ? x;

? x ∈ R, 3 x = x ;
(2) ?x∈R,sinx=1;

?x ? R, sin x ? 1;
(3) ?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.

?x ?{?2, ?1,0,1,2}, x ? 2 ? 2.

怎样写含有量词的命题的否定? 例 试写出下列命题的否定形式: ⑴每一个素数都是奇数; 解:否定:存在一个素数不是奇数.

⑵菱形是正方形;
解:原命题可改写为:所有菱形都是正方形; ∴这个命题的否定为:存在一个菱形不是正方形. ⑶? x ? R , x 2 ? 1 ? 0 ; 解:否定:? x ? R , x 2 ? 1≥ 0 . ⑷某些平行四边形是菱形.

解:每一个平行四边形都不是菱形.

先改写为全称命题或特称命题,再写它的否定.

探究: 有逻辑联结词的命题如何否定?
1.
2. 3.

p? q
p?q

的否定: ?p

? ?q

的否定:? p ?

?q

? p 的否定: p

演练:
写出由p、q构成的命题p或q、p且q形式的 命题,并写出命题的否定:

(1) p: ? 是无理数; q: ? 是有理数. (2) p:等腰三角形的两个底角相等; q:等腰三角形底边上的高和底 边上的中线重合.

巩固训练

小结
含有一个量词的命题的否定

一般地,我们有: “?x ? M , p( x)”的否定为“ ?x ? M , ?p( x)” , “?x ? M , p( x)”的否定为“ ?x ? M , ?p( x)”。
结论:全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题

课外练习:已知命题 p:? a,b,c ? (0,+∞) ,三个数 1 1 1 a ? , b ? , c ? 中至少有一个不小于 2 .试写出 b c a ?p,并证明它们的真假.
1 1 1 a? ,b? c? 解 :? p:? a,b,c?(0,+∞ ),三个数 , 全小于 2 . b c a 1 1 1 ? 假设 ? p 是真命题 ,则 ?a,b,c? (0,+∞ ),a? +b? c+ <6 b c a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a ? b ? c ? 2 a? ?2 b? 2 c? ?6 ∵ + + = a? ?b? ?c? ≥ b c a a b c a b c

∴推出矛盾 ,由此可知 ? p 是假命题 ,∴ p 是真命题

巩固训练
2、下列命题中假命题的个数是( C ) (1)2x+1是整数(x?R);(2)对所有的x ?R,x>3; (3)对任 意一个x?Z, 2 x 2 ? 1为奇数。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3、以下三个命题: (1)?? ? R, 在[? , ? ? ? ]上函数y ? sin x都能取到最大值1;
(2)若?x ? R且? ? 0,f ( x ? ? ) ? ? f ( x)对?x ? R成立, 则f ( x)为周期函数; ? 7? 3? ? (3)?x ? ? ? , ? ? , 使 sin x ? cos x. 4 ? ? 4 其中正确的命题个数为( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3


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