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(新课标)2017春高中数学第2章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课时作业新人教A版必修5资料

时间:2017-03-29


2017 春高中数学 第 2 章 数列 2.2 等差数列 第 1 课时 等差数列的 概念与通项公式课时作业 新人教 A 版必修 5

基 础 巩 固 一、选择题 1.(2016·湖南岳阳模拟)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a3=2a1,则 导学号 54742264 ( 5 A. 6 3 C. 4 C ) 4 B. 5 2 D. 3

/>a1+a3 的值为 a2+a4

[解析] ∵等差数列{an}的公差为 d≠0,且 a3=2a1,∴a3=a1+2d=2a1,∴a1=2d,∴

an=2d+(n-1)d=(n+1)d,


a1+a3 2d+4d 3 = = . a2+a4 3d+5d 4

2.(2016·四川南充期中)已知 m 和 2n 的等差中项是 4,2m 和 n 的等差中项是 5,则 m 和 n 的等差中项是 导学号 54742265 ( A.2 C.6 B ) B.3 D.9

[解析] 由题意得 2n+m=8,2m+n=10.两式相加得 3m+3n=18,所以 m+n=6,所以

m 和 n 的等差中项是 3.
3.(2015·重庆理,2)在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6= 导学号 54742266 ( B ) A.-1 C.1 B.0 D.6

[解析] 根据题意知:a4=a2+(4-2)d,易知 d=-1,所以 a6=a4+(6-4)d=0. 4. 等差数列{an}中, a5=33, a45=153, 则 201 是该数列的第( ( B ) A.60 C.62 B.61 D.63 )项 导学号 54742267

1

[解析] 设公差为 d,由题意,得?
? ?a1=21 ?d=3 ?

?a1+4d=33 ? ?a1+44d=153 ?



解得?

.

∴an=a1+(n-1)d=21+3(n-1)=3n+18. 令 201=3n+18,∴n=61. 1 5.等差数列的首项为 ,且从第 10 项开始为比 1 大的项,则公差 d 的取值范围是 25 导学号 54742268 ( 8 A.d> 75 8 3 C. <d< 75 25 1 ? ?25+9d>1 ,∴? 1 ?25+8d≤1 ? D ) 3 B.d< 25 8 3 D. <d≤ 75 25

[解析] 由题意?

?a10>1 ? ?a9≤1 ?





8 3 <d≤ . 75 25

6. 已知数列{an}为等差数列, 且 a1=2, a2+a3=13, 则 a4+a5+a6 等于 导学号 54742269 ( B ) A.40 C.43 B.42 D.45

[解析] 设公差为 d,则 a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d=13,解得 d=3,所以 a4+a5 +a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)=3a1+12d=42. 二、填空题 7.(2016·甘肃嘉峪关期末)已知△ABC 的三边 a,b,c 成等差数列, a, b, c也 成等差数列,则△ABC 的形状为等边三角形. 导学号 54742270 [解析] 由 a,b,c 成等差数列得 a+c=2b.① 由 a, b, c成等差数列得 a+ c=2 b.② ② -①得 2 ac=2b,即 b =ac.将①平方得 a +2ac+c =4b ③, 将 b =ac 代入③得 a +2ac+c =4ac,即(a-c) =0,∴a=c. 又∵a+c=2b,∴2a=2b,∴a=b,∴a=b=c.∴△ABC 是等边三角形. 8 . 一 个 直 角 三 角 形 三 边 长 a 、 b 、 c 成 等 差 数 列 , 面 积 为 12 , 则 它 的 周 长 为
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

12 2. 导学号 54742271 [解析] 由条件知 b 一定不是斜边,设 c 为斜边, 2b=a+c ? ?1 则? ab=12 2 ? ?a +b =c
2 2

,解得 b=4 2,a=3 2,c=5 2,
2

∴a+b+c=12 2. 三、解答题 9 .成等差数列的四个数之和为 26 ,第二个数和第三个数之积为 40 ,求这四个 数. 导学号 54742272 [分析] 已知四个数成等差数列,有多种设法,但如果四个数的和已知,常常设为 a- 3d,a-d,a+d,a+3d 更简单.再通过联立方程组求解. [解析] 设四个数分别为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,
??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26 ① ? 则:? ? ??a-d??a+d?=40 ②

13 3 由①,得 a= .代入②,得 d=± . 2 2 ∴四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. [点评] 对称法设未知项 (1)若三个数成等差可设为 a-d,a,a+d. (2)若四个数成等差,可设为 a-3d,a-d,a+d,a+3d. 请练习: 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为 21,前三项之积为 231,求数列的通项公 式. [解析] 设等差数列的前三项分别为 a-d,a,a+d,由题意,得 ,
?a=7, ? ? ?d=±4

? ?a-d+a+a+d=21 ? ?a?a-d??a+d?=231 ? ?3a=21 ? 即? 2 2 ? ?a?a -d ?=231

,解得?

.

∵等差数列{an}是递增数列,∴d=4. ∴等差数列的首项为 3,公差为 4. ∴an=3+4(n-1)=4n-1. 10.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断 153 是不是这个数列的项,如果

3

是,是第几项? 导学号 54742273 [分析] 等差数列中只要已知首项和公差就可以写出数列.由 a15=a1+14d,a61=a1+ 60d 解关于 a1 和 d 的方程组; 也可以利用等差数列的通项是关于 n 的一次函数(d≠0)来考虑. [解析] 解法一:设首项为 a1,公差为 d, 由已知得?
? ?a1+?15-1?d=33 ? ?a1+?61-1?d=217



解得?

?a1=-23 ? ?d=4 ?



∴an=-23+(n-1)×4=4n-27, 令 an=153,即 4n-27=153,得 n=45∈N , ∴153 是所给数列的第 45 项. 解法二:∵{an}不是常数列, ∴{an}的通项公式是关于 n 的一次函数.假设 153 是该数列的第 n 项,则(15,33), (61,217),(n,153)三点共线. ∴ 217-33 153-33 * = ,解得 n=45∈N . 61-15 n-15
*

∴153 是所给数列的第 45 项. 能 力 提 升 一、选择题 11. 等差数列前三项为 x-1, x+1,2x+3, 则这个数列的通项公式为 导学号 54742274 ( C ) A.an=2n+1 C.an=2n-3 B.an=2n-1 D.an=2n-5

[解析] 由条件知,2(x+1)=(x-1)+(2x+3), ∴x=0, ∴此等差数列的首项 a1=1,公差 d=2, ∴an=2n-3. 12.若 a≠b,两个等差数列 a,x1,x2,b 与 a,y1,y2,y3,b 的公差分别为 d1,d2,则

d1 等于 导学号 54742275 ( C ) d2
3 A. 2 4 C. 3 2 B. 3 3 D. 4
4

[解析] 由题意,得 b=a+3d1=a+4d2, ∴d1= ∴ =

b-a
3

,d2=

b-a
4



d1 b-a 4 4 · = . d2 3 b-a 3
C )

1 13. 设等差数列{an}中, 已知 a1= , a2+a5=4, an=33, 则 n 是 导学号 54742276 ( 3 A.48 C.50 B.49 D.51

1 2 [解析] a1= ,a2+a5=2a1+5d= +5d=4, 3 3 2 ∴d= , 3 1 2 又 an=a1+(n-1)d= + (n-1)=33, 3 3 ∴n=50. 二、填空题

a 1 14.一个等差数列的前 4 项分别是 a,x,b,2x,则 = . 导学号 54742277 b 3
? ?2x=a+b, [解析] 由题意得? ?2b=3x, ?

x 3 a 1 ∴a= ,b= x,∴ = . 2 2 b 3
15. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差 数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升. 导学号 54742278 [解析] 设此等差数列为{an},公差为 d,则
?a1+a2+a3+a4=3 ? ? ? ?a7+a8+a9=4

67 66

, 13 a= ? ? 22 ,解得? 7 d= ? ? 66
1

?4a1+6d=3 ? ∴? ?3a1+21d=4 ?

.

13 7 67 ∴a5=a1+4d= +4× = . 22 66 66 三、解答题
5

16.设{an}是等差数列,若 am=n,an=m,(m≠n),求 am+n. 导学号 54742279 [解析] 设公差为 d,由题意,得
?a1+?m-1?d=n ? ? ? ?a1+?n-1?d=m



解得?

? ?a1=m+n-1 ?d=-1 ?



∴am+n=a1+(m+n-1)d=(m+n-1)-(m+n-1)=0. [点评] 解答本题经常出现的错误是:am+n=am+an=m+n.错因是,在等差数列中,只 有当两项的序号和相等时,其对应项的和才相等,而上述解答中,am+an 是两项的和,而 am
+n

只有一项,虽然序号满足但项数不符. 17.(2016·黑龙江哈尔滨期中)已知 f(x)= 2x 1 ,在数列{an}中,a1= ,an=f(an-1), x+2 3

n≥2,n∈N*. 导学号 54742280
1 (1)证明:{ }是等差数列.

an

(2)求 a95 的值. [解析] (1)证明:因为 an=f(an-1), 所以 an= 2an-1 , an-1+2

即 anan-1+2an=2an-1. 2an-1-2an 1 1 1 所以 =1,即 - = . anan-1 an an-1 2 1 1 1 所以{ }是首项为 =3,公差为 的等差数列. an a1 2 1 1 n+5 (2)由(1)知 =3+(n-1)× = , an 2 2 ∴an= 2

n+5



2 1 ∴a95= = . 95+5 50

6


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