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北京市2016届春季普通高中会考数学试卷(解析版)


2016 年北京市春季普通高中会考数学试卷
一、在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.函数 y=3sinx+2 的最小正周期是( ) A.1 B.2 C.π D.2π 2.已知集合 A={1,2},B={1,m,3},如果 A∩B=A,那么实数 m 等于( A.﹣1 B.0 C.2 D.4 3.如果向量 , ,那么等于 ( )

/>)

A. (9,8) B. (﹣7,﹣4) C. (7,4) D. (﹣9,﹣8) 4.在同一直角坐标系 xOy 中,函数 y=cosx 与 y=﹣cosx 的图象之间的关系是( A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于直线 y=x 对称 2 D.关于直线 y=﹣x 对称 5.执行如图所示的程序框图.当输入﹣2 时,输出的 y 值为( )



A.﹣2 B.0 C.2 D.±2 6.已知直线 l 经过点 P(2,1) ,且与直线 2x﹣y+2=0 平行,那么直线 l 的方程是( ) A.2x﹣y﹣3=0 B.x+2y﹣4=0 C.2x﹣y﹣4=0 D.x﹣2y﹣4=0 7. 270000 某市共有初中学生 人, 其中初一年级, 初二年级, 初三年级学生人数分别为 99000, 90000,81000,为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向,现采用分层抽样的方法 从中抽取一个容量为 3000 的样本,那么应该抽取初三年级的人数为( ) A.800 B.900 C.1000 D.1100 8.在△ ABC 中,∠C=60°,AC=2,BC=3,那么 AB 等于( ) A. B. C. D. 9.口袋中装有大小、材质都相同的 6 个小球,其中有 3 个红球、2 个黄球和 1 个白球,从 中随机摸出 1 个球,那么摸到红球或白球的概率是( ) A. B. C. D.

10.如果正方形 ABCD 的边长为 1,那么 等于( ) A.1 B. C. D.2 11.2015 年 9 月 3 日,纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 70 周年大会在北京 天安门广场隆重举行, 大会中的阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象, 展 示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心, 在阅兵活动的训练工作中, 不仅使
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用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备,还 通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析、有效保证了阅兵活动的顺利进行,假如 训练过程过程中第一天产生的数据量为 a,其后每天产生的数据量都是前一天的 q(q>1) 倍,那么训练 n 天产生的总数据量为( ) A.aqn﹣1B.aqn C. D.

12.已知 A. B.

,那么 cos(﹣2α)等于( C. D.



13.在函数①y=x﹣1;②y=2x;③y=log2x;④y=tanx 中,图象经过点(1,1)的函数的序 号是( ) A.① B.② C.③ D.④ 14.log42﹣log48 等于( ) A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 15.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是正方形,那么该几何体的表面积是(



A.32

B.24

C.

D. ② ; ③ ; ④ ;

16. 如果 a>b>0, 且 a+b=1, 那么在不等式①

中,一定成立的不等式的序号是( ) A.① B.② C.③ D.④ 17.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是 A1B1,B1C1,BB1 的中点,给出下 列四个推断: ①FG∥平面 AA1D1D; ②EF∥平面 BC1D1; ③FG∥平面 BC1D1; ④平面 EFG∥平面 BC1D1 其中推断正确的序号是( )

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A.①③

B.①④
2

C.②③
2

D.②④

18.已知圆 O1 的方程为 x +y =4,圆 O2 的方程为(x﹣a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有 一个公共点,那么 a 的所有取值构成的集合是( ) A.{1,﹣1} B.{3,﹣3} C.{1,﹣1,3,﹣3} D.{5,﹣5,3,﹣3} 19.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(4,2)和 B(0,b)满足|BO|=|BA|,那么 b 的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 x 20.已知函数 f(x)=a ,其中 a>0,且 a≠1,如果以 P(x1,f(x1) ) ,Q(x2,f(x2) )为 端点的线段的中点在 y 轴上,那么 f(x1)?f(x2)等于( ) A.1 B.a C.2 D.a2 21.已知点 A(0,1) ,动点 P(x,y)的坐标满足 y≤|x|,那么|PA|的最小值是( ) A. B. C. D.1 ,关于 f(x)的性质,有以下四个推断: ②f(x)的值域是 ;

22.已知函数

①f(x)的定义域是(﹣∞,+∞) ; ③f(x)是奇函数;

④f(x)是区间(0,2)上的增函数.

其中推断正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 23.为应对我国人口老龄化问题,某研究院设计了延迟退休方案,第一步:2017 年女干部 和女工人退休年龄统一规定为 55 岁;第二步:从 2018 年开始,女性退休年龄每 3 年延迟 1 岁,至 2045 年时,退休年龄统一规定为 65 岁,小明的母亲是出生于 1964 年的女干部,据 此方案,她退休的年份是( ) A.2019 B.2020 C.2021 D.2022 24.已知函数 f(x)=asinx+bcosx,其中 a∈R,b∈R,如果对任意 x∈R,都有 f(x)≠2,那 么在不等式①﹣4<a+b<4;②﹣4<a﹣b<4;③a2+b2<2;④a2+b2<4 中,一定成立的 不等式的序号是( ) A.① B.② C.③ D.④ 25.我国古代数学名著《续古摘奇算法》 (杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将 1,2, 3,4,5,6,7,8,9 分别填入 3×3 的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的 和都相等(如图所示) ,我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的 数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是( ) 8 3 4 1 5 9 6 7 2 A.9 B.8 C.6 D.4 二.解答题(每小题 5 分,共 25 分) 26.已知 (Ⅰ)tanθ= (Ⅱ)求 ; 的值.
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,且



27.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,∠ABC=90°,AB=2,BC=?=1, D 是棱 A1B1 上一点. (Ⅰ)证明:BC⊥AD; (Ⅱ)求三棱锥 B﹣ACD 的体积.

28.已知直线 l:x+y=1 与 y 轴交于点 P,圆 O 的方程为 x2+y2=r2(r>0) . (Ⅰ)如果直线 l 与圆 O 相切,那么 r= ; (将结果直接填写在答题卡的相应位 置上) (Ⅱ)如果直线 l 与圆 O 交于 A,B 两点,且 ,求 r 的值.

29.数列{an}满足

,n=1,2,3,…,{an}的前 n 项和记为 Sn.

(Ⅰ)当 a1=2 时,a2= ; {a } (Ⅱ)数列 n 是否可能为等比数列?证明你的推断; (Ⅲ)如果 a1≠0,证明: .

30.已知函数 f(x)=2ax2+bx﹣a+1,其中 a∈R,b∈R. (Ⅰ)当 a=b=1 时,f(x)的零点为 ; (Ⅱ)当 时,如果存在 x0∈R,使得 f(x0)<0,试求 a 的取值范围;

(Ⅲ)如果对于任意 x∈[﹣1,1],都有 f(x)≥0 成立,试求 a+b 的最大值.

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2016 年北京市春季普通高中会考数学试卷
参考答案与试题解析

一、在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.函数 y=3sinx+2 的最小正周期是( ) A.1 B.2 C.π D.2π 【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的周期为 【解答】解:函数 y=3sinx+2 的最小正周期为 2π, 故选:D. 2.已知集合 A={1,2},B={1,m,3},如果 A∩B=A,那么实数 m 等于( A.﹣1 B.0 C.2 D.4 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】由 A∩B=A,得出 A?B,即可得出 m. 【解答】解:∵A∩B=A, ∴A?B. ∵A={1,2},B={1,m,3}, ∴m=2. 故选 C. ) ,求得结果.

3.如果向量



,那么等于





A. (9,8) B. (﹣7,﹣4) C. (7,4) D. (﹣9,﹣8) 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可. 【解答】解:向量 则于 故选:B. 4.在同一直角坐标系 xOy 中,函数 y=cosx 与 y=﹣cosx 的图象之间的关系是( A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于直线 y=x 对称 2 D.关于直线 y=﹣x 对称 ) , ,

=(1,2)﹣2(4,3)=(1,2)﹣(8,6)=(1﹣8,2﹣6)=(﹣7,﹣4) ,

【考点】余弦函数的图象. 【分析】根据当自变量相同时,它们的函数值相反,可得它们的图象关于 x 轴对称. 【解答】解:由于当自变量相同时,它们的函数值相反,故它们的图象关于 x 轴对称, 故选:A. 5.执行如图所示的程序框图.当输入﹣2 时,输出的 y 值为(
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A.﹣2 B.0

C.2

D.±2

【考点】程序框图. 【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出输出的结果. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; x=﹣2,x≥0?,否; y=﹣(﹣2)=2, 输出 y 的值为 2. 故选:C. 6.已知直线 l 经过点 P(2,1) ,且与直线 2x﹣y+2=0 平行,那么直线 l 的方程是( A.2x﹣y﹣3=0 B.x+2y﹣4=0 C.2x﹣y﹣4=0 D.x﹣2y﹣4=0 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【分析】设所求的方程为 x﹣y+c=0,代点可得关于 c 的方程,解之代入可得. 【解答】解:由题意可设所求的方程为 2x﹣y+c=0, 代入已知点(2,1) ,可得 4﹣1+c=0,即 c=﹣3, 故所求直线的方程为:2x﹣y﹣3=0, 故选:A. 7. 某市共有初中学生 270000 人, 其中初一年级, 初二年级, 初三年级学生人数分别为 99000, 90000,81000,为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向,现采用分层抽样的方法 从中抽取一个容量为 3000 的样本,那么应该抽取初三年级的人数为( ) A.800 B.900 C.1000 D.1100 【考点】分层抽样方法. 【分析】 先求出每个个体被抽到的概率, 用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该 层应抽取的个体数. 【解答】解:每个个体被抽到的概率等于 则抽取初三年级的人数应为 81000× 故选:B. 8.在△ ABC 中,∠C=60°,AC=2,BC=3,那么 AB 等于( A. B. C. D. 【考点】余弦定理.
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=



=900 人,



【分析】由已知及余弦定理即可求值得解. 【解答】解:∵∠C=60°,AC=2,BC=3, ∴由余弦定理可得:AB= 故选:C. 9.口袋中装有大小、材质都相同的 6 个小球,其中有 3 个红球、2 个黄球和 1 个白球,从 中随机摸出 1 个球,那么摸到红球或白球的概率是( ) A. B. C. D. = = .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】根据题意,易得口袋中有 6 个球,其中红球和白球共有 4 个,由古典概型公式,计 算可得答案. 【解答】解:根据题意,口袋中有 6 个球,其中 3 个红球、2 个黄球和 1 个白球, 则红球和白球共有 4 个, 故从中随机摸出 1 个球,那么摸到红球或白球的概率是 = ; 故选 D. 10.如果正方形 ABCD 的边长为 1,那么 A.1 B. C. D.2 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】求出 的模长和夹角,代入数量积公式计算. |=1,| |= ,∠BAC= , 等于( )

【解答】解:∵正方形 ABCD 的边长为 1,∴| ∴ =| |?| |?cos =1.

故选:A. 11.2015 年 9 月 3 日,纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 70 周年大会在北京 天安门广场隆重举行, 大会中的阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象, 展 示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心, 在阅兵活动的训练工作中, 不仅使 用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备,还 通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析、有效保证了阅兵活动的顺利进行,假如 训练过程过程中第一天产生的数据量为 a,其后每天产生的数据量都是前一天的 q(q>1) 倍,那么训练 n 天产生的总数据量为( ) A.aqn﹣1B.aqn C. D.

【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】由已知得训练 n 天产生的总数据量为 Sn=a+aq+aq2+…+aqn﹣1,由此能求出结果. 【解答】解:∵训练过程中第一天产生的数据量为 a,其后每天产生的数据量都是前一天的 q(q>1)倍,
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∴那么训练 n 天产生的总数据量为: Sn=a+aq+aq2+…+aqn﹣1 = 故选:D. .

12.已知 A. B.

,那么 cos(﹣2α)等于( C. D.



【考点】二倍角的余弦. 【分析】利用诱导公式,二倍角的余弦函数公式即可求值得解. 【解答】解:∵ ,

∴cos(﹣2α)=cos2α=2cos2α﹣1=2×( )2﹣1=﹣ . 故选:B. 13.在函数①y=x﹣1;②y=2x;③y=log2x;④y=tanx 中,图象经过点(1,1)的函数的序 号是( ) A.① B.② C.③ D.④ 【考点】函数的图象. 【分析】把点(1,1)代入各个选项检验,可得结论. 【解答】解:把点(1,1)代入各个选项检验,可得只有 y=x﹣1 的图象经过点(1,1) , 故选:A. 14.log42﹣log48 等于( A.﹣2 B.﹣1 C.1 ) D.2

【考点】对数的运算性质. 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【解答】解:log42﹣log48=log4 =log44﹣1=﹣1, 故选:B.

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15.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是正方形,那么该几何体的表面积是(



A.32

B.24

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由几何体的三视图得出原几何体一个底面为正方形的长方体, 结合图中数据求出它 的表面积. 【解答】解:由三视图可知,该几何体是一个底面为正方形的长方体, 长方体的底面正方形的对角线长为 2,长方体的高是 3; 所以,底面正方形的边长为 该长方体的表面积为 2× 故选:C. = +4×3× , =4+12 .

16. 如果 a>b>0, 且 a+b=1, 那么在不等式① 中,一定成立的不等式的序号是( A.① B.② C.③ D.④ )

② ;

③ ;

④ ;

【考点】不等式的基本性质. 【分析】通过特殊值判断①②,通过通分判断③,通过基本不等式的性质判断④. 【解答】解:如果 a>b>0,且 a+b=1, 那么① ③ + = ④1=a+b>2 故④正确, 故选:D. 17.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是 A1B1,B1C1,BB1 的中点,给出下 列四个推断: ①FG∥平面 AA1D1D; ②EF∥平面 BC1D1; ③FG∥平面 BC1D1; ④平面 EFG∥平面 BC1D1 其中推断正确的序号是( )
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,② = ,故 ,故

,令 a=0.8,b=0.2,显然不成立,故①②错误; 错误; ,

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

【考点】平面与平面平行的判定;直线与平面平行的判定. BC1∥AD1, FG∥平面 AA1D1D; 【分析】 由 FG∥BC1, 得 FG∥AD1, 从而 FG∥平面 BC1D1, 由 EF∥A1C1,A1C1 与平面 BC1D1 相交,从而 EF 与平面 BC1D1 相交,进而平面 EFG 与平 面 BC1D1 相交. 【解答】解:∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是 A1B1,B1C1,BB1 的中 点, ∴FG∥BC1,∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1, ∵FG?平面 AA1D1D,AD1?平面 AA1D1D,∴FG∥平面 AA1D1D,故①正确; ∵EF∥A1C1,A1C1 与平面 BC1D1 相交,∴EF 与平面 BC1D1 相交,故②错误; ∵E,F,G 分别是 A1B1,B1C1,BB1 的中点, ∴FG∥BC1,∵FG?平面 BC1D1,BC1?平面 BC1D1, ∴FG∥平面 BC1D1,故③正确; ∵EF 与平面 BC1D1 相交,∴平面 EFG 与平面 BC1D1 相交,故④错误. 故选:A. 18.已知圆 O1 的方程为 x2+y2=4,圆 O2 的方程为(x﹣a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有 一个公共点,那么 a 的所有取值构成的集合是( ) A.{1,﹣1} B.{3,﹣3} C.{1,﹣1,3,﹣3} D.{5,﹣5,3,﹣3} 【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【分析】两个圆有且只有一个公共点,两个圆内切或外切,分别求出 a,即可得出结论. 【解答】解:∵两个圆有且只有一个公共点, ∴两个圆内切或外切, 内切时,|a|=1,外切时,|a|=3, ∴实数 a 的取值集合是{1,﹣1,3,﹣3}. 故选:C. 19.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(4,2)和 B(0,b)满足|BO|=|BA|,那么 b 的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【考点】两点间距离公式的应用. 【分析】根据两点间的距离公式表示|BO|=|BA|,即可求出 b 的值. 【解答】解:∵点 A(4,2)和 B(0,b)满足|BO|=|BA|, ∴b2=42+(2﹣b)2, ∴b=5. 故选:C.

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20.已知函数 f(x)=ax,其中 a>0,且 a≠1,如果以 P(x1,f(x1) ) ,Q(x2,f(x2) )为 端点的线段的中点在 y 轴上,那么 f(x1)?f(x2)等于( ) 2 A.1 B.a C.2 D.a 【考点】指数函数的图象与性质. 【分析】由已知可得 x1+x2=0,进而根据指数的运算性质,可得答案. 【解答】解:∵以 P(x1,f(x1) ) ,Q(x2,f(x2) )为端点的线段的中点在 y 轴上, ∴x1+x2=0, 又∵f(x)=ax, ∴f(x1)?f(x2)=ax1+ax2=ax1+x2=a0=1, 故选:A. 21.已知点 A(0,1) ,动点 P(x,y)的坐标满足 y≤|x|,那么|PA|的最小值是( A. B. C. D.1 )

【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【分析】作出平面区域,根据图形找出 PA 的最小值. 【解答】解:作出平面区域如图,则|PA|的最小值为 A(0,1)到直线 x﹣y=0 的距离 d= = .

故选:B.

22.已知函数

,关于 f(x)的性质,有以下四个推断: ②f(x)的值域是 ;

①f(x)的定义域是(﹣∞,+∞) ;

③f(x)是奇函数; ④f(x)是区间(0,2)上的增函数. 其中推断正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】函数的定义域及其求法;函数的值域;函数奇偶性的判断. 【分析】根据 f(x)的表达式求出其定义域,判断①正确;根据基本不等式的性质求出 f (x)的值域,判断②正确;根据奇偶性的定义,判断③正确;根据函数的单调性,判断 ④错误.
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【解答】解:①∵函数 ∴f(x)的定义域是(﹣∞,+∞) , 故①正确; ②f(x)= ,



x>0 时:f(x)≤ , x<0 时:f(x)≥﹣ , 故 f(x)的值域是 ,

故②正确; ③f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x)是奇函数, 故③正确; ④由 f′(x)= ,

令 f′(x)>0,解得:﹣1<x<1, 令 f′(x)<0,解得:x>1 或 x<﹣1, ∴f(x)在区间(0,2)上先增后减, 故④错误; 故选:C. 23.为应对我国人口老龄化问题,某研究院设计了延迟退休方案,第一步:2017 年女干部 和女工人退休年龄统一规定为 55 岁;第二步:从 2018 年开始,女性退休年龄每 3 年延迟 1 岁,至 2045 年时,退休年龄统一规定为 65 岁,小明的母亲是出生于 1964 年的女干部,据 此方案,她退休的年份是( ) A.2019 B.2020 C.2021 D.2022 【考点】函数的值. 【分析】按原来的退休政策,她应该于:1964+55=2019 年退休,再据此方案,能求出她退 休的年份. 【解答】解:∵小明的母亲是出生于 1964 年的女干部, ∴按原来的退休政策,她应该于:1964+55=2019 年退休, ∵从 2018 年开始,女性退休年龄每 3 年延迟 1 岁, ∴据此方案,她退休的年份是 2020 年. 故选:B. 24.已知函数 f(x)=asinx+bcosx,其中 a∈R,b∈R,如果对任意 x∈R,都有 f(x)≠2,那 么在不等式①﹣4<a+b<4;②﹣4<a﹣b<4;③a2+b2<2;④a2+b2<4 中,一定成立的 不等式的序号是( ) A.① B.② C.③ D.④ 【考点】两角和与差的正弦函数.
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f x) =asinx+bcosx= 【分析】 需要分类讨论, 当 a=0 时, 和当 a≠0 时, 函数 ( 其中 tanθ= ,然后比较计算即可. 【解答】解:当 a=0 时,f(x)=bcosx, ∵x∈R,都有 f(x)≠2, ∴|b|<1, ∴﹣1<a+b<1,﹣1<a﹣b<1,a2+b2<1, 当 a≠0 时,函数 f(x)=asinx+bcosx= ∵x∈R,都有 f(x)≠2, ∴ <2,即 a2+b2<4, sin(x+θ) ,其中 tanθ= ,

sin (x+θ) ,

综上所示,只有④一定成立, 故选:D. 25.我国古代数学名著《续古摘奇算法》 (杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将 1,2, 3,4,5,6,7,8,9 分别填入 3×3 的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的 和都相等(如图所示) ,我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的 数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是( ) 8 3 4 1 5 9 6 7 2 A.9 B.8 C.6 D.4 【考点】计数原理的应用. 【分析】列举所有排法,即可得出结论. 【解答】解:三阶幻方,是最简单的幻方,由 1,2,3,4,5,6,7,8,9.其中有 8 种排 法 4 9 2、3 5 7、8 1 6;2 7 6、9 5 1、4 3 8;2 9 4、7 5 3、6 1 8;4 3 8、9 5 1、2 7 6; 8 1 6、 3 5 7、4 9 2;6 1 8、7 5 3、2 9 4; 6 7 2、1 5 9、8 3 4;8 3 4、1 5 9、6 7 2. 故选:B. 二.解答题(每小题 5 分,共 25 分) 26.已知 (Ⅰ)tanθ= ﹣ (Ⅱ)求 ; 的值. ,且 .

【考点】三角函数的化简求值. 【分析】 (Ⅰ)由条件利用同角三角函数的基本关系,求得 cosθ 的值,可得 tanθ 的值. (Ⅱ)由条件利用两角和的余弦公式,求得 的值.

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【解答】解: (Ⅰ)∵ ∴ ,

,且

,∴cosθ=﹣

=﹣ ,

故答案为:﹣ . (Ⅱ)∵ =cosθcos ﹣sinθsin =﹣ ? ﹣ ? =﹣ .

27.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,∠ABC=90°,AB=2,BC=?=1, D 是棱 A1B1 上一点. (Ⅰ)证明:BC⊥AD; (Ⅱ)求三棱锥 B﹣ACD 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)根据线面垂直的性质定理证明 BC⊥平面 ABB1A1,即可证明:BC⊥AD; (Ⅱ)利用转化法结合三棱锥的体积公式即可求三棱锥 B﹣ACD 的体积. 【解答】证明: (Ⅰ)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,∠ABC=90°, ∴BC⊥AB, ∵BB1⊥平面 ABC,BZ?平面 ABC, ∴BB1⊥BC, ∵BB1∩AB=B, ∴BC⊥平面 ABB1A1, ∵AD?平面 ABB1A1, ∴BC⊥AD. (Ⅱ)∵BC⊥平面 ABB1A1, ∴BC 是三棱锥 C﹣ABD 的高, 则 VB﹣ACD=VC﹣ABD= S△ ABD?BC= 即 . AB?BB1?BC= ×2×1= ,

28.已知直线 l:x+y=1 与 y 轴交于点 P,圆 O 的方程为 x2+y2=r2(r>0) . (Ⅰ)如果直线 l 与圆 O 相切,那么 r= (Ⅱ)如果直线 l 与圆 O 交于 A,B 两点,且 ; (将结果直接填写在答题卡的相应位置上) ,求 r 的值.

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)如果直线 l 与圆 O 相切,圆心到直线的距离 d=r;
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(Ⅱ)如果直线 l 与圆 O 交于 A,B 两点,且 定理求 r 的值. 【解答】解: (Ⅰ)圆心到直线的距离 d= (Ⅱ)设|PA|=x,则|PB|=2x. 圆心到直线的距离 d= . = ,∴

,分类讨论,利用相交弦定理、勾股



①点 P 在圆内,|AB|=3x,则 x?2x=(r﹣1) (r+1) ,∴x2= (r2﹣1) , ∴r2= (r2﹣1)+ ,∴r= ;

②点 P 在圆外,则 x?2x=(1﹣r) (r+1) ,∴x2= (1﹣r2) , ∴r2= (1﹣r2)+ ,∴r= ∴r 的值为 故答案为: 或 . … ;

29.数列{an}满足 (Ⅰ)当 a1=2 时,a2=

,n=1,2,3,…,{an}的前 n 项和记为 Sn.



(Ⅱ)数列{an}是否可能为等比数列?证明你的推断; (Ⅲ)如果 a1≠0,证明: .

【考点】数列递推式;数列的求和. 【分析】 (Ⅰ)当 a1=2 时,代入计算,可得 a2; (Ⅱ)利用反证法判断数列{an}不可能为等比数列; (Ⅲ)利用数学归纳法进行证明. 【解答】解: (Ⅰ)当 a1=2 时, (Ⅱ)设公比为 q,则 ∵ , ;



+1= ,

∴q=1,此时 an=0,矛盾 ∴数列{an}不可能为等比数列;
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(Ⅲ)n=1 时,左边=a1,右边=

=

=a1,成立;

假设 n=k 时,结论成立,则 Sk=



n=k+1 时,左边=Sk+ak+1=

+ak+1=

右边=

=

=

∴左边=右边, 综上, .

故答案为: . 30.已知函数 f(x)=2ax2+bx﹣a+1,其中 a∈R,b∈R. (Ⅰ)当 a=b=1 时,f(x)的零点为 0,﹣ (Ⅱ)当 ;

时,如果存在 x0∈R,使得 f(x0)<0,试求 a 的取值范围;

(Ⅲ)如果对于任意 x∈[﹣1,1],都有 f(x)≥0 成立,试求 a+b 的最大值. 【考点】函数零点的判定定理;二次函数的性质. 【分析】 (I)令 f(x)=0 解出; (II)根据 f(x)的函数类型和图象开口讨论,只需 fmin(x)<0 即可; (III)对函数类型,开口方向,单调性进行讨论,令 fmin(x)≥0 列出不等式,根据不等式 的性质得出 a+b 的范围. 【解答】解: (I)a=b=1 时,f(x)=2x2+x,令 f(x)=0,解得 x=0 或 x=﹣ .∴f(x)的 零点为 0,﹣ . (II)当 b= 时,f(x)=2ax2+ x﹣a+1, ①当 a=0 时,f(x)= +1,f(x)为 R 上的增函数,f(﹣ )=0,∴当 x0<﹣ 时,f(x0)

<0,符合题意; ②当 a<0 时,f(x)的图象开口向下,显然存在 x0∈R,使得 f(x0)<0,符合题意;
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③当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,对称轴为 x=﹣ 令 1﹣a﹣ <0,解得 a 或 0<a< .

,fmin(x)=f(﹣

)=1﹣a﹣



综上,a 的取值范围是(﹣∞, )∪( ,+∞) . (III)①若 a=0,f(x)=bx+1, 当 b=0 时,f(x)=1,符合题意,此时,a+b=0, 当 b>0 时,f(x)在[﹣1,1]上是增函数,∴fmin(x)=f(﹣1)=﹣b+1≥0,∴b≤1,此时, a+b=b≤1. 当 b<0 时,f(x)在[﹣1,1]上是减函数,∴fmin(x)=f(1)=b+1≥0,∴﹣1≤b<0,此时 a+b=b<0. ②若 a>0,f(x)图象开口向上,对称轴为 x=﹣ 当﹣ ,

≤﹣1 即 4a﹣b≤0 时,f(x)在[﹣1,1]上是增函数,fmin(x)=f(﹣1)=a﹣b+1≥0,

∴b﹣a≤1.





,∴a+b≤ .

当﹣

≥1 即 4a+b≤0 时,f(x)在[﹣1,1]上是减函数,fmin(x)=f(1)=a+b+1≥0,∴﹣a

﹣b≤1.





,∴a+b< .

当﹣1<﹣ ﹣

<1 即﹣4a<b<4a 时,f(x)在[﹣1,1]上先减后增,fmin(x)=f(﹣ +a≤1, .∴a+b<5a≤ . ,

)=

﹣a+1≥0,∴

由﹣4a<b<4a 得 b2<16a2,∴3a≤1,∴0 ③若 a<0,f(x)图象开口向下,对称轴为 x=﹣ 当﹣ ﹣1.

=f =a+b+1≥0,∴a+b≥ ≤﹣1 即 4a﹣b≥0 时,f (x) 在[﹣1,1]上是减函数,fmin(x) (1)



得﹣ ≤a<0,又∵b≤4a,∴a+b≤5a<0.

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当﹣

≥1 即 4a+b≥0 时,f(x)在[﹣1,1]上是增函数,fmin(x)=f(﹣1)=a﹣b+1≥0,∴a

﹣b≥﹣1,



得﹣ ≤a<0,又∵b≤a+1,∴a+b≤2a+1<1.

当﹣1<﹣

<1 即 4a<b<﹣4a 时,f(x)在[﹣1,1]上先增后减,

f(1)=a+b+1≥0.f(﹣1)=a﹣b+1≥0,两式相加得﹣1≤a<0, .∴b≤a+1,∴a+b≤2a+1<1. 综上,a+b 的最大值为 .

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2016 年 4 月 12 日

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