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函数的单调性与导数关系课件


3.3.1 函数的单调性与导数
(第一课时)

一、复习回顾:1.基本初等函数的导数公式

(1).常函数:(C)/ ? 0, (c为常数);
(2).幂函数 : (xn)/ ? nxn?1
(3).三角函数 :

(sin x)? ? cos x

(cos x)?

? ? sin x

(4).对数函数的导数: 1 1 (ln x)? ? (log a x)? ? x x ln a (5).指数函数的导数: x x x x ? (a ) ? a ln a(a ? 0, a ? 1) (e )? ? e

2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义,就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处 的切线的斜率.
即:

k切线 ? f '( x0 )

二、复习引入:
1.要判断 f (x) = x2 的单调性,如何进行?

2.还有没有其它方法?

如函数:f ( x) ? x3 ? 3x如何判断单调性呢?

问题 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的
函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10的图象, 图(2)表示高台跳水运 动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到 最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应 地, v(t ) ? h?(t ) ? 0.
O t a b h v

(1)

(2)
t

O

a

b

②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t ) ? h?(t ) ? 0.

观察:下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正 负的关系.

除了上述情况还可能有其他情况吗?同学们可讨论讨 论。

三、函数单调性与导数正负的关系
在某个区间(a, b)内,
f '( x ) ? 0

? f ( x)在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0 ? f ( x)在(a, b)内单调递减

f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内是常函数.
说明:

应正确理解“某个区间”的含义,它必是
定义域内的某个区间。

例1 已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0; 当 x > 4 , 或 x < 1时 , 当 x = 4 , 或 x = 1时 ,

试画出函数

f ( x) 的图象的大致形状.

f ?( x) ? 0; f ?( x) ? 0.

解: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0;可知 f ( x) 在此区间内
单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时 , 间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时 ,

f ?( x) ? 0, 可知 f ( x) 在此区
y

f ?( x) ? 0.

(我们把它称为“临界点”)

综上, 函数 f ( x)图象 的大致形状如右图所示.

O

1

4

x

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x ? 3x (2) f ( x) ? x ? 2 x ? 3 解: (1) 因为 f ( x) ? x 3 ? 3x , 所以 2 2 ? f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0. 3 f ( x ) ? x ? 3x在 x ? R上单调递增. 因此, 函数
3 2




f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , 所以 f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1). 2 , 即 x ? 1时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递增; f ?( x) ? 0 2 , 即 时 , 函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3单调递减. f ?( x) ? 0 x ? 1
(2) 因为
2

单调递增区间为(-?,+?)

? 单调递增区间为(1,+?);单调递减区间为(-?,1);

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(3) f ( x ) ? sin x ? x, x ? (0, ? )
( 4) f ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 24 x ? 1 3 2

解: (3) 因为 f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) , 所以 f ?( x) ? cos x ? 1 ? 0 因此, 函数 f ( x) ? sin x ? x 在 x ? (0, ? )上单调递减. 3 2 (4) 因为 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 , 所以 2 ? f ( x) ? 6 x ? 6 x ? 24
当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? ?1?2 17 或x ? ?1?2 17 时, 函数 f ( x)单 调递增; 当 f ?( x) ? 0 , 即 ? 1 ? 17 ? x ? ? 1 ? 17 时,函数 f ( x)单 2 2 调递减.

试总结用“导数法” 求单调区间的步骤?
(1)确定函数

y ? f ( x)

的定义域;

(2)求导数 y ' ? f ' ( x) ;

(3)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.

1.函数y ? x cos x ? sin x在下面哪个区间内是增函数( ) ? 3? 3? 5? A. ( , ) B. (? , 2? ) C . ( , ) D. (2? , 3? ) 2 2 2 2

y ? f '( x ) 的图象如 2.设 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数, 右图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能的是( )
y

y ? f ( x)
1 2
x o

y

y

y ? f ( x)
1 2 x o

y ? f '( x )
2 x

o

(A)
y

(B)
y

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

四、心得与体会

通过这堂课的研究,我明确了
我的收获与感受有 我还有疑惑之处是


, 。

五、作业设计
练习:(课本) P93
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4; (3) f ( x) ? 3x ? x3 ;
2.函数 y ? f ( x) 图象的大致形状

(2) f ( x) ? e x ? x; (4) f ( x) ? x3 ? x 2 ? x.

的图象如图所示, 试画出导函数

(三维设计) P52题组集训1.3.4


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