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新课标高一物理竞赛班辅导资料 圆周运动专题

时间:2012-03-22


一、描述匀速圆周运动的各物理量间的关 系:
2πr v= = rω = 2πfr=2πrn T
v2 a= = ω 2r r
V2 4π 2 Fn = ma n = m = mω 2 r = m 2 r = 4π 2 mf 2 r r T

二、概念理解: 概念理解: 1、向心加速度是度量线速度方向变化快 、 慢程度的物理量; 慢程度的物理量;向心力是产生向心加速 度的力, 度的力,向心力是根据力的作用效果命名 的力;向心力可以由某一种性质的力提供, 的力;向心力可以由某一种性质的力提供, 也可以是几种性质的力的合力提供。 也可以是几种性质的力的合力提供。 2、匀速圆周运动只是速度方向改变,而 、匀速圆周运动只是速度方向改变, 速度大小不变, 速度大小不变,匀速圆周运动速度方向的 改变方向指向圆心, 改变方向指向圆心,加速度的方向与向心 力的方向都指向圆心。 力的方向都指向圆心。作匀速圆周运动的 物体, 物体,所受合外力的方向一定指向圆心 。

3、非匀速圆周运动的物体所受的合外力, 、非匀速圆周运动的物体所受的合外力, 肯定不指向圆心, 肯定不指向圆心,合力沿半径指向圆心的 分力,其效果是改变线速度的方向、 分力,其效果是改变线速度的方向、产生 向心加速度;合力沿切线方向的分力, 向心加速度;合力沿切线方向的分力,其 效果是改变线速度的大小、产生( 效果是改变线速度的大小、产生(沿切线 方向的)加速度。 方向的)加速度。

三、典型题型: 典型题型: 题型一: 题型一:皮带传动问题 解题关键:凡是直接用皮带传动( 解题关键:凡是直接用皮带传动(包括链 条传动、摩擦传动)的两个轮子, 条传动、摩擦传动)的两个轮子,两轮边 缘上各点的线速度大小相等; 缘上各点的线速度大小相等;凡是同一个 轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动) 轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动) 的各点角速度相等(轴上的点除外)。 的各点角速度相等(轴上的点除外)。

如图所示, 例1如图所示,一种向自行车车灯供电的小 如图所示 发电机的上端有一半径r 发电机的上端有一半径 0=1.0cm的摩擦小 的摩擦小 小轮与自行车后车轮的边缘接触。 轮,小轮与自行车后车轮的边缘接触。当 车轮转动时,因摩擦而带动小轮转动,从 车轮转动时,因摩擦而带动小轮转动, 而为发电机提供动力。 而为发电机提供动力。自行车车轮的半径 R1=35cm,小齿轮的半径 2=4.0cm,大齿 ,小齿轮的半径R , 轮的半径R 轮的半径 3=10.0cm。求大齿轮的转速 1 。求大齿轮的转速n 摩擦小轮 和摩擦小轮的转 小发电机 之比。( 速n2之比。( 车轮 假定摩擦小轮 小齿轮 大齿轮 与自行车轮之 链条 间无相对滑动) 间无相对滑动)

解析大小齿轮间、 解析大小齿轮间、摩擦小轮与车轮之间和 大小齿轮间 皮带传动原理相同, 皮带传动原理相同,两轮边缘各点的线速 度大小相等, 可知转速n和半径 度大小相等,由v=2πnr可知转速 和半径 可知转速 和半径r 成反比;小齿轮和车轮同轴转动, 成反比;小齿轮和车轮同轴转动,两轮上 各点的转速相同。 各点的转速相同。由这三次传动可以找出 大齿轮和摩擦小轮间的转速之比 n1∶n2=2∶175 ∶

两个轮子靠摩擦传动, 例2两个轮子靠摩擦传动,且不打滑。R1: 两个轮子靠摩擦传动 且不打滑。 R2=2:3。A、B分别是小轮和大轮边缘上 : 。 、 分别是小轮和大轮边缘上 的点, 是大轮上的一点 是大轮上的一点。 的点,C是大轮上的一点。CO2=R1。则 在传动过程中, 、 、 三点的 在传动过程中,A、B、C三点的 线速度之比

v A :v B :vC = 3:3:2 : : 角速度之比
ω A :ω B :ω C = 3:2:2 : : 向心加速度之比 a A :a B :a C = 9:6:4 : :

题型二: 题型二:圆周运动与几何光学的结合
例3一辆实验小车可沿水平地面上的长直轨道 一辆实验小车可沿水平地面上的长直轨道 匀速向右运动, 匀速向右运动,有一台发出细光束的激光器装 在小转台M上 到轨道的距离MN为d=10m, 在小转台 上,到轨道的距离 为 = , 转台匀速转动,使激光束在水平面内扫描, 转台匀速转动,使激光束在水平面内扫描,扫 描一周的时间为T=60s,光束转动方向如图中 描一周的时间为 , 箭头所示,当光束与MN的夹角为 °时,光 的夹角为45° 箭头所示,当光束与 的夹角为 束正好射到小车上,如果再经过?t= 束正好射到小车上,如果再经过 =2.5s,光 , 束又射到小车上, 束又射到小车上,则小车 的速度为多少?(结果保留 的速度为多少 结果保留 两位有效数字) 两位有效数字

解析激光束所在的转台做匀速圆周运动, 解析激光束所在的转台做匀速圆周运动,在 激光束所在的转台做匀速圆周运动 ?t的时间内转过的角度 的过程中,存在 的时间内转过的角度?φ的过程中 的时间内转过的角度 的过程中, 两种可能性,如图所示, 两种可能性,如图所示,一种是小车正在接 近N点,另一种是小车正在远离 点. 点 另一种是小车正在远离N点 在?t内,光束转过角度 内
?t ?φ = 360° = 15° T

有两种可能: 有两种可能: (1)光束照射小车时,小车正在接近 点, 光束照射小车时, 光束照射小车时 小车正在接近N点 ?t时间内光束与 时间内光束与MN的夹角由 °变为 的夹角由45° 时间内光束与 的夹角由 30°,小车走过 ,速度应为 v = L1 ° 小车走过L1,
1

?t

由图知: 由图知:L1=dtan45°-dtan30° ° ° 代入数值, 代入数值,得v1=1.7m/s / (2)光束照射到小车时,小车正在远离N点, 光束照射到小车时,小车正在远离 点 光束照射到小车时 ?t内光束与 内光束与MN的夹角从 °变为 °, 的夹角从45°变为60° 内光束与 的夹角从 L2 小车走过L 小车走过 2,速度为 v2 = ?t 由图可知: 由图可知:L2=dtan60°-dtan45° ° ° 代入数值, 代入数值,得v2=2.9m/s /

如图所示, 例4如图所示,竖直墙上有一点光源 ,发 如图所示 竖直墙上有一点光源S, 出一束水平向左的光束射到平面镜上的O 出一束水平向左的光束射到平面镜上的 点,当平面镜绕过O点垂直纸面的轴,以 当平面镜绕过 点垂直纸面的轴, 点垂直纸面的轴 角速度ω逆时针转动时 逆时针转动时, 角速度 逆时针转动时,被平面镜反射的 光在墙上形成的光点便沿墙运动。已知S 光在墙上形成的光点便沿墙运动。已知 点间的距离为d 与O点间的距离为 ,试问当反射光与入 点间的距离为 射光间的夹角α=60°时,墙上光点 在这 墙上光点P在这 射光间的夹角 ° 时刻沿墙运动的速度多大? 时刻沿墙运动的速度多大?

解析:当平面镜以 转动时 转动时, 解析:当平面镜以ω转动时,反射光线以 2 ω转动。故o点的线速度为 1=2 ω OP= 转动。 点的线速度为v 转动 点的线速度为 = 2 ωd/cos60°=4 ω d; ; 则沿墙速度(合速度) 则沿墙速度(合速度)为

α
v=v1/cos60°=8 ω d V2 V V1

题型三: 题型三:火车转弯问题 火车转弯情况:外轨略高于内轨, 火车转弯情况:外轨略高于内轨,使得火 车所受重力和支持力的合力F 提供向心力。 车所受重力和支持力的合力 合提供向心力。 由 F = mg tan θ ≈ mg sin θ = mg h = m v 合
L
2 规定

R

有 v规定 =

Rgh L

分别为转弯处轨道半径, (R、h、L分别为转弯处轨道半径,内外 、 、 分别为转弯处轨道半径 轨高度差,两轨道间距离) 轨高度差,两轨道间距离)

① 当火车行驶速率v等于 规定时,F合=F 当火车行驶速率 等于v 等于 外轨道对轮缘都没有侧压力; 向心,内、外轨道对轮缘都没有侧压力; 当火车行驶速度v大于 大于v ② 当火车行驶速度 大于 规定时,F合<F 外轨道对轮缘有侧压力; 向心,外轨道对轮缘有侧压力; 当火车行驶速度v小于 小于v ③ 当火车行驶速度 小于 规定时,F合>F 内轨道对轮缘有侧压力; 向心,内轨道对轮缘有侧压力;

题型四: 题型四:水平面内的圆周运动问题 小球在半径为R的光滑半球内做水平面 例5小球在半径为 的光滑半球内做水平面 小球在半径为 内的匀速圆周运动,试分析图中的θ与线速 内的匀速圆周运动,试分析图中的 与线速 的关系。 度v、周期 的关系。 、周期T的关系 解析:圆心在和小球等高的水平面上, 解析:圆心在和小球等高的水平面上,向 心力F是重力 和支持力N的合力 是重力G和支持力 的合力, 心力 是重力 和支持力 的合力,所以重 力和支持力的合力必然水平。如图所示有: 力和支持力的合力必然水平。如图所示有:

由此可得: 由此可得: (h为小球轨道平面到球心的高度)。 为小球轨道平面到球心的高度)。 为小球轨道平面到球心的高度 可见, 越大 即轨迹所在平面越高), 越大( ),v 可见,θ越大(即轨迹所在平面越高), 越大, 越小 越小。 越大,T越小。 注意:本题的分析同样适用于圆锥摆、 注意:本题的分析同样适用于圆锥摆、火 车转弯、 车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行 等在水平面内的匀速圆周运动的问题。 等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共 同点是由重力和弹力的合力提供向心力, 同点是由重力和弹力的合力提供向心力, 向心力方向水平。 向心力方向水平。

如图所示, 例6如图所示,在竖直的转轴上,a、b两 如图所示 在竖直的转轴上, 、 两 点的间距为40cm,细线 长50cm,bc长 点的间距为 ,细线ac长 , 长 30cm,在c点系一质量为 的小球,在转 点系一质量为m的小球 , 点系一质量为 的小球, 轴带着小球转动过程中, 轴带着小球转动过程中,下列说法正确的 是( ) A.转速小时 受拉力, 转速小时ac受拉力 转速小时 受拉力, bc松弛 松弛 B.bc刚拉直时的 拉力 刚拉直时的ac拉力 刚拉直时的 为1.25mg C.bc拉直后转速增大,ac拉力不变 拉直后转速增大, 拉力不变 拉直后转速增大 D.bc拉直后转速增大,ac拉力增大 拉直后转速增大, 拉力增大 拉直后转速增大

题型五: 题型五:竖直平面内圆周运动临界条件 这类题的特点是: 这类题的特点是:物体做圆周运动的速率 是时刻在改变的,由于机械能守恒, 是时刻在改变的,由于机械能守恒,最高 点处的速率最小,最底点处的速率最大。 点处的速率最小,最底点处的速率最大。 在最底点处向心力肯定向上,而重力向下, 在最底点处向心力肯定向上,而重力向下, 所以弹力必然向上;在最高点处, 所以弹力必然向上;在最高点处,向心力 向下,重力也向下, 向下,重力也向下,但弹力的方向就不能 确定了,要分几种情况进行讨论。 确定了,要分几种情况进行讨论。

⑴弹力只能向下,如绳拉球。这种情况下有 弹力只能向下,如绳拉球。 即 否则不能通过最高点。 否则不能通过最高点。 弹力只能向上,如车过桥。 ⑵弹力只能向上,如车过桥。 这种情况下有 否则将离开桥面,做平抛运动。 否则将离开桥面,做平抛运动。 弹力既能向上又能向下,如管内转( ⑶弹力既能向上又能向下,如管内转(或 杆连球)。这种情况下, 可取任意值 )。这种情况下 可取任意值。 杆连球)。这种情况下,v可取任意值。 又可以进行讨论: 又可以进行讨论:

①当


时弹力必然是向下的; 时弹力必然是向下的; 时弹力必然是向上的; 时弹力必然是向上的; 时弹力恰好为零。 时弹力恰好为零。



②当弹力F<mg时,向心力有两解: 当弹力 时 向心力有两解: mg±F;当弹力 ± ;当弹力F>mg时,向心力只有一 时 解:F +mg;当弹力 ;当弹力F=mg时,向心力等 时 于零。 于零。

例7用细绳栓着质量为 的物体,在竖直平 用细绳栓着质量为m的物体, 用细绳栓着质量为 的物体 面内作圆周运动, 面内作圆周运动,则下列说法正确的是 如图所示):( (如图所示):( ) A. 小球过最高点时,绳子张力可以为零 小球过最高点时, B. 小球过最高点时的最小速度是 小球过最高点时的最小速度是0 C. 小球刚好过最高点时的速度是 gR D. 小球过最高点时,绳子对 小球过最高点时, 小球的作用力可以与球所受 重力方向相反
变题:若把绳子换成细杆时呢? 变题:若把绳子换成细杆时呢? 答案: 答案:ABD

杆长为L,球的质量为m, 例8杆长为 ,球的质量为 ,杆连球在竖 杆长为 直平面内绕轴O自由转动 在最高点处, 自由转动, 直平面内绕轴 自由转动,在最高点处, 杆对球的弹力大小为 ,求这时小 球的即时速度大小。 球的即时速度大小。 解析小球所需向心力向下 小球所需向心力向下, 解析小球所需向心力向下,本题中 即F<mg,弹力方向可能向上也可能向下。 < ,弹力方向可能向上也可能向下。 向上, ⑴F向上, 向上 向下, ⑵F向下, 向下

汽车过拱桥情况: 汽车过拱桥情况: 汽车通过凸 ① 汽车通过凸形桥最高点时汽车对桥面 的压力小于汽车重力,此时汽车处于失重 的压力小于汽车重力,此时汽车处于失重 状态。 状态。 汽车通过凹 ② 汽车通过凹形桥最低点时汽车对桥面 的压力大于汽车重力,此时汽车处于超重 的压力大于汽车重力,此时汽车处于超重 状态。 状态。

题型六: 题型六:连结体的圆周运动 解题方法:用隔离法分别分析,找出两问 解题方法:用隔离法分别分析, 题间的联系量, 题间的联系量,联立方程解题 在质量为M的电动机上 例9在质量为 的电动机上,装有一个质量 在质量为 的电动机上, m的不均匀飞轮 的不均匀飞轮, 为m的不均匀飞轮,飞轮转动的角速度恒 为ω ,且飞轮重心在转轴正上方时,电动 且飞轮重心在转轴正上方时, 机对地面刚好没有压力,试求:( :(1) 机对地面刚好没有压力,试求:( )飞轮 重心离转轴的距离;( ;(2)转动过程中, 重心离转轴的距离;( )转动过程中,电 动机对地面的最大压力. 动机对地面的最大压力

解析:因为飞轮 做匀速转动 做匀速转动, 而处于 解析:因为飞轮m做匀速转动,M而处于 静止状态,所以对m和M进行隔离分析: 静止状态,所以对 和 进行隔离分析: 进行隔离分析 2 对m在最高点时 T1 + mg = mω 0 r 在最高点时 ① 此时M对地压力为零 对地压力为零, 此时 对地压力为零,即 T1 = Mg ② ①②消去 消去T 由①②消去 1得: = ( M + m) g r 2 mω 0 当m转到最低点时,m对M作用力方向竖 转到最低点时, 对 作用力方向竖 转到最低点时 直向下, 对地压力最大 对地压力最大, 直向下,M对地压力最大 2 T2 ? mg = mω 0 r 而言, 对m而言, 而言 ③ 而言, 对M而言, N = Mg + T2 而言 ④ ①②③④得 由①②③④得:N = 2( M + m) g

例10(类双星问题)如图所示,光滑杆上 (类双星问题)如图所示, 套着用细线连着的A、 两小球 两小球, 套着用细线连着的 、B两小球,已知 mA=mB/2,当转盘转动后稳定时,A、B ,当转盘转动后稳定时, 、 两球距轴的距离之比为 2:1 。

此类题解题关键: 此类题解题关键:两物体的向心力大小相 角速度相等。 等、角速度相等。

四、离心现象: 离心现象: 做匀速圆周运动的物体, (1)定义 做匀速圆周运动的物体,在 )定义:做匀速圆周运动的物体 合外力突然消失或者不足以提供它做圆周 运动所需的向心力时, 运动所需的向心力时,做逐渐远离圆心的 运动,这种运动叫离心运动。 运动,这种运动叫离心运动。 (2)离心运动的应用和危害 ) 利用离心运动制成离心机械。 利用离心运动制成离心机械。例如离心 干燥器、洗衣机的脱水筒等等。 干燥器、洗衣机的脱水筒等等。 汽车、火车转弯处, 汽车、火车转弯处,为防止离心运动造 成的危害, 成的危害,一是限定汽车和火车转弯速度 不能太大; 不能太大;二是把路面筑成外高内低的斜 坡以增大向心力。 坡以增大向心力。


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