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高一同步学讲义 函数的概念


集合的含义与表示(一) 教学目标: (1) 了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征; (2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系; (3) 掌握常用数集及其记法;

通知
8 月 15 日 8 点,高一年级新生在体育馆集合进行军训动员,请诸位 同学准时入场,切勿迟到。 教务处 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 一 集合的

有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些 东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地, 我们把研究对象统称为元素 (element) 一些元素组成的总体叫集合 , (set) , 也简称集。 3. 练习 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 大于 3 小于 11 的偶数; (2) 我国的小河流; (3) 非负奇数; (4) 方程 x 2 ? 1 ? 0 的解; (5) 某校 2007 级新生; (6) 血压很高的人; (7) 著名的数学家; (8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点 (9) 全班成绩好的学生。 4. 关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或

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者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) , 因此,同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 (4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样。

5. 元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作:a∈A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作:a ? A 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A 4 ? A,等等。 6.集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母 A,B,C?表示,集合的元素用 小写的拉丁字母 a,b,c,?表示。 7.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; * 正整数集,记作 N 或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R; 二、例题讲解: 例 1.用“∈”或“ ? ”符号填空: (1)8 (3)-3 N; Z; (2)0 (4) 2 N; Q; A,美国 A,印度 A,

(5)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则中国 英国 A。 例 2.已知集合 P 的元素为 1, m, m2 ? 3m ? 3 ,

若 3∈P 且-1 ? P,求实数 m 的值。

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集合的含义与表示(二) 教学目标: (1)了解集合的表示方法; (2)能正确选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问 题,感受集合语言的意义和作用;

一、复习回顾:
1.集合和元素的定义;元素的三个特性;元素与集合的关系;常用的数集及表示。

2.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么?有何关系

二、集合的表示方法 1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用大括号“ ?

? ”括起来表示集合的方

法叫列举法。 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},?; 说明: 1.集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 2.各个元素之间要用逗号隔开; 3.元素不能重复; 4.集合中的元素可以是数,也可以是点、代数式等; 5.对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚 后方能用省略号,象自然数集N用列举法表示为 ?1, 2,3, 4,5,......? 例 1. (课本例 1)用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合; (3)由 1 到 20 以内的所有质数组成的集合;

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? x ? 2 y ? 0; (4)方程组 ? 的解组成的集合。 ?2 x ? y ? 0.

2、描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{

}内。

具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围, 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式: ? x ? A p ( x )

?

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x︳直角三角形},?; 说明: 1.

2.描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2} 是不同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{x︳整数}, 即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ {R}也是错误的。 例 2. (课本例 2)试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x2—2=0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合;
? x ? y ? 3; (3)方程组 ? 的解。 ? x ? y ? ?1.

}已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集},

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三、课堂练习: 1.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 2.集合 A={x|
4 ∈Z,x∈N},则它的元素是 x?3



3.已知集合 A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x 2 +1,x∈A},则集合 B 用列举法表 示是

集合间的基本关系 教学目标: (1)了解集合之间的包含、相等关系的含义; (2)理解子集、真子集的概念; (3)能利用 Venn 图表达集合间的关系; (4)了解空集的含义。 : 一、复习回顾: 1.提问:集合的两种表示方法? 如何用适当的方法表示下列集合? (1)10 以内 3 的倍数; 2.用适当的符号填空: 0 (2)1000 以内 3 的倍数 N; Q; -1.5 R。

思考 1:类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢? 二 子集、空集等概念的教学: 比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) A ? {1,2,3} , B ? {1,2,3,4,5} ; (2) C ? {新华一中高一 班全体女生} , D ? {新华一中高一 班全体学生} ; (3) E ? {x | x是两条边相等的三角形} , F ? {x x是等腰三角形}

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1.子集的定义: 对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两 个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 记作: 。
A ? B(或B ? A)

读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ? B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:

B

A

A? B

2. 集合相等定义: 如果 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 是集合 A 的子集, 则集合 A 与集合 B 中的元素 是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。 如(3)中的两集合 E ? F 。

3. 真子集定义: 若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) 。记作: A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 4. 空集定义: 不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? 。 用适当的符号填空: ? ?0? ; 0 重要结论: (1) 空集是任何集合的子集; (2) 空集是任何非空集合的真子集; (3) 任何一个集合是它本身的子集; (4) 对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 说明: 1.注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于” 的关系;

?; ?

??? ; ?0?

???

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2.在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 三、例题讲解: 例 1.填空: (1) . 2 N; A; ? { 2 } N; 2 (2) .已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C 例 2. (课本例 3)写出集合 {a, b} 的所有子集,并指出哪些是它的真子集。

例 3.若集合 A ? x x 2 ? x ? 6 ? 0 , B ? ? x mx ? 1 ? 0? , B
1 1 (m=0 或 或- ) 3 2

?

?

A,求 m 的值。

例 4.已知集合 A ? ? x ?2 ? x ? 5? , B ? ? x ?m ? 1 ? x ? 2m ? 1? 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。 (m ?3)

集合的基本运算㈠
教学目标: (1)理解交集与并集的概念; (2)掌握交集与并集的区别与联系; (3)会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用它们解决一些简单问题。 一、复习回顾: 1.已知 A={1,2,3},S={1,2,3,4,5},则 A S;{x|x∈S 且 x ?A}= 。

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2.用适当符号填空: 0 {0} {0}; 0 Φ; Φ {x|x 2 +1=0,x∈R} {x|x<-2 或 x>5} ; {x|x>-3} {x>2} {x|x<3 且 x>5}; {x|x>6}

二、交集、并集概念及性质的教学: 思考 1:考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: C ? ?1,2,3,4,5,6? ; (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6}, (2) A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数},
C ? ? x x 是实数? ;

1.并集的定义: 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集(union set) 。记作:A∪B(读作: 并 B”,即 “A ) A ? B ? ? x x ? A, 或x ? B? 用 Venn 图表示:

这样,在问题(1) (2)中,集合 A,B 的并集是 C,即 A? B = C 。 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B A∪B=A ? 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= ; ; 。 ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= , A∪B=B ?

B∪A .

2.交集的定义: 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作集合 A、B 的交集 (intersection set) ,记作 A∩B(读“A 交 B” )即: A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

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常见的五种交集的情况:

B

A

A(B)

A

B

A B

A

B

讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩Ф = A∩B=A ? 巩固练习(口答) :

A∩B A∩B=B ? ;

B∩A

①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B=

②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= 。

;

三、例题讲解: 例 1. (课本例 5)设集合 A ? ? x ?1 ? x ? 2? , B ? ? x 1 ? x ? 3? ,求 A∪B. 变式:A={x|-5≤x≤8}

例 2. (课本例 7)设平面内直线 l1 上点的集合为 L1,直线 l2 上点的集合为 L2,试用集合的 运算表示 l1 , l2 的位置关系。

例 3.已知集合 A ? x x 2 ? mx ? m 2 ? 19 ? 0 ,

C ? z z 2 ? 2 z ? 8 ? 0 是否存在实数 m,同时满足 A ? B ? ?, A ? C ? ? ?

?

?

?

?

B ? y y2 ? 5y ? 6 ? 0

?

?

(m=-2)

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集合的基本运算(二)
教学目标: (1)掌握交集与并集的区别,了解全集、补集的意义, (2)正确理解补集的概念,正确理解符号“ CU A ”的涵义; (3)会求已知全集的补集,并能正确应用它们解决一些具体问题。 一、复习回顾: 1. 提问:.什么叫子集、真子集、集合相等?符号分别是怎样的? 2. 提问:什么叫交集、并集?符号语言如何表示? 3. 交集和补集的有关运算结论有哪些? 4. 讨论:已知 A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则 A、B 与 R 有何关系?

思考: U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系? 二、全集、补集概念及性质的教学: 1.全集的定义: 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为 全集(universe set),记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

2.补集的定义: 对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集合 A 相对 于全集 U 的补集(complementary set) ,记作: CU A , 读作: 在 U 中的补集” “A ,即
CU A ? ? x x ?U , 且x ? A?

用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

讨论:集合 A 与 CU A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析

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A ? C A? ? , U CUU ? ?,

A ? U A? ,U C CU ? ? U

U

C (

U

C) A ?

A

巩固练习(口答) : ①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ,则 CU A = , CU B = ; ; 。 ②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = ③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A =

三、例题讲解: 2, 4,6? 求 C 例 1. (课本例 8) 设集 U ? ? x x是小于9的正整数? , A ? ?1, 3?,B ? ?3, 5, , CU A , U B .

例 2.设全集 U ? ? x x ? 4? , 集合A ? ? x ?2 ? x ? 3? , B ? ? x ?3 ? x ? 3? ,求 CU A ,
A ? B , A ? B, CU ( A ? B), (CU A) ? (CU B), (CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) 。 (结论: CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) )

例 3.设全集 U 为 R, A ? x x 2 ? px ? 12 ? 0 ,

?

?

B ? x x 2 ? 5 x ? q ? 0 ,若

?

?

(CU A) ? B ? ?2? , A ? (CU B) ? ?4? ,求 A ? B 。 (答案: ?2,3, 4? )

集合复习课
一、复习回顾: 1. 提问:什么叫集合?元素?集合的表示方法有哪些? 2. 提问:什么叫交集?并集?补集?符号语言如何表示?图形语言如何表示? 3. 提问:什么叫子集?真子集?空集?相等集合?有何性质? 3. 交集、并集、补集的有关运算结论有哪些? 4. 集合问题的解决方法:Venn 图示法、数轴分析法。 二、例题讲解: (一) 集合的基本运算:

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例 1:设 U=R,A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求 A∩B、A∪B、C U A 、C U B、 (C U A)∩(C U B)、(C U A)∪(C U B)、C U (A∪B)、C U (A∩B)。 (学生画图→在草稿上写出答案→订正)

说明:不等式的交、并、补集的运算,用数轴进行分析,注意端点。 例 2:全集 U={x|x<10,x∈N ? },A ? U,B ? U,且(C U B)∩A={1,9},A∩B={3}, U (C A)∩(C U B)={4,6,7},求 A、B。

说明:列举法表示的数集问题用 Venn 图示法、观察法。 (二)集合性质的运用: 例 3:A={x|x 2 +4x=0},B={x|x 2 +2(a+1)x+a 2 -1=0}, 若 A∪B=A,求实数 a 的值。

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说明:注意 B 为空集可能性;一元二次方程已知根时,用代入法、韦达定理,要注意判别 式。 例 4:已知集合 A={x|x>6 或 x<-3},B={x|a<x<a+3},若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围。

(三)巩固练习: 1.已知 A={x|-2<x<-1 或 x>1},A∪B={x|x+2>0},A∩B={x|1<x≦3},求集合 B。 2.P={0,1},M={x|x ? P},则 P 与 M 的关系是 。

3.已知 50 名同学参加跳远和铅球两项测验,分别及格人数为 40、31 人,两项均不及格 的为 4 人,那么两项都及格的为 人。 4.满足关系{1,2} ? A ? {1,2,3,4,5}的集合 A 共有 个。

5.已知集合 A∪B={x|x<8,x∈N},A={1,3,5,6},A∩B={1,5,6},则 B 的子集的集合一共 有多少个元素? 6.已知 A={1,2,a},B={1,a 2 },A∪B={1,2,a},求所有可能的 a 值。 7.设 A={x|x 2 -ax+6=0},B={x|x 2 -x+c=0},A∩B={2},求 A∪B。 8.集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q。 9. A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B。 10.已知 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|4x+m<0},当 A ? B 时,求实数 m 的取值范围。

1.2 函数及其表示
学习目标 1. 会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号 y=f(x)的含义;数学建模思想; 2. 掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域, 重点难点 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应 关系,甚至认为函数就是函数值.

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第 1 课时 函数的概念 提出问题 (1)观察下列三种对应: ①一枚炮弹发射后,经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m,且炮弹距地面的高度为 2 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是:h=130t-5t . 时间 t 的变化范围是数集 A={t|0≤t≤26},h 的变化范围是数集 B={h|0≤h≤845}.则有对应:

f: t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.
②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图 1-2-1-1 中的曲线显示了南极 6 2 上空臭氧层空洞的面积 S(单位:10 km )随时间 t(单位:年)从 1991~2001 年的变化情况.

图 1-2-1-1 根据图 1-2-1-1 中的曲线,可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积 S 的变化范围是数集 B={S|0≤S≤26},则有对应:

f: t→S,t∈A,S∈B.
③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中 的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显 著变化. “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况 时间 1991 恩格尔系数 y 53.8 1992 52.9 1993 50.1 1994 49.9 1995 49.9 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9

根据上表,可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数 y 的变化范围是数集 B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应:

f:t→y,t∈A,y∈B.
(1)请尝试回答:上三个对应有什么共同特点? (2)我们把这样的对应称为函数, 而每个对应都是有两个集合组成, 即集合是函数的组成元素。 因此, 我们可以用集合的观点来重新定义函数. 设 A、B 都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集 合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A,其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数 的值域. 而且,在研究函数时常会用到区间的概念,设 a,b 是两个实数,且 a<b,如下表所示: 定义 {x|a≤x≤b} 名称 闭区间 符号 [a,b] 数轴表示

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{x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} R

开区间 半开半闭区间 半开半闭区间

(a,b) [a,b) (a,b] [a,+∞) (a,b] (-∞,a] (-∞,a) (-∞,+∞)

(3)函数的定义域是自变量的取值范围,那么你是如何理解这个“取值范围”的?

(4)函数有意义又指什么?

(5)函数 f:A→B 的值域为 C,那么集合 B=C 吗?

例题讲解 例 1. 已知函数 f(x)= x ? 3 + (1)求函数的定义域; (2)求 f(-3),f(

1 , x?2

2 )的值; 3

(3)当 a>0 时,求 f(a),f(a-1)的值.

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课堂笔记: 1.f(x)是表示关于变量 x 的函数,又可以表示自变量 x 对应的函数值,是一个整体符号,分开符号 2 f(x)没有什么意义.符号 f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如 f(x)=x -x+5,当 x=2 时,看 作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去 2,再加上 5;当 x 为某一代数式(或某一个函数记号时), 2 则左右两边的所有 x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1) -(2x+1)+5,f 2 [g(x)]=[g(x)] -g(x)+5 等等. 2.符号 y=f(x)表示变量 y 是变量 x 的函数,它仅仅是函数符号,并不表示 y 等于 f 与 x 的乘积;符 号 f(x)与 f(m)既有区别又有联系,当 m 是变量时,函数 f(x)与函数 f(m)是同一个函数;当 m 是常数 时,f(m)表示自变量 x=m 对应的函数值,是一个常量. 3.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R. (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)如果 f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数 集合(即求各部分定义域的交集). (5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约. 随堂练习

( x ? 1) 2 ? 1 ? x 的定义域. 1. 求函数 y= x ?1

2.若 f(x)= A.M

1 的定义域为 M,g(x)=|x|的定义域为 N,令全集 U=R,则 M∩N 等于( x
B.N C. M D. N

)

3.已知函数 f(x)的定义域是[-1,1],则函数 f(2x-1)的定义域是__________________. 4.已知函数 f(x)=

1 1 1 x2 ,那么 f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+f(4)+f( )=__________________. 2 2 3 4 1? x

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5.已知 a、b∈N*,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则

f (2) f (3) f (2007 ) =______________. ? ??? f (1) f (2) f (2006 )

6.设函数 f(n)=k(k∈N*),k 是 π 的小数点后的第 n 位数字,π=3.1415926535…,则 f ? f ?? f (10)?? 等于

?? ??? ? ?
100

________.

7.2007 山东济宁二模,理 10 已知 A={a,b,c},B={-1,0,1},函数 f:A→B 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数 f(x)有( ) A.4 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个

8.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为 y=x2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( ) A.9 个 B.8 个 C.5 个 D.4 个 9. 已知函数 f(x)满足:

f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,
f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) f 2 (5) ? f (10) ? ? ? ? 则 =______. f (1) f (3) f (5) f (7) f (9)

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10. 若 f(x)=

1 的定义域为 A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定义域为 B,那么( x
B. A B C. A ? B

) D. A∩B= ?

A. A∪B=B

第 2 课时 同一函数 新课导引 思考 1.当实数 a、b 的符号相同,绝对值相等时,实数 a=b;当集合 A、B 中元素完全相同时,集合 A=B;那 么两个函数满足什么条件才相等呢?

思考 2.我们学习了函数的概念,y=x 与 y=

x2 是同一个函数吗? x

在老师帮助下,回答问题: ①指出函数 y=x+1 的构成要素有几部分?

②一个函数的构成要素有几部分?

③分别写出函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的定义域和对应关系,并比较异同.

④函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的值域相同吗?由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同 吗?

例题:下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1)y=( x )2; (2)y=
3

x3 ;

(3)y= x ;

2

(4)y=

x2 . x

19

随堂练习 判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由. ①y=x-1,x∈R 与 y=x-1,x∈N;

2 ②y= x - 4 与 y= x ? 2 · x ? 2 ;

③y=1+

1 1 与 u=1+ ; x x

2 ④y=x2 与 y=x x ;

⑤y=2|x|与 y= ?

?2 x, x ? 0, ?? 2 x, x ? 0;

⑥y=f(x)与 y=f(u).

是同一个函数的是________________(把是同一个函数的序号填上即可).

2.判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由. (1)f(x)=(x-1)0, g(x)=1.

2 (2)f(x)=x-1,g(x)= x - 2x ? 1 .

20

(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2.

(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.

3. 已知函数 f(x)满足 f(ab)=f(a)+f(b)且 f(2)=p,f(3)=q,则 f(36)=_______.

4. .函数 y=f(x)的图象与直线 x=2 的公共点共有( ) A.0 个 B.1 个 C.0 个或 1 个

D.不确定

5.设 y 是 u 的函数 y=f(u),而 u 又是 x 的函数 u=g(x),设 M 表示 u=g(x)的定义域,N 是函数 y=f(u)的值域, 当 M∩N≠ ? 时,则 y 成为 x 的函数,记为 y=f[g(x)].这个函数叫做由 y=f(u)及 u=g(x)复合而成的复合函数, 它的定义域为 M∩N,u 叫做中间变量,f 称为外层函数,g 称为内层函数.指出下列复合函数外层函数和内 层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数. (1)y=

1 ; x ?1

(2)y=(x2-2x+3)2;

(3)y=

1 1 ? -1. x2 x

6. 设 f(x)=

x2 ?1 f ( 2) ,则 =_______. 2 1 x ?1 f( ) 2 1 ,若 f(1)=-5,则 f[f(5)]=.___________. f ( x)
D.③④

7. 函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)=

8. 下列给出的四个图形中,是函数图象的是( ) A.① B.①③④ C.①②③

21

图 1-2-1-2 9. 函数 y=f(x)的定义域是 R,值域是[1,2],则函数 y=f(2x-1)的值域是_______. 10.下列各组函数是同一个函数的有________. ①f(x)=

x 3 ,g(x)=x x ;

②f(x)=x0,g(x)=

1 ; x0

③f(x)=

?2 ?2 ,g(u)= ; u u

④f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u.

. 课后作业 1.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列 4 个图形,其中能表示以集合 M 为定义域,N 为值域的函数关 系是( )

图 1-2-1-3

分析:A 中,当 0<x≤2 时,N 中没有元素与 x 对应,不能构成函数关系;C 中一个 x 有两个 y 与之对应, 所以不是函数关系;D 中,表示函数关系,但是表示的函数值域不是 N. 答案:B 2.某公司生产某种产品的成本为 1000 元,以 1100 元的价格批发出去,随生产产品数量的增加,公司收入 _______,它们之间是关系________.

22

分析:由题意,多生产一单位产品则多收入 100 元.生产产品数量看成是自变量,公司收入看成是因 变量,容易得出对于自变量的每一个确定值,因变量都有唯一确定值与之对应,从而判断两者是函数关 系. 答案:增加 函数 3. 函数 y=x2 与 S=t2 是同一函数吗?

答:函数的确定只与定义域与对应关系有关,而与所表示的字母无关,因此 y=x2 与 S=t2 表示的是同一 个函数.因此并非字母不同便是不同的函数,这是由函数的本质决定的.

4. 已知函数 f(x)=

1 ,则函数 f[f(x)]的定义域是什么? 1? x

解:∵f(x)=

1 ,∴x≠-1 1? x

.

∴f[f(x)]=f(

1 )= 1? x

1 1? 1 1? x

.

∴1+

1 x?2 ≠0,即 ≠0. 1? x x ?1

∴x≠-2.

∴f(x)的定义域为{x|x≠-2 且 x≠-1}.

5. 已知函数 f(2x+3)的定义域是[-4,5),求函数 f(2x-3)的定义域.

23

解:由函数 f(2x+3)的定义域得函数 f(x)的定义域,从而求得函数 f(2x-3)的定义域.设 2x+3=t,当 x∈ [-4,5)时,有 t∈[-5,13),则函数 f(t)的定义域是[-5,13),解不等式-5≤2x-3<13,得-1≤x<8,即函数 f(2x-3) 的定义域是[-1,8).

课后阅读:函数的传统定义和近代定义的比较 函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的.两 个定义中的定义域和值域的意义完全相同;两个定义中的对应法则实际上也一样,只不过叙述的出发 点不同.传统定义是从运动变化的观点出发,其中对应法则是将自变量 x 的每一个取值与唯一确定的函 数值对应起来;近代定义则是从集合、对应的观点出发,其中的对应法则是将原象集合中任一元素与象 集合中的唯一元素确定对应起来. 至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因,从历史上看,函数的传统定义来源于物理公式,最初 的函数概念几乎等同于解析式,要说清楚变量以及两个变量的依赖关系,往往先要弄清各个变量的物 理意义,这就使研究受到了不必要的限制.后来,人们认识到了定义域和值域的重要性,如果只根据变

?1, ? 量的观点来解析,会显得十分勉强,如:符号函数 sgnx= ?0, ?? 1, ?

x ? 0, x ? 0, 用集合与对应的观点来解释,就显 x ? 0,

得十分自然了,用传统定义几乎无法解释,于是就有了函数的近代定义.由于传统的定义比较生动、直 观,有时仍然会使用这一定义.

24

1.2.2 函数的表示法 重点难点 1.教学重点:函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念. 2.教学难点:分段函数的表示及其图象,映射概念的理解;运用集合两种常用表示——列举法与描述法. 提出问题 初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的? 答案: (1) 解析法: 用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做 函数的解析式. (2) 图象法: 以自变量 x 的取值为横坐标,对应的函数值 y 为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些 点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法. (3) 列表法: 列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两 个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.

例题讲解 例 1.某种笔记本的单价是 5 元,买 x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元,试用三种表示法表示函数 y=f(x). 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}, 用解析法可将函数 y=f(x)表示为 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}. 用列表法可将函数 y=f(x)表示为 笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25

用图象法可将函数 y=f(x)表示为图 1-2-2-1.

图 1-2-2-1

25

变式训练 1. 已知函数 f(x)在[-1,2]上的图象如图 1-2-2-2 所示,求 f(x)的解析式.

图 1-2-2-2

1. 已知 2f(x)+f(-x)=3x+2,则 f(x)=________.

例 2. 下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表: 第一次 王伟 张城 赵磊 班平均分 98 90 68 88.2 第二次 87 76 65 78.3 第三次 91 88 73 85.4 第四次 92 75 72 80.3 第五次 88 86 75 75.7 第六次 95 80 82 82.6

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 解:把“成绩”y 看成“测试序号”x 的函数,用图象法表示函数 y=f(x),如图 1-2-2-3 所示.

图 1-2-2-3

26

由图 1-2-2-3 可看到: 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀; 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大; 赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高. 变式训练 1.函数 y=x2-4x+6,x∈[1,5)的值域是_________. 2.将长为 a 的铁丝折成矩形,求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图 象.

解:设矩形一边长为 x,则另一边长为 又?

1 1 1 (a-2x),则面积 y= (a-2x)x=-x2+ ax. 2 2 2

?x ? 0, a a 得 0<x< ,即定义域为(0, ). 2 2 ?a - 2x ? 0,

由于 y=-(x ?

a 2 1 2 1 2 )+ a≤ a, 16 16 4 1 2 a ]. 16

如图 1-2-2-4 所示,结合函数的图象得值域为(0,

图 1-2-2-4 3.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图 1-2-2-5 所示,那么水 瓶的形状是( )

图 1-2-2-5

图 1-2-2-6

27

4. 已知 f(

1? x 1? x2 )= ,则 f(x)=________. 1 ? x 1? x2

5.已知函数 f(x)=

3x ? 7 . x?2

(1)画出函数 f(x)的图象; (2)观察图象写出函数的定义域和值域.

图 1-2-2-7 6.求下列函数的值域:(1)y=x -2x(-1≤x≤2);
2

(2)y=x +1.

4

7.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有 3 500 辆次,其中电动车保管费是每辆一次 0.5 元,自行 车保管费是每次一辆 0.3 元. (1)若设自行车停放的辆次数为 x,总的保管费收入为 y 元,试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)若估计前来停放的 3 500 辆次自行车中,电动车的辆次不小于 25%,但不大于 40%,试求该保管站这个星 期日收入保管费总数的范围.

28

8.水池有 2 个进水口,1 个出水口,每个水口进出水的速度如图 1-2-2-9 甲、 乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池 的蓄水量如图 1-2-2-9 丙所示(至少打开一个水口).

图 1-2-2-9 给出以下三个论断: ①0 点到 3 点只进水不出水; ②3 点到 4 点不进水只出水; ③4 点到 6 点不进水不出水; 其中一定正确的论断是( ) A.① B.①②

C.①③

D.①②③

课后练习 1.等腰三角形的周长是 20,底边长 y 是一腰长 x 的函数,则( ) A.y=10-x(0<x≤10) B.y=10-x(0<x<10) C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10)

分析:根据等腰三角形的周长列出函数解析式. ∵2x+y=20,∴y=20-2x.则 20-2x>0.∴x<10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知 2x>20-2x,得 x>5,所以函数的定义域为{x|5<x<10}.所以 y=20-2x(5<x<10). 答案:D 2.定义在 R 上的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则 y=f(x+1)的值域为( A.[a,b] B.[a+1,b+1] C.[a-1,b-1] ) D.无法确定

分析:将函数 y=f(x)的图象向左平移一个单位得函数 y=f(x+1)的图象,由于定义域均是 R,则这两个函数图 象上点的纵坐标的取值范围相同,所以 y=f(x+1)的值域也是[a,b]. 答案:A 3.函数 f(x)= A.(0,1)

1 (x∈R)的值域是( 1? x2
B.(0,1]

) C.[0,1) D.[0,1]

29

分析:(观察法)定义域是 R,由于 x2≥0,则 1+x2≥1,从而 0< 答案:B

1 ≤1. 1? x2

拓展提升:变换法画函数的图象 变换法画函数的图象有三类: 1.平移变换: (1)将函数 y=f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位得函数 y=f(x+a)的图象; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 a(a>0)个单位得函数 y=f(x-a)的图象; (3)将函数 y=f(x)的图象向上平移 b(b>0)个单位得函数 y=f(x)+b 的图象; (4)将函数 y=f(x)的图象向下平移 b(b>0)个单位得函数 y=f(x)-b 的图象. 简记为“左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)”. 2.对称变换: (1)函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关于直线 x=0 即 y 轴对称; (2)函数 y=f(x)与函数 y=-f(x)的图象关于直线 x=0 即 x 轴对称; (3)函数 y=f(x)与函数 y=-f(-x)的图象关于原点对称. 3.翻折变换: (1)函数 y=|f(x)|的图象可以将函数 y=f(x)的图象位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y=f(x)的 x 轴上方部分即可得到. (2)函数 y=f(|x|)的图象可以将函数 y=f(x)的图象 y 轴右边部分翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并 保留 y=f(x)在 y 轴右边部分图象即可得到.

30

分段函数
问题引入: 1. 当 x>1 时,f(x)=x+1;当 x≤1 时,f(x)=-x,请写出函数 f(x)的解析式.这个函数的解析式有什么特 点?

2. 化简函数 y=|x|的解析式,说说此函数解析式的特点。

3. 函数 h(x)= ?

?x,-x ? 1, 2 与 f(x)=x-1,g(x)=x 在解析式上有什么区别? ?x ? -1, x ? -1

定义
分段函数:,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数。 例如,函数 h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.

说明:
分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; 分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集; 生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.

随堂讲练 1. 画出函数 y=|x|的图象.

函数图象的画法: ①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.

31

图 1-2-2-10 变式训练

x ? 0, ? x ? 4, ? 2 1.已知函数 y= ? x ? 2 x, 0 ? x ? 4, ?? x ? 2, x ? 4. ?
(1)求 f{f[f(5)]}的值; (2)画出函数的图象.

图 1-2-2-11 3.画函数 y=(x+1) ,-x,x≤0,x>0 的图象.
2

图 1-2-2-12

32

2. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车 5 千米以内(含 5 千米),票价 2 元; (2)5 千米以上,每增加 5 千米,票价增加 1 元(不足 5 千米按 5 千米计算), 如果某条线路的总里程为 20 千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.

分析: 学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽 车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函 数是分段函数. 解:设里程为 x 千米时,票价为 y 元,根据题意得 x∈(0,20]. 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:

图 1-2-2-13

?2,0 ? x ? 5, ?3,5 ? x ? 10, ? y= ? ?4,10 ? x ? 15, ?5,15 ? x ? 20 . ?
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图 1-2-2-13 所示. 变式训练 某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过 100 千米,票价是每千米 0.5 元,如果超过 100 千 米,超过部分按每千米 0.4 元定价,则客运票价 y(元)与行程千米数 x(千米)之间的函数关系式是________. 分析:根据行程是否大于 100 千米来求出解析式.

33

答案:y= ?

0 ? x ? 100 , ?0.5 x, ?10 ? 0.4 x, x ? 100 .

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? 4. 已知函数 f(x)= ?1, x ? 0, ?? x ? 1, x ? 0. ?
(1)求 f(-1),f[f(-1)],f{f[f(-1)]}的值; (2)画出函数的图象.

5.若定义运算 a⊙b= ?

?b, a ? b, 则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域是________. ? a , a ? b,

求分段函数的函数值时,要注意自变量在其定义域的哪一段上,依次代入分段函数的解
? f 1 ( x), x ? D1 , ? 析式.画分段函数 y= ? f 2 ( x ), x ? D2 , (D1,D2,?,两两交集是空集)的图象步骤是: ?? , ?. ?

(1)画整个函数 y=f1(x)的图象,再取其在区间 D1 上的图象,其他部分删去不要; (2)画整个函数 y=f2(x)的图象,再取其在区间 D2 上的图象,其他部分删去不要; (3)依次画下去; (4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.
6.如图 1-2-2-15 所示,在梯形 ABCD 中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点 P 从 B 点开始沿着折线 BC、CD、 DA 前进至 A,若 P 点运动的路程为 x,△PAB 的面积为 y.

图 1-2-2-15 (1)写出 y=f(x)的解析式,指出函数的定义域; (2)画出函数的图象并求出函数的值域.

34

分析:首先通过画草图可以发现,P 点运动到不同的位置,y 的求法是不同的(如图 1-2-2-16 的阴影部分 所示).

图 1-2-2-16 可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程 x 来求 出各段的高即可.三角形的面积公式为底乘高除以 2,则△PAB 的面积的计算方式由点 P 所在的位置来确 定. 解:(1)分类讨论: ①当 P 在 BC 上运动时,易知∠B=60°,则知 y=

5 3 1 ×10×(xsin60°)= x,0≤x≤4. 2 2

②当 P 点在 CD 上运动时, y=

1 ×10×2 3 =10 3 ,4<x≤10. 2

③当 P 在 DA 上运动时, y=

5 3 1 ×10×(14-x)sin60°= ? x+35 3 ,10<x≤14. 2 2

综上所得,函数的解析式为

? 53 x, 0 ? x ? 4, ? ? 2 4 ? x ? 10, y= ?10 3 , ? 5 3 x ? 35 3 , 10 ? x ? 14 . ?? ? 2
(2)f(x)的图象如图 1-2-2-17 所示:

35

图 1-2-2-17 由图象,可知 y 的取值范围是 0≤y≤10 3 , 即函数 f(x)的值域为[0,10 3 ].

知能训练 1.函数 f(x)=|x-1|的图象是(

)

图 1-2-2-18 分析:方法一:函数的解析式化为 y= ?

? x ? 1, x ? 1, 画出此分段函数的图象,故选 B.方法二:将函数 f(x)=x-1 ?1 ? x, x ? 1.

位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,与 f(x)=x-1 位于 x 轴上方部分合起来,即可得到函数 f(x)=|x-1| 的图象,故选 B.方法三:由 f(-1)=2,知图象过点(-1,2),排除 A、C、D,故选 B. 答案:B

? 2 x ? 0, ?x , ? 2.已知函数 f(x)= ?1, x ? 0, ? 1 ? ? x , x ? 0. ?
(1)画出函数的图象; (2)求 f(1),f(-1),f[f(-1)]的值. 解析:分别作出 f(x)在 x>0,x=0,x<0 段上的图象,合在一起得函数的图象. (1)如图 1-2-2-19 所示,画法略.

36

图 1-2-2-19 (2)f(1)=12=1,f(-1)= ?

1 =1,f[f(-1)]=f(1)=1. ?1

3.某人驱车以 52 千米/时的速度从 A 地驶往 260 千米远处的 B 地,到达 B 地并停留 1.5 小时后,再以 65 千 米/时的速度返回 A 地.试将此人驱车走过的路程 s(千米)表示为时间 t 的函数.

分析:本题中的函数是分段函数,要由时间 t 属于哪个时间段,得到相应的解析式. 解: A 地到 B 地,路上的时间为 从

260 260 =5(小时);从 B 地回到 A 地,路上的时间为 =4(小时).所以走过 52 65

的路程 s(千米)与时间 t 的函数关系式为

0 ? t ? 5, ?52t , ? 5 ? t ? 6.5, s= ?260 , ?260 ? 65(t ? 6.5), 6.5 ? t ? 10 .5. ?

37


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