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2013届高考数学(理)一轮复习课件: 圆的方程


圆的方程

1.圆的定义 在平面内,到_______的距离等于_______的点的集合叫做圆. 定点 定长 圆心 半径 确定一个圆最基本的要素是________和________. 2.圆的方程 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0 ________________

______ ______________________ 方程 (D2+E2-4F>0) D E (a,b) ___________ 圆心坐标 (- ,- ) 2 2 1 2 D +E2-4F r 半径 2 _______________

3.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 (1)若M(x0,y0)在圆外,则_________________________. (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (2)若M(x0,y0)在圆上,则__________________________. (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (3)若M(x0,y0)在圆内,则____________________________.

1.确定圆的方程必须有几个独立条件? 【提示】 不论圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母

(a、b、r或D、E、F)的值需要确定,因此需要三个独立的条
件.利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方 程组成的方程组,解之得到待定字母系数的值.

2.(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是什么?
(2)若D2+E2-4F=0,方程表示什么图形? 【提示】 (1)充要条件是D2+E2-4F>0.

D E (2)表示一个点(- ,- ). 2 2

求圆的方程 圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点 P(3,-2),求圆的方程.

【尝试解答】 =r2(r>0),

法一

设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2

?b=-4a, ??3-a?2+?-2-b?2=r2, 则有? ?|a+b-1|=r, ? 2
解得 a=1,b=-4,r=2 2. ∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 法二 过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线 y+2=x-3, 与 y=-4x 联立可求得圆心为(1,-4). ∴半径 r=2 2, ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

与圆有关的最值问题 已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求: (1)—的最大值和最小值;

y x

(2)y-x 的最小值;
(3)x2+y2 的最大值和最小值.

解析:(1)如图 D18,方程 x2+y2-4x+1=0 表示以点(2,0)为 圆心,以 3为半径的圆. y 设x=k,即 y=kx,由圆心(2,0)到 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、 |2k-0| 最小值.由 2 = 3,解得 k2=3. k +1 所以 kmax= 3,kmin=- 3.
图D18

(也可由平面几何知识,有 OC=2,PC= 3,∠POC=60° , 直线 OP 的倾斜角为 60° ,直线 OP′的倾斜角为 120° 解之)

(2)设 y-x=b,则 y=x+b,仅当直线 y=x+b 与圆切于第四 |2-0+b| 象限时, 纵轴截距 b 取最小值. 由点到直线的距离公式, 得 2 = 3,即 b=-2± 6,故(y-x)min=-2- 6. (3)x2+y2 是圆上点与原点距离之平方,故连接 OC,与圆交于 B 点,并延长交圆于 C′, 则(x2+y2)max=|OC′|2=(2+ 3)2=7+4 =(2- 3)2=7-4 3. 3,(x2+y2)min=|OB|2

与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: y-b (1)形如 u= 型的最值问题,可转化为过点(a,b) x-a 和(x,y)的直线的斜率的最值问题; (2)形如 t=ax+by 型的最值问题, 可转化为动直线的截 距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2 型的最值问题,可转化为动点 到定点的距离的最值问题.

与圆有关的轨迹问题 设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,点O是坐

标原点,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨
迹.

【尝试解答】 ∵四边形 MONP 为平行四边形 → → → ∴OP=OM+ON 设点 P(x,y),点 N(x0,y0),则 → → → ON=OP-OM=(x,y)-(-3,4) =(x+3,y-4), 又点 N 在圆 x2+y2=4 上运动, ∴(x+3)2+(y-4)2=4. 又当 OM 与 ON 共线时,O、M、N、P 构不成平行四边形. 9 12 21 28 故动点 P 的轨迹是圆且除去点(- , )和(- , ). 5 5 5 5

例题3:

与圆有关的探索性问题的求解策略 (14分)(2012·广州模拟)在平面直角坐标系xOy中,设二

次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点,
经过这三点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围;

(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.

【规范解答】 (1)显然 b≠0,否则,二次函数 f(x)=x2+ 2x+b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0),(-2,0),这 与题设不符.·················· 分 ··················1 由 b≠0 知, 二次函数 f(x)=x2+2x+b 的图象与 y 轴有一个 非原点的交点(0,b),故它与 x 轴必有两个交点, ∴方程 x2+2x+b=0 有两个不相等的实数根, 因此方程的判别式 4-4b>0,即 b<1. 所以,b 的取值范围是(-∞,0)∪(0,1).······ 分 ······4 (2)由方程 x2+2x+b=0,得 x=-1± 1-b. 于是,二次函数 f(x)=x2+2x+b 的图象与坐标轴的交点是 (-1- 1-b,0),(-1+ 1-b,0),(0,b).····6 分 ···

设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因圆 C 过上述三 点,将它们的坐标分别代入圆 C 的方程,得

??-1- 1-b?2+D?-1- 1-b?+F=0, ? ??-1+ 1-b?2+D?-1+ 1-b?+F=0, ?b2+Eb+F=0 ? ?D=2, ? 解上述方程组,因 b≠0,得?E=-?b+1?, ?F=b. ?
所以,圆 C 的方程为 x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.·· 分 ··9

(3)圆 C 过定点,证明如下: 假设圆 C 过定点(x0,y0)(x0,y0 不依赖于 b), 将该点的坐标代入圆 C 的方程,并变形为: x2+y2+2x0-y0+b(1-y0)=0. 0 0 ①·····11 分 ···· 为使①式对所有满足 b<1(b≠0)的 b 都成立, 必须有 1-y0=0,结合①式得 x2+y2+2x0-y0=0, 0 0
?x0=0, ?x0=-2, 解得? 或? y0=1, ? ?y0=1.

经检验知,点(0,1),(-2,1)均在圆 C 上. 因此,圆 C 过定点.·············· ··············14 分

易错提示:(1)第(1)小题中忽视了b≠0;
(2)第(2)小题中求过三点的圆的方程时,不会解方程组, 或解方程组出现错误;

(3)第(3)小题中,不会处理曲线系过定点的问题.
防范措施:(1)题目中出现参数,常考虑参数等于0的情 况. (2)解方程组时,应把b作为常量求解. (3)曲线系过定点问题,可把曲线系中的x,y作为常量, 把参数作为变量,把方程看作参数的恒等式来解决.

1.(2012· 肇庆调研)若实数 x,y 满足 x2+y2-2x+4y= 0,则 x-2y 的最大值为( A. 5 C.9
【解析】

) B.10 D.5+2 5

原方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5,表示以(1,

-2)为圆心, 5为半径的圆. 设 x-2y=b,则 x-2y 可看作直线 x-2y=b 在 x 轴上的截 距,当直线与圆相切时,b 取得最大值或最小值. 此时 |1+4-b| = 5. 5

∴b=10 或 b=0, ∴x-2y 的最大值是 10.
【答案】 B

2.(2012·梅州质检)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点 B(2,1),则圆C的方程为________.

【解析】 由题意知 A、B 两点在圆上, ∴直线 AB 的垂直平分线 x=3 过圆心. 又圆 C 与直线 y=x-1 相切于点 B(2,1), ∴kBC=-1. ∴直线 BC 的方程为 y-1=-(x-2), 即 y=-x+3. y=-x+3 与 x=3 联立得圆心 C 的坐标为(3,0), ∴r=|BC|= ?3-2?2+?0-1?2= 2. ∴圆 C 的方程为(x-3)2+y2=2.
【答案】 (x-3)2+y2=2


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