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高二数学北师大版选修2-1课件:2.4 用向量讨论垂直与平行


§4 用向量讨论垂直与平行

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D典例透析 S随堂演练
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1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系. 2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理. 3.能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题,体会向量方法在研 究几何问题中的作用,培养学生的运算能力.

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1 .利用方向向量、法向量判断线面的位置关系 一般地,由直线、 平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量, 可以归纳如下结论. 设两条不同直线 l 1,l2 的方向向量分别为 a,b,两个不同平面 α,β 的法向 量分别为 m,n.
向量间的关系 线、面间 图示 位置关系 l1∥l2

a∥b 方向向量间 的关系 a⊥b

l1⊥l2

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m∥n α∥β 法向量间的 关系 m⊥n α⊥β

方向向量与 a∥m 法向量间的 关系 a⊥m

l1⊥α

l1∥α 或 l1?α
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【做一做 1-1】 若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,则能使 l∥α 的是( ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析 :欲使 l∥α,则需 a⊥n,即 a· n=0,故选 D. 答案 :D 【做一做 1-2】 已知 a,b,c 分别为直线 a ,b ,c 的方向向量,且 a=λb(λ≠0),b· c=0,则 a 与 c 的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面 解析 :由 a=λb(λ≠0),知 a ∥b. 由 b· c=0,知 b ⊥c,所以 a⊥c.故选 A. 答案 :A

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【做一做 1-3】 在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别是 BC,CD 的中点,则( ) A.BD∥平面 EFGH,且 EFGH 是矩形 B.HG∥平面 ABD,且 EFGH 是菱形 C.HE∥平面 ADC,且 EFGH 是梯形 D.EF∥平面 BCD,且 EFGH 是梯形 答案 :D

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2 .平面法向量的求法 (1)若空间图形中,能够容易找出一个平面的垂线,则该直线的方向向量 即为该平面的法向量. (2)若平面的垂线不易找出,可利用待定系数法求平面法向量的坐标.其 步骤如下: ①设平面的一个法向量为 n=(x,y,z); ②找出(或求出)平面内两个不共线的向量的坐标 a=(a 1,b 1,c1),b=(a 2,b 2,c2); · = 0, ③根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组 · = 0; ④解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量. 说明 :(1)求平面的一个法向量 n=(x,y,z)时,一般将 x,y,z 中的一个视为已 知数,表示出另外两个,再令已知数为 1,即可求得 n. (2)从简化运算的角度出发,应避免法向量的坐标中含有分数. (3)(0,0,0)不能作为平面的一个法向量,当 x=y=z 时,不能给其中的任一 个赋值为 0.
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【做一做 2】 已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一个法向 量. 解 :设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z). 由题意得 =(-1,1,0),=(1,0,-1). · = - + = 0, ∵n⊥,且 n⊥,∴ 令 x=1,得 y=z=1.∴平面 · = - = 0. ABC 的一个法向量 n=(1,1,1). 3 .垂直与平行的相关定理 (1)线面垂直判定定理 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂 直. (2)面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平 行.

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(3)三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投影,则 这两条直线垂直. (4)面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直. 说明 :用空间向量解决空间线面关系的步骤: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、 直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之间的 距离和夹角等问题; (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

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【做一做 3-1】 如图,已知矩形 ABCD,PA=AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQ⊥QD,则 a 的值等于 .

解析 :建立如图所示的空间直角坐标系,设| |=b,则 A(0,0,0),Q(1,b ,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D (0,a ,0),

∴=(1,b ,-1),=(-1,a-b ,0).∵ ⊥ , ∴b 2-ab+1=0. ∵b 只有一解,∴Δ=0,可得 a=2.
答案 :2
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【做一做 3-2】 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点.

求证:(1)AC⊥BC1; (2)AC1∥平面 CDB1.

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证明 :∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,∴ AC⊥BC, ∴AC,BC,C1C 两两垂直. 如图 ,以 C 为坐标原点 ,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系,则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D (1)∵=(-3,0,0),1=(0,-4,4), ∴ ·1=0,∴ ⊥ 1,∴AC⊥BC1. (2)如图 ,设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,则 E(0,2,2), 3 ∴ = - ,0,2 , 1=(-3,0,4),
3 ,2,0 2

.

∴ = ∥ 1,∴DE∥AC1. ∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1.
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2 1 1,∴ 2

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2

3

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1 .确定直线的方向向量 剖析 :在直线上取有向线段表示的向量,或在与它平行的直线上取有向 线段表示的向量,均为直线的方向向量.在解立体几何问题时,直线的方向向 量一般不再叙述而直接应用,可以参与向量运算或向量的坐标运算.在给出 的几何体中建立空间直角坐标系时,坐标运算更为简单.

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2

3

4

2 .空间中平面的向量表示式

剖析 :空间中平面 α 的位置可以由 α 内两条相交直线来确定.如图,设这 两条直线相交于点 O,它们的方向向量分别为 a 和 b,P 为平面 α 上任意一点. 由平面向量的基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得=xa+yb. 这样 ,点 O 与向量 a,b 不仅可以确定平面 α 的位置,还可以具体表示出 平面 α 内的任意一点,这种表示在解决几何问题时能起到非常重要的作用.

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3 .利用向量知识判断直线、平面的平行问题 剖析 :平行关系包括:线线平行、线面平行和面面平行.用向量知识判断 时 ,主要是研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.通常情况下,构 建空间直角坐标系,用坐标运算进行.两条直线(不重合)的方向向量共线时, 两条直线平行.一条直线与一个平面的法向量垂直时,若直线不在平面内,则 直线与平面平行.两个平面(不重合)的法向量共线时,两平面平行.通常用向 量共线的充要条件或向量数量积的计算公式求解.

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1

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3

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4 .利用向量知识判断直线、平面垂直 剖析 :垂直问题包括:直线与直线垂直,常用两条直线的方向向量的数量 积为 0 来判断;直线与平面垂直,常用直线的方向向量与平面的法向量共线 来判断;平面与平面垂直,常用法向量垂直来判断.用向量知识来探讨空间的 垂直问题时,主要研究向量的共线或垂直,可以用向量的基本运算进行.当几 何体比较特殊时,构建空间直角坐标系解题更为简单.

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题型一

题型二

题型三

题型四

题型一 空间中直线、平面的位置关系

【例 1】 设 a,b 分别是直线 l1,l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1 与 l2 的位置关系: (1)a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); (2)a=(5,0,2),b=(0,4,0); (3)a=(-2,1,4),b=(6,3,3). 分析 :直线的方向向量与两条直线的位置关系间的内在联系是 l1∥ l2?a∥b,l1⊥l2?a⊥b,据此可判断两条直线的位置关系. 解 :(1)∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3), 1 ∴a=- b,∴a∥b,∴l1∥l2. (2)∵a=(5,0,2),b=(0,4,0), ∴a· b=0,∴a⊥b,∴l1⊥l 2. (3)∵a=(-2,1,4),b=(6,3,3), ∴a 与 b 既不平行,也不垂直, ∴l1 与 l2 的位置关系是相交或异面(不垂直).
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题型一

题型二

题型三

题型四

【例 2】 设 u,v 分别是平面 α,β 的法向量,根据下列条件判断 α,β 的位 置关系: (1)u=(1,-1,2),v= 3,2,- ; 2 (2)u=(0,3,0),v=(0,-5,0); (3)u=(2,-3,4),v=(4,-2,1) . 分析 :平面的法向量与两个平面的位置关系间的内在联系是 α∥β?u ∥v,α⊥β?u⊥v,据此可判断两个平面的位置关系. 解 :(1)∵u=(1,-1,2),v= 3,2,1 2 1

,

∴u· v=3-2-1=0,∴u⊥v,∴α⊥β. (2)∵u=(0,3,0),v=(0,-5,0), 3 ∴u=- v,∴u∥v,∴α∥β. 5 (3)∵u=(2,-3,4),v=(4,-2,1), ∴u 与 v 既不平行,也不垂直, ∴平面 α 和 β 相交(不垂直).
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题型一

题型二

题型三

题型四

【例 3 】 设 u 是平面 α 的法向量,a 是直线 l 的方向向量,根据下列条 件判断 α 和 l 的位置关系: (1)u=(2,2,-1),a=(-3,4,2); (2)u=(0,2,-3),a=(0,-8,12); (3)u=(4,1,5),a=(2,-1,0). 分析 :直线的方向向量与平面的法向量的关系和直线与平面的位置关 系之间的内在联系是 l?α 或 l∥α?a⊥u,l⊥α?a∥u. 解 :(1)∵u=(2,2,-1),a=(-3,4,2), ∴u· a=-6+8-2=0,∴u⊥a, ∴直线 l 和平面 α 的位置关系是 l?α 或 l∥α. (2)∵u=(0,2,-3),a=(0,-8,12), 1 ∴u=- a,∴u∥a,∴l⊥α. (3)∵u=(4,1,5),a=(2,-1,0), ∴u 和 a 既不平行,也不垂直, ∴l 与 α 相交(不垂直).
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题型一

题型二

题型三

题型四

反思解答上述三类问题时要注意两个方面:一是要分清直线的方向向 量、 平面的法向量和直线、 平面的位置关系之间的内在联系;二是要熟练掌 握判断两向量共线、垂直的重要条件.

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题型一

题型二

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题型四

题型二 用空间向量证明平行关系

【例 4】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 C1C,B1C1 的中 点,利用空间向量证明 MN∥平面 A1BD.

分析 :利用空间向量证明线面平行问题,有以下三种方法:方法一是证明 与平面 A1BD 的法向量垂直;方法二是在平面 A1BD 内找一个向量与 共线 ; 方法三是证明可以用平面 A1BD 中的两个不共线向量线性表示.

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题型一

题型二

题型三

题型四

证明 :方法一:如图,以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为 1, 1 则 D(0,0,0),M 0,1, ,N

∴ =

设平面 A1BD 的一个法向量为 n=(x,y,z), 则 n· 1=0,n· =0, + = 0, 即 + = 0.
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1 1 ,0, 2 2

2

1 ,1,1 2

,A1(1,0,1),B(1,1,0),

, 1=(1,0,1),=(1,1,0).

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令 x=1,得 y=-1,z=-1, ∴n=(1,-1,-1). 又 ∵· n= ×1+ ×(-1)=0,
1 2 1 2

∴⊥n,∴MN∥平面 A1BD. 1 1 方法二:∵ = 1 ? 1 = 1 1 ? 1
= (1 1 ? 1 )= 1 ,∴MN∥1. 2 2 又 ∵MN?平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD.
1 1 2 2

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方法三:∵ = 1 ? 1 = 1 1 ? 1 = ( + )- (1 1 +
1 1 1 + 1 + ( ? ) 2 2 2 1 1 1 1 = + 1 + = 1+0, 2 2 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 1 1 1 )= + ? 1 1 ? 1 2 2 2 2

=

∴可用 1 与线性表示,
故 与1和是共面向量, ∴MN∥平面 A1BD. 反思方法一是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明结论,方法二和方 法三没有建立空间直角坐标系,直接通过向量的分解等运算进行证明,当然 方法二和方法三也可通过建立直角坐标系利用坐标运算来证明.一般地,如 果建立空间直角坐标系比较容易,通常我们会采用方法一,如果不容易建立 空间直角坐标系,那么我们通常会采用方法二、方法三,而方法二需要一个 条件 ,那就是在平面内找到一个向量与直线的方向向量平行.
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【变式训练 1】 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,|DA|=2,|DC|=3,|DD1|=4,M,N,E,F 分别为棱 A1D1,A1B1,D1C1,B1C1 的中点. 求证:平面 AMN∥平面 EFBD. 证明 :如图,以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系,

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则 A(2,0,0),D(0,0,0),M(1,0,4),N 2, ,4 ,E 0, ,4 ,F(1,3,4). 则 =(-1,0,4), = 0, ,4 , = 0, ,4 , =(1,3,4). 设平面 AMN 和平面 EFBD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2), -1 + 41 = 0, 1 · = 0, 则 即 3 + 41 = 0, 1 · = 0, 2 1 令 x1=1,得 z1= ,y1=- . 2 · = 0, 即 2 2 + 42 = 0, 2 · = 0, 2 + 32 + 42 = 0, 3 3 令 y2=-1,得 z2= ,x2= . 所以 n1=
2 8 2 1 1,- , 3 4 2 1 4 2 3 3 2 3 2

3 2

3 2

3

,n2=

3 3 ,-1, 2 8

,

所以 n1= n2,即 n1∥n2, 3 所以平面 AMN∥平面 EFBD.
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题型三 用空间向量证明垂直关系

【例 5 】如图,在四棱锥 E-ABCD 中,AB⊥平面 BCE,CD⊥平面 BCE,AB=BC=CE= 2CD=2,∠BCE=120°.求证:平面 ADE⊥平面 ABE.

证法一 :如图,取 BE 的中点 O,AE 的中点 F,连接 OC,OF,DF,则 OF BA.
2

1

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题型二

题型三

题型四

∵AB⊥平面 BCE,CD⊥平面 BCE,∴AB∥CD.
又 ∵AB=2CD,∴CD BA,∴OFCD,
1 2

∴四边形 OCDF 是平行四边形,∴OC∥FD. ∵BC=CE,且 OE=OB,∴OC⊥BE. ∵AB⊥平面 BCE,∴AB⊥OC. 又 ∵BE∩AB=B,∴OC⊥平面 ABE, ∴FD⊥平面 ABE. ∵FD?平面 ADE,∴平面 ADE⊥平面 ABE.

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证法二:取 BE 的中点 O,AE 的中点 F,连接 OC,OF,则 OF∥AB. ∵BC=CE,∴OC⊥BE. ∵AB⊥平面 BCE,OF∥AB, ∴OF⊥平面 BCE, ∴OC,OB,OF 两两垂直. 如图 ,以 O 为坐标原点,直线 OC,OB,OF 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系, 则 C(1,0,0),B(0, 3,0),E(0,- 3,0),D(1,0,1),A(0, 3,2),∴ =(0,2 3,2),=(-1, 3,1).
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设平面 ADE 的一个法向量为 n=(a ,b ,c), 则 n· =(a ,b ,c)· (0,2 3,2)=2 3b+2c=0, n· =(a ,b ,c)· (-1, 3,1)=-a+ 3b+c=0. 令 b=1,则 a=0,c=- 3,∴n=(0,1,- 3). ∵AB⊥平面 BCE,∴AB⊥OC. 又 ∵OC⊥BE,BE∩AB=B, ∴OC⊥平面 ABE, ∴平面 ABE 的一个法向量可取为 m==(1,0,0). ∵n· m=(0,1,- 3)· (1,0,0)=0, ∴n⊥m,∴平面 ADE⊥平面 ABE. 反思证明面面垂直有几何法和向量法两种途径,几何法注重考查逻辑思 维能力,常需作辅助线解决,思维量大;向量法思维量小,但有时运算量较大. 一定要根据题目所给空间几何体建立合适的坐标系,若建系不当,则会增加 计算的难度.
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【变式训练 2】如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,D1B1 的中点.求证:EF⊥平面 B1AC.

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题型四

证明 :设正方体的棱长为 2a ,如图,以 D 为坐标原点 ,直线 DA,DC,DD1 分 别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,

则 A(2a ,0,0),C(0,2a ,0),B1(2a ,2a ,2a ),E(2a ,2a ,a ),F(a ,a ,2a ), ∴=(-a ,-a ,a ),1=(0,2a ,2a ),=(-2a ,2a ,0). ∵ ·1 =(-a ,-a ,a )· (0,2a ,2a )=0-2a 2+2a 2=0, · =(-a ,-a ,a )· (-2a ,2a ,0)=2a 2-2a 2+0=0,∴EF⊥AB1,EF⊥AC. 又 ∵AB1∩AC=A,∴EF⊥平面 B1AC.
-32-

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题型一

题型二

题型三

题型四

题型四 易错辨析

易错点 因忽视对位置关系的进一步考察而致误 【例 6】 已知 A(1,0,0),B(0,1,1),C(1,1,0),D(1,2,0),E(0,0,1),则直线 DE 与 平面 ABC( ) A.平行 B.DE?平面 ABC C.相交 D.平行或 DE?平面 ABC 错解 :=(-1,1,1),=(1,0,-1). 设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z), 则 n· =0,n· =0, - + + = 0, 所以 令 x=1,则 y=0,z=1. - = 0. 所以 n=(1,0,1).
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题型一

题型二

题型三

题型四

又 =(-1,-2,1), 所以 · n=(-1,-2,1)· (1,0,1)=0, 所以 ⊥n,所以 DE 与平面 ABC 平行.选 A . 错因分析:错因在于没有进一步考察直线 DE 与平面 ABC 的关系,当 ⊥n 时 ,DE 与平面 ABC 不一定平行,还有可能在平面内,到底是哪种情形,需 经进一步考察方可获知. 正解 :前同错解. 所以 ⊥n,所以 DE∥平面 ABC 或 DE?平面 ABC. 因为 =(1,1,-1),所以=2 + , 所以 A,B,C,D 四点共面, 即点 D 在平面 ABC 内,所以 DE?平面 ABC.选 B.

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1

2

3

4

5

( A.

1 已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是 )
3 3

, ,

3 3

C. -

3

3 3 3

,,

3

B.

3 3

,3

3 3

,
3

3 3

解析 :=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,-1,1). 设平面 ABC 的一个单位法向量为 u=(x,y,z), 则 u· =0,u· =0,可得 x,y,z 间的关系,且 x2+y2+z2=1,再求出 x,y,z 的 值. 答案 :D

3

3

3

D. -

3

,-

3

,-

3 3

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1

2

3

4

5

2 若直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( A.l1∥l2 B.l1⊥l 2 C.l1,l2 相交但不垂直D.l1,l 2 的关系不能确定 解析 :∵a· b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0, ∴a⊥b,∴l1⊥l2. 答案 :B

)

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1

2

3

4

5

3 已知平面 α 的一个法向量是(2,3,-1),平面 β 的一个法向量是(4,λ,-2),若 α∥β,则 λ 的值是( ) A.B.6 C.-6 D. 3 3 解析 :∵α∥β, ∴平面 α 的法向量与平面 β 的法向量也互相平行,
10 10

∴ = = ,∴λ=6.
答案 :B

2 4

3

-1 -2

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1

2

3

4

5

4 已知直线 l 的一个方向向量为 u=(4,1,-2),平面 α 的一个法向量为 v=(1,0,2),则 l 与 α 的位置关系是 . 答案 :l∥α 或 l?α

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1

2

3

4

5

5 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 于点 F.

证明:(1)PA∥平面 EDB; (2)PB⊥平面 EFD.

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1

2

3

4

5

证明 :如图,以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系,设 DC=a. (1)连接 AC,交 BD 于 G,连接 EG. 依题意,得 A(a,0,0),P(0,0,a ),E 0, , .

∵底面 ABCD 是正方形, ∴G 是正方形 ABCD 的中心.
故点 G 的坐标为
2 2

2 2

, ,0 ,且=(a,0,-a ), =

2

,0,-

2

,∴=2,∴

PA∥EG. ∵EG?平面 EDB,且 PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB.

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1

2

3

4

5

(2)依题意 ,得 B(a,a,0),∴=(a,a,-a).

∵ = ∴PB⊥DE. 又 ∵EF⊥PB,且 EF∩DE=E,∴PB⊥平面 EFD.

0, , 2 2

2 2 ,∴ · =0+ ? =0, 2 2

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高中数学 2.4用向量讨论垂直与平行课时训练 北师大选修2-1

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