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高考数学必胜秘诀在哪?――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十二.统 计


高考数学必胜秘诀在哪? ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
十二.统 计
1.抽样方法:(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时,它 的主要特征是从总体中逐个抽取;(2)分层抽样,主要特征分层按比例抽样,主要使用于总 体中的个体有明显差异。共同点:每个个体被抽到的概率都相等

n 。如(1)某社区有 500

N

个家庭,其中高收入家庭 125 户,中等收入家庭 280 户,低收入家庭 95。为了调查社会购 买力的某项指标,要从中抽取一个容量为 100 户的样本,把这种抽样记为 A;某中学高中 一年级有 12 名女排运动员,要从中选取 3 人调查学习负担的情况,把这种抽样记为 B, 那么完成上述两项调查应分别采用的抽样方法:A 为_______,B 为_____。 (答:分层抽 样,简单随机抽样)(2)从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛,如果按性别分 ; 层随机抽样,则组成此参赛队的概率为______(答:

60 )(3)某中学有高一学生 400 ; 143

人,高二学生 300 人,高三学生 300 人,现通过分层抽样抽取一个容量为 n 的样本,已知 每个学生被抽到的概率为 0.2,则 n= _______(答:200)(4)容量为 100 的样本拆分成 ; 10 组,前 7 组的频率之和为 0.79,而剩下的三组的频数组成等比数列,且其公比不为 1, 则剩下的三组中频数最大的一组的频率是______(答:0.16)(5)用简单随机抽样的方法 ; 从含有 10 个个体的总体中,抽取一个容量为 2 的样本,则某一个体 a “第一次被抽到的 概率”“第一次未被抽到,第二次被抽到的概率”“在整个抽样过程中被抽到的概率”分 , , 别是______________(答:

1 1 1 , , )(6)某班试用电子投票系统选举班干部候选人。 ; 10 10 5
j ?1,第i号同学同意第 号同学当选 j ?0,第i号同学不同意第 号同学当选

全班 k 名同学都有选举权和被选举权, 他们的编号分别为 1,2, ?,k,规定:同意按 “1” , 不 同 意 ( 含 弃 权 ) 按 “ 0 ” 令 aij ? ? , ,其中

i ? 1,2,?, k,j ? 1,2,?, k,, 则 同 时 同 意 第 1,2 号 同 学 当 选 的 人 数 为
A . a11 ? a12 ? ? ? a1k ? a21 ? a22 ? ? ? a2k C. a11 a12 ? a21 a22 ? ? ? ak1 ak 2 B . a11 ? a21 ? ? ? ak1 ? a12 ? a22 ? ? ? ak 2 D. a11 a21 ? a12 a22 ? ? ? a1k a2k (答:C)

2.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,即用样 本平均数估计总体平均数(即总体期望值――描述一个总体的平均水平) ;用样本方差估 计总体方差(方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数,方差或标准差越 小,表示这个样本或总体的波动越小,即越稳定) 。一般地,样本容量越大,这种估计就 越精确。总体估计要掌握:(1)“表”(频率分布表); “图”(频率分布直方图)。提醒: (2) 直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率),横轴一般是数据的大 小,小矩形的面积表示频率。如(1)一个容量为 20 的样本数据,分组后组距与频数如下: (10,20],2;(20,30],3;(30,40],4;(40,50],5;(50,60],4;(60,70],2;则样本在区间 (?50,50] 上

的频率为 A.5% B.25% C.50% 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 0.3 的 范 围 是 A . 5.5 ~ 7.5

D.70%(答:D)(2)已知样本:10 8 ; 9 12 9 10 11 12 12 ,那么频率为 B . 7.5 ~ 9.5 C . 9.5 ~ 11.5

D.11.5~13.5 (答:B)(3)观察新生儿的体重,其频率分布直方图如图 1 所示,则新 ; 生儿的体重在[2700,3000]的频率为_______(答:0.3)(4)如图 2 是一次数学考试成绩 ; 的样本频率分布直方图(样本容量 n=200) ,若成绩不低于 60 分为及格,则样本中的及格 人数是_____(答:120) ;
频率 组距
0.018

频率/组距

0.001

0.012 0.009 0.006 0.005

O

2400 2700 3000 3300 3600 3900

体重(g)

分数 20 40 60 80 100

0

图1 (5)对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下: 寿命 (h) 个数 100~200 20 200~300 30 300~400 80

图2 400~500 40 500~600 30

(1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计电子元件寿命在 100h~400h 以内的概率(答: (2)略 (3)0.65) (1) 3、样本平均数: x ?

1 1 n ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? ? xi 。如有一组数据:x1,x2,?,xn(x1 n n i ?1

≤x2≤?≤xn),它们的算术平均值为 20,若去掉其中的 xn,余下数据的算术平均值为 18, 则 xn 关于 n 的表达式为 (答: xn ? 2n ? 18 ) 。 4、样本方差: s ?
2

1 1 n [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ? ? ( xi ? x)2 ; n n i ?1

样本标准差: s ?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] 。 n

如(1)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了 5 次, 成绩如下表(单位:环) 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙两人中只有 1 人入选,则入选的应是 (答:甲) (2)已知实数 ;

x1 , x2 ,?, xn (n ? 2) 的期望值为 x ,方差为 S 2 , m ?

1 n ? ( xi ? a) 2 ,若 a ? x ,则一定 n i ?1



A. S ? m
2

B. S ? m
2

C. S ? m
2

D. S 与 m 无法比

2

较大小(答:B)(3)某班 40 人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下 ; 表: 统计量 组别 第1组 第2组 80 90 16 36 平均分 方差

则全班的平均分为_______,方差为______(答:85,51) 提醒:若 x1 , x2 ,?, xn 的平均数为 x ,方差为 s ,则 ax1 ? b, ax2 ? b,?, axn ? b 的平均数
2

为 ax ? b ,方差为 a s 。如已知数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数 x ? 5 ,方差 S 2 ? 4 ,则数据
2 2

3x1 ? 7,3x2 ? 7,?,3xn ? 7 的平均数和标准差分别为
C.15,6 D.22,36 (答:B)

A.15,36

B.22,6


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