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3.组合几何


????? (¨) ???
(2011

? ?)

1

? ? §×? § ? ±?? §? × × ? ±¨ × ?? ???± § ? ?? ? § ? ?? ? § ? § ? ?? ?

2

1.

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3

2.

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4

3.

× ?· ?? (1) ? ? ?? ? ? (2) ? ? ?? ? ? (3) ? ? ?? ? ? (4) ? ? ?? ? ?

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5

4.

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6

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5.

7

6.

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8

?? ? ?¤ ? ?? ? ? ???¤?? ? ?? ? ? ? ???¤? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? 100 ? 20 ? ? ? ?? ?? (? )
7.

9

¤ ? ?? 1699 ?? ? ? ? ??? ¤? ??? ? ? ? ? ? 16 ? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? × ?? ? 20 ? ?? ? ? ? ? ? 17 ?? ? ? ? 20 ? ??? ? ? 98 ?? ? ?? 100 ? 20 ? ? ?? 99 · 17 + 16 = 1699 ?? ? ? 1699 ?? ?? s ?? ?± 100 + x ? ??? y? ? 100 + x = s + 1. ?
s ? x = 99. (1) 4

? ? ??
y ≤ 4 + 4s. x

? ??

??
(2)

?

?
(3),

3x

?

y ≥ 100 · 20 + 3x.

(3)

? § (2)

? ? ???

s + 3(s ? x) ≥ 1996,

¨ s ? x = 99 ?

s ≥ 1699.

10

?? § ¤?? ??? 1 ?? ?? ? 6 . (?? ° ? 2003 ?? 1 §)
8.

11

¤ ?? § ? ?? · ? △ABC , ? ? ? ? ? ?? 1 . ? ? a≤ 6 b ≤ c. ? ×
a>c?b> a+b+c . 6

?
b >a+ a+b+c a+b+c = ; 6 3 a+b+c a+b+c c>b+ > . 6 2

¤ ? ? ? ??
a + b + c > a + b + c,

?

?? ?? § ?.

12

± ? ?? S? ? ??? n ? ? ?? S . ( 4 §)
9.

?? ? ? n: ? ? S, n ? ? ·??? ??·??? ? ? 20 ? ?

13

¤ n = 6. ? ?? n = 6 ??? ?? S? ? 6? ? · ? ? ? ?? ? 6 ? ? |S | ≤ 6, ? · ? ? ? ?? ?? S . |S | > 6. ? ? S ? ? A , A , A ?? ? l ? ¤ S ?? ?l × ?? S , S ? ? ? ? |S | < 3, ? S ? ? ? ? ? |S | ≥ 3. ?? S ? ? ? ? ? A ,A ,A S 6 ?× ??? ?· ? ? ? ??? 6 ? ??? ? ?? A ,A ,A , ? ?? ?? ? ? 3 ? ?? ??  ? S ? ? ? ? ?? S ?? ? ? ? ± n < 6 ??? ? ±×?
1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 1

14

§ ???± ? A , B , C , D , ?? A × A ?? B  ? B × B ?? C  ? C × C ?? D  ?D × D ?? A  ? ? ? A, B, C, D ? ? ? ? ? ? A, B, C, D ? (? ¤ ? ? ? ) (? ? ? 2003 ? ? 3 §)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

10.

?

A, B, C, D

? ?

15

? ?

¤ ¤? ??

?
a, b, c, d x, y, z

→ ? ? → ? ? → ? ? → ? ?? AB, BC, CD, DA
′ ′ ′ ′ ′ ′

a + b + c + d = 0.

? → ? ? → ? ? → ? ?? A B ,B C ,C D ,

? ? → ? ? → ? ? → x = A′ B ′ = A′ B + BB ′ = ?a + 2b, ? ? → ? ? → ? ? → y = B ′ C ′ = B ′ C + CC ′ = ?b + 2c, ? ? → z = C ′ D ′ = ?c + 2d ?c ? 2a + b + c = ?2a ? 2b ? 3c.

?
b = 2c ? y , a = 2b ? x = 4c ? 2y ? x, z

¨? ? ?

? ? ??

z = ?15c + 6y + 2x, 1 6 y + 2x ? z . 15 ? ? → ?c = C ′ D , C′ c=
′ ′ ′

? ± ??? ? ?c ????? D. ? A, B, C ? × DD , AA BB ? ?? ? ± A, B, C .

16

? ? ? ? ?? Γ, |Γ| ≥ 3, ?  ? u ∈ Γ · ? v , w ∈ Γ, v = w , ? ? u = v + w , ? Γ ? S. ? (?)  ? n ≥ 6, · ? S n ?? ?? ? (?) ? ? S ? ? ? ? ? ?? ? 6. (? ? ? 2003 ? ? 4 §)
11.

17

¤ (?)  n = 6, ?? ? ? ? ABC , ?
? → ? ? → ? → ? → ? ? → ? → Γ6 = {AB, BC, CA, BA, CB, AC },

? ?

Γ6 n

??

?
vi

??
vj

S.

Γn = {v1 , v2 , · · · , vn }

×? ? ? ? ? ? ? ? ? v + v ∈ Γ (? ). ? ? ?? ? ? ?
S,
i j n

Γn+1 = Γn ∪ {vi + vj },



? S. ?? (?) ? S, ¤ Γ ? ? ? O, ? ×
n+1 n 1

Γn

?

?

?

? ? → ? ? → ? ? → Γn = {OA1, OA2 , · · · , OAn }. ? → ?? u = ? OA , v = 0, v⊥u. ? × ? ? → OAi = ai u + bi v, i = 1, 2, · · · , n.

?
M = {a1 , a2 , · · · , an },

?

M ¤?? a ∈ M , ·? a , a
Γn S,
i j

?

?
∈ M,

k

?

? × M ? ??? ? ? ?? · ? b = c b = c , ?
a a′
′ ′

aj = ak , ai = aj + ak .

a ≥ a > 0, ? a ? ? ? b ? c × ? ?? a , b c ? ? ? ? × ? ? ?? ?? × a, b, c, a , b , c ×? M ? 6 ? ? ? ?? n ≥ 6.
a1 = 1 > 0,
′ 1 ′ ′ ′ ′ ′

?

a = b + c, ? ? → u = OA1 ,

?

a′ = b′ + c′ .

18

? P ?? ??  ? × ?? P ? ? ¤ P ? · ? ?? ?? ? ? × ? ? ( ? 2003 2 §)
12.

?

19

????¤ (1)P ? ? ABCD, ? ?  ? AC BD ? ? E. ? BE ED × ?? AE EC × ?? ABCD ×? ? ? ?? ? ? ? ABCD ×?? ?? ? ? ??? ? AD ? BC ??? ? ? ?? I , ? I ? A ? ??
AF ⊥BC, DG⊥BC, AH ⊥DG,

? n ? A A · · · A (n ≥ 5). ?? P ?? A A , ?? ??? ??? B ,B ,···,B ? A B ,B B ,···,B A × ??? A B , A B , · · · , A B × ?? B ×? A A ? A A ? ??? ? A A A A ? ? ?? × ? ? (1) ? ? A B × ??
(2)P
1 2 n i j 1 2 i 1 1 2 m j i 1 i 2 i m k i j x y i x j y i k

????? ?

F, G

H.

??

m,

20

?n ?? 6 ≤ 2m < n. ??? ? n ? ? ??? ? ? ?± P , ?§ ? ? ? m ? Q, ?¨ P, Q, ?? Q ± ?§ ? ? ? m ? R, ? ?¨ Q, R, ? ?? ? ? ?¤ ? ?? ? ? ? ? i( ? ?? ? ). (1) ?± i ? ? ?? ? ? × ? m ? n, ? ? n ? ? ? (2) ? ?n? ?m=3? ?? i ≥ n. n ×??? ? ? n? ? ? ? i = n. ( ? 2003 6 §)
13. m

21

¤ (1) ?¨? k ? ?± m ?? ? ? ? (n ? ¤ ?? ? n ), ? km × n ? ? ? ? m ? n ? n,  ? ·? n ? k ? ? ? ? ? ???±? n ? ?? ? ?? ? ? ?? ???? n? ? ?? ? n ? ? ? ¤??? ? ?? ?§ ? §¤, ? ?¤. ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? l ?l ??? l ? ? l ? ? ?l ? ? ?l ?l ?? ? ?? ? ? ? l ? l ? ?? ? {l , l }, j ? ?? ? ??? ? · ?? (l , l ) ?? 2(m? 1)n( ?l m?1 ? ? ? ?? ×? ? ), ? j = 2(m ? 1)n. ? ? ? ?? {l , l } ?? ? ? ? ? ? ? ??
1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2

i ≤ j = 2(m ? 1)n.

1

?? n ?? ? ? ??? ?? 1 ? ??? ? {l , l } ?? ¨ ? ? ?·?  ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? n ? ?? ? ? ?° O ?? ? ? r. O ?° ?? ?? r ? ?? × ? n ? ×?? ?
1 2

22

? ? ?? ?? ?? ?
(2)

?? ? ? ? ? ?? ?n?

?? i ≥ n.  ? n ?? ? ? A, ·? ?? A ± ?? A ? ? A “? ”, A “? ”. P ? ? A ? A ?? ?? ? P A ? ? i ≥ n, ? ?? A = B ?? P = P . A ¤ ?? ? ?¤ A ? ?A ? ?A ? ? ?? ?? ? B(? B = A). ? ? ? ¤ ? ¤ (i)B × A ? ? ? ? ?? B ? ? A ? ?? ? P =P . (ii)B ? A ? ? ? B ? ?? A ? ? ? ? A ? ? ?? P = P . (iii)B ? A ? ?? ? B ? ?A ? ? ?B ? ?A ? ? A ? ??
A A A B A B A B

?A ? ? ? ? ?? ? B ? ? A ? ?? ? ?? ? A = B ?? P
(iv)B PB .

PA = PB .

A

=

??? ? m = 3 ? n ×??? ? ? n? ? ? ? i = n. n ×?? ? ? n = 2k , ? ?k ??? ? k ? D , ?
0

23

? D ?¨ k ? D , ?? D ?¤ D ? ? ×D D ? ?° ? ? O . ? D ? l, § ? ?? E F :  ? l ? D ? ? ? ? ?? §?? ? ?? ? ?? l ? ? D ?? ? ?? § ? ? ?? ??¤ ? ? ? ? ¤? ? E ; ?? l ? D ??? ???§ ? ? ?? ?? ? l ? ? D ?? ???§?? ? ?? ? ?¤ ? ? ? ?¤? ? F . ? ? ? ?? ? E F ? O ? ? ? 2k ? ?? ?? ω ? ? ?¨ ? 2k ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ?D ?D ?? ? ? ? ? ? ×D ?D (?? ?D ? ? × ? ? ? D ? ? ×? ? ? ).
0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

24

? △A B C ? ?? ? ? ? ?? ° ?? ?? ? △A B C , ?? ? △A B C , ? AA , BB , CC ? ? ?
14. △ABC
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

25

¤ ?

?

?1 ?
1

?

? △A B C AB = A B , ?? ?
△ABC
1 1 1 1 1 ′ ′ ′ ′ ′ ′

△ABC ? = △A1 B1 C1 ,

??

? △A B C , ?? A B //AB, A B A B , B C = B C , CA = C A (? ? 2, ? ?× ? ?± ° ? ∠BCB = ∠ABC + ∠A B C ). ? ? ABB A ??? ??? ? MN , ? ? ? P. PC ? ?? ω. ? AB <
1 ′ 1 1 ′ 1 1 ′ 1 1 1 ′ ′

AB < A1 B1 .

=

? AB ?? C ?AB ? ? C? P ?? MN ? ? K ? (?? 2 ? ? K ? MN ? ?×? ¤ ? ? ? ? ).
S△ A ′ B ′ C , C
′ ′

A1 B1 = A′ B ′ , S△ABC = S△A1 B1 C1 =

?

? ? AB A B AY AX ?? X Y , ?× XB = ,? YB S =S , ? XK = KY , ∠P KC × ? ? ?× ω ? ?
PK
′ ′ ′ △XBC Y B′ C



26

?2 ??  ?? ? ?? P K × XY ? ? ? CX = CY .

?3 ? ? XC = CZ . △A CZ ? △B CZ , ? ? △A CZ ? = ? △A CY, △B CZ = △B CY ( ?? 3). ? × △A B C ? = △A B C ? = △A B C . AA //BB (?? ? ? AA ? △A B C , ?? ? ? ??). ? XC = CZ, S = = S ,S =S ,? S S , A? A ? XZ ? B ? B ? XZ ? ? AA //XZ//BB , ? ×? ?
Z,
2 ′ 2 2 2 ′ 2 2 ′ ′ 1 1 1 2 2 2 2 2 △ABC △A2 B2 C △ZA2 C △XBC △ZB2 C △XAC 2 2 2 2

?

?

XC

?

C

? ? ?

27


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