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广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理

时间:2013-03-09


广东省华附、省实、深中、广雅四校 2013 届高三上学期期末联考

数学(理)试题
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改

动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。 第一部分选择题(共 40 分) 一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q= A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2}

1-i 2.复数-i+ = 1+i A.-2i 1 B. i 2 C.0 D.2i

3.在正项等比数列{an}中,a1 和 a19 为方程 x2-10x+16=0 的两根,则 a8·10·12 等于 a a A.16 B.32 C.64 D.256 4.若平面 α,β 满足 α⊥β,α∩β=l,P∈α,P ? l,则下列命题中是假命题的为 A.过点 P 垂直于平面 α 的直线平行于平面 β B.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 α 内 C.过点 P 垂直于平面 β 的直线在平面 α 内 D.过点 P 在平面 α 内作垂直于 l 的直线必垂直于平面 β 5.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x) =f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)= A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 6.给出下述四个命题中: ①三角形中至少有一个内角不小于 60° ; ②四面体的三组对棱都是异面直线; ③闭区间[a,b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点;

④当 k>0 时,方程 x2 + ky2 = 1 的曲线是椭圆.其中正确的命题的个数有 A.1 B.2 C.3 D.4 7.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a、b、c∈(0,1)), 2 1 已知他投篮一次得分的均值为 2,则 + 的最小值为 a 3b 32 A. 3 28 B. 3
?

14 C. 3
?lg|x-2|,x ≠ 2

16 D. 3 ,若关于 x 的方程 f 2(x)+bf(x)+c=0

8.定义域为 R 的函数 f(x)= ?

1

,x=2

恰有 5 个不同的实数解 x1, x2, x3, x4, x5,则 f(x1+x2+x3+x4+x5)等于 A.lg2 B.2lg2 C.3lg2 D.4lg2

第二部分非选择题(110 分) 二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分). (一)必做题(9~13 题) : 9. 从 0,1,2,3,4 这 5 个数字中,任取 3 个组成三位数, 奇数的个数是 ***** ; 10. 执行图中的算法后,若输出的 y 值大于 10,则输入 x 的 范围是 ***** ; 11. 已知 e1、e2、e3 为不共面向量,若 a=e1+e2+e3,b=e1 +e3,c=e1+e2-e3,d=e1+2e2+3e3,且 d=xa+yb+zc, y、z 分别为 ***** . 12. 函数 y=(tanx-1)cos2x 的最大值是 ***** . 13.已知正整数对按如下规律排成一列:(1,1),(1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), …, 60 个数对是 ***** . 结束 则第 输出 y y = x+13 是 输入 x 否 x<1 y = x+8 - e2 则 x、 取值 开始 其中

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都选的只计算 14 题的得分.) 14.(坐标系与参数方程)在极坐标中,圆? =4cos? 的圆心 C 到直线 ? + sin(?

?
4

)=2 2 的距离为 ***** .

15. (几何证明选讲) 如图所示, ⊙O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D, CD=4,BD=8,则⊙O 的半径等于***** . 三.解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本题满分 12 分)

已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3,……) ,且 a1 ,a2 ,a3 成公比不为 1 的等比 数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求{an}的通项公式.

17. (本题满分 12 分) → C C 已知△ABC 三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,向量 m = (cos ,sin ), 2 2 → → → C C ? n =(cos ,-sin ),且 m 与 n 的夹角为 . 2 2 3 (Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)已知 c =3,△ABC 的面积 S = ks5u 18. (本题满分 14 分) 某省示范高中为了推进新课程改革, 满足不同层次学生的需求, 决定从高一年级开始, 在每周的周一、 周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同 学可以在规定期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲 座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天 的满座的概率如下表: 信息技术 周一 周三 周五 1 4 1 2 1 3 生物 1 4 1 2 1 3 化学 1 4 1 2 1 3 物理 1 4 1 2 1 3 数学 1 2 2 3 2 3 4 3 ,求 a + b 的值. 3

(Ⅰ) 求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (Ⅱ) 设周三各辅导讲座满座的科目数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.

19. (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 V-ABC 中,VC⊥底面 ABC,AC⊥BC,D 是 AB 的中点,且 AC=BC=a,∠VDC=? (0<? < (Ⅰ)求证:平面 VAB⊥平面 VCD; (Ⅱ)当角? 变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取 值范围. ks5u A 20. (本题满分 14 分) 已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点 D(0, 2 )为圆心,1 为 半径的圆相切,又知双曲线 C 的一个焦点与 D 关于直线 y=x 对称. (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=mx+1 与双曲线 C 的左支交于 A,B 两点,另一直线 l 经过 M(-2,0)及 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围; (Ⅲ)若 Q 是双曲线 C 上的任一点,F1F2 为双曲线 C 的左,右两个焦点,从 F1 引∠F1QF2 的平分线 的垂线,垂足为 N,试求点 N 的轨迹方程. D C B V

?
2

)

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f(x)是在(0,+∞)上每一点处可导的函数,若 xf ?(x) >f(x)在(0,+?)上恒成立. f(x) (Ⅰ)求证:函数 g(x)= 在(0,+∞)上单调递增; x (Ⅱ)当 x1>0,x2>0 时,证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2); (Ⅲ)已知不等式 ln(1+x)<x 在 x>-1 且 x≠0 时恒成立,证明: 1 1 n 2 1 2 1 2 2 (n ? N+). 2 ln2 + 2 ln3 + 2 ln4 +…+ 2 ln(n+1) > 2 3 4 (n+1) 2(n+1)(n+2)

2013 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学答案 一、选择题:

题号 答案

1 B

2 A

3 C

4 B

5 D

6 C

7 D

8 C

1.解: P∩Q={0}知, 由 0?P 且 0?Q. 由 0?P, l g 得o 选 B. 1-i 2.解:-i+ =-i-i=-2i.选 A. ks5u 1+i

2

a =0 ? a=1;由 0?Q 得 b=0.故 P∪Q={3,0,1}.

3.解:由已知有 a1·19=16,又 a1·19=a102,∴在正项等比数列中,a10=4. a a ∴a8·10·12=a103=64.选 C. a a 4.解:对于 A,由于过点 P 垂直于平面 α 的直线必平行于平面 β 内垂直于交线的直线,因此平行于平 面 β,因此 A 正确.根据面面垂直的性质定理知,选项 C、D 正确. 选 B. 5.解:由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当 f(x)是偶函数时,其导函数应为奇 函数,故 g(-x)=-g(x).选 D. 6.解:当 k=1 时,曲线是圆,故 D 错误.其余三个命题都是正确的.选 C. 2 7.解:由已知得,3a+2b+0× c=2,即 3a+2b=2,其中 0<a< ,0<b<1. 3 2 1 3a+2b?2 1 ? 1 2b a 10 + =3+ + + ≥ +2 又 + = a 3b 2 ?a 3b? 3 a 2b 3 2b a 16 · = , a 2b 3

2b a 1 1 2 1 16 当且仅当 = ,即 a=2b 时取“等号”,又 3a+2b=2,即当 a= ,b= 时, + 的最小值为 , a 2b 2 4 a 3b 3 故选 D. 8.解:因方程方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰有 5 个不同的实数解,故 x=2 应是其中的一个根,又 f(2) =1, 1+b+c=0?c=-(b+1),于是有,f 2 ( x) ? bf ( x) ? (1 ? b) ? 0 ?[ f (x)-1][ f (x)+ 故 (1+b) ? [lg|x ]=0 - 2|
1?b



1][lg|x
1?b



2|+



1+b



]=0

?











8



12



?1? ? ? ? 10 ?

?1? ? 2,?? ? ? 10 ?

? 2 ? f ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) =f(10)=3lg2,选 C.

二、填空题: 9.答案:18 解:从 1,3 中取一个排个位,故排个位有 A2 种方法;排百位不能是 0,可以从另外 3 个数中取一个,
1 1 1 1 有 A3 种方法;排十位有 A3 种方法。故所求奇数个数有 A3 × A3 × A2 =18 个.
1 1

10.答案: (-3,1)∪(2,+?) 解:由题 y= ?
? x+8 , x≥1 ? x+13 ,x<1

,因此 ?

? x≥1 ? x+8>10

或 ?

? x<1 ? x+13>10

解之得:x>2 或-3<x<1,所以解集为(-3,1)∪(2,+?). 5 1 11.答案: ,- ,-1 2 2 解:由 d=xa+yb+zc 得 e1+2e2+3e3=(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x+y-z)e3,

?x+y+z=1,
∴ x-y+z=2, ?

?

?x+y-z=3, ?

?x=2, ? 1 解得:? y=- , ? 2 ?z=-1.
5

5 1 故 x、y、z 分别为 ,- ,-1. 2 2

12. 答案:

2 -1 , ks5u 2 1 1 (sin2x-cos2x )- = 2 2 2 1 3 ? ? sin(2x- )- ,x ≠ k? + .当 x = k? + ? (k 2 4 2 2 8

解:y =sinx cosx-cos2x =

? Z)时,ymax= 13. 答案:(5,7),

2 ?1 . 2

10× 11 解: 按规律分组: 第一组(1,1); 第二组(1,2), (2,1); 第三组(1,3), (2,2), (3,1); ……则前 10 组共有 2 =55 个有序实数对. 第 60 项应在第 11 组中,即(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,(11,1)中的第 5 个,因此第 60 项 为(5,7).

14.答案:

2

解:在直角坐标系中,圆:x2+y2=4x,圆心 C(2,0),直线:x+y=4,所以,所求为 2 .

15.答案:5 解:由题:△ACD∽△CDB,得 CD =AD·BD,所以 AD=2,AB=10 ? r=5.
2

三.解答题: 16.解: (I)a1=2, a2=2+c,a3=2+3c,因为 a1,a2,a3 成等比数列, 所以(2+c)2=2(2+3c),解得 c=0 或 c=2. 当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故 c=2. (II)当 n≥2 时,由于 a2-a1=2,

a3-a2=2×2,

??
an-an-1=2(n-1), 以上 n-1 个式叠加,得 an-a1=2[1+2+…+(n-1)]=n(n-1). ? an=2+ n(n-1)=n2-n+2 (n=2,3,……). 当 n=1 时,上式也成立,故 an=n2-n+2 (n=1,2,3,…) → → →→ ? → → 17. 解: (Ⅰ)∵ m · =| m || n |· n cos , | m |=| n |=1. 3 C C C C ? ∴cos cos +sin (-sin )=cos 2 2 2 2 3 又∵C ? (0, ? ) ∴ C= (Ⅱ)由 c2=a2+b2-2abcosC 即 cosC= cos

?
3

,

?
3

. 得 a2+b2-ab=9………………①

1 16 由 S△= absinC 得 ab= ………………② 2 3 由①②得(a+b)2=a2+b2+2ab=9+3ab=25 ? a 、 b ? R ∴ a+b=5.
?

18. 解: (Ⅰ)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A, 1 2 2 1 则 P(A)=?1-2??1-3??1-3?= . ? ?? ?? ? 18 (Ⅱ)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5. 1 ? 2 1 P(ξ=0)=?1-2?4× 1-3?= ; ? ? ? ? 48 1 2 1 1 ? 1 ? 2 P(ξ=1)=C1× × 1-2?3× 1-3?+?1-2?4× = ; 4 ? ? ? ? ? 3 8 2 ? 1 ? 1 2 7 ?1 ? 1 ? 2 P(ξ=2)=C2× 2?2× 1-2?2× 1-3?+C1× × 1-2?3× = ; 4 ? ? ? ? ? ? 4 2 ? ? 3 24

?1 ? 1 ? 2 ?1 ? 1 2 1 P(ξ=3)=C3× 2?3× 1-2?× 1-3?+C2× 2?2× 1-2?2× = ; 4 ? ? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 3 3
1 ? 2 ?1 ? 1 2 3 P(ξ=4)=?2?4× 1-3?+C3× 2?3× 1-2?× = ; ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 3 16 1 2 1 P(ξ=5)=?2?4× = . ? ? 3 24 所以,随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P 0 1 48 1 1 8 2 7 24 3 1 3 4 3 16 5 1 24

1 1 7 1 3 1 8 故 E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× +5× = . 48 8 24 3 16 24 3 19. 解法 1: )∵ (Ⅰ AC=BC=a,

∴ △ACB 是等腰三角形, 又 D 是 AB 的中点, ∴ CD⊥AB,又 VC⊥底面 ABC. ∴ VC⊥AB.因 VC,CD ? 平面 VCD, ∴AB⊥平面 VCD.又 AB ?平面 VAB,
C D A V

∴ 平面 VAB⊥平面 VCD.
(Ⅱ 过点 C 在平面 VCD 内作 CH⊥VD 于 H, ) 则由(Ⅰ )知 CH⊥平面 VAB. 连接 BH,BH 是 CB 在平面 VAB 上的射影,于是 ∠CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角. Rt△CHD 中, 在 CH= asin?; 设∠CBH=?,在 Rt△BHC 中,CH=asin?, ∴ 2 sin?= sin? , ∵ 2 0<? < 2 . 2 . A ,ks5u 2 2

B

V

H C D B

?
2

∴ 0<sin? <1,0<sin? < 又 0≤? ≤

?
2

,∴ 0<? <

?
4

即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为(0,

?
4

).

解法 2: )以 CA, CB, CV 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, (Ⅰ 则 a a 2 C(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), D( , ,0),V(0,0, atan? ), 2 2 2 → a a → a a → 2 于是, VD =( , ,- atan?), CD =( , ,0), AB =(-a,a,0). 2 2 2 2 2 →→ → → a a 1 1 从而 AB · CD =(-a,a,0)·( , ,0)=- a2+ a2+0=0,即 AB ⊥ CD , 2 2 2 2 ∴ AB⊥CD. →→ → → a a 2 1 1 同理 AB · VD =(-a,a,0)·( , ,- atan?)=- a2+ a2+0=0,即 AB ⊥ VD , 2 2 2 2 2 ∴AB⊥VD.又 CD∩VD=D,AB⊥平面 VCD.又 AB ?平面 VAB.

∴ 平面 VAB⊥平面 VCD.

(Ⅱ )设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为? ,平面 VAB 的一个法向量为 n=(x, y, z), → → 则由 n· AB =0, n· VD =0.

? -ax+ay=0 ? 得 ? a a 2 ? ? 2 x+2 y- 2 aztan?=0
可取 n=(1,1, 2 tan? → ),又 BC =(0,-a,0), a 2 2+ 2 tan ? 2 sin? 2

z V

→ n· BC 于是 sin? =| |= → | n |·BC | a· |

=



C B D A y

2 ∵ 0<? < ,∴ 0<sin? <1,0<sin? < . 2 2 又 0≤? ≤

?

?
2

,0<? <

?
4

x



即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为(0,

?
4

).

20. 解: (Ⅰ)设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx,则 kx-y=0 |- 2 | ∵该直线与圆 x2+(y- 2 )2=1 相切,有 = 1 ? k =±1. k2 + 1 ∴双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=±x, 故设双曲线 C 的方程为 易求得双曲线 C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a2=2,a2=1. ∴双曲线 C 的方程为 x2-y2=1. (Ⅱ)由 ?
? y=mx+1 ? x -y =1
2 2

x2 y2 - =1 . a2 a2

得(1-m2)x2-2mx-2=0.

令 f(x)= (1-m2)x2-2mx-2 直线与双曲线左支交于两点,等价于方程 f(x)=0 在(-?,0)上有两个不等实根.

? △>0 ? 2m <0 因此 ?1-m -2 ?1-m >0 ?
2 2

解得 1<m< 2 .

m 1 又 AB 中点为( , ),ks5u 1-m2 1-m2 ∴直线 l 的方程为 y= 1 (x+2). -2m2+m+2 2 . 1 17 -2(m- )2+ 4 8

2 令 x=0,得 b= = -2m2+m+2

1 17 ∵1<m< 2 ,∴-2(m- )2+ ? (-2+ 2 , 1), 4 8 ∴b ? (-?,-2- 2 )∪(2,+?). (Ⅲ)若 Q 在双曲线的右支上,则延长 QF2 到 T,使 | QT |?| QF | , 1 若 Q 在双曲线的左支上,则在 QF2 上取一点 T,使| QT |=|QF1 |. 根据双曲线的定义| TF2 |=2,所以点 T 在以 F2( 2 ,0)为圆心,2 为半径的圆上,即点 T 的轨迹方 程是 (x- 2 )2+y2=4 (x ≠ 0) ① 由于点 N 是线段 F1T 的中点,设 N(x,y),T(xT,yT).

? x=x -2 则 ? y ? y= 2
T T

2
? x =2x+ 2 ,即 ? T ? yT= 2y



代入①并整理得点 N 的轨迹方程为 x2+y2=1.(x ≠ -

2 ) 2

1 (或者用几何意义得到| NO |= | F2T |=1, 得点 N 的轨迹方程为 x2+y2=1.……) 2

f '( x) ? x ? f ( x) f(x) 21. 证明: (1)由 g(x)= ,对 g(x)求导知 g’(x)= x x2
由 xf ?(x) >f(x)可知: g ?(x ) >0 在(0,+?)上恒成立. 从而 g(x)= f(x) 在(0,+?)上是单调增函数. x f(x) 在(0,+?)上是单调增函数, x

(2)由(1)知 g(x)=

f(x1+x2) f(x1) f(x1+x2) f(x2) 当 x1>0,x2>0 时, > , > , x1+x2 x1 x1+x2 x2 x1 x2 于是 f(x1)< f(x1+x2), f(x2)< f(x1+x2), x1+x2 x1+x2 两式相加得到:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2) (3)由(2)可知:g(x)= (x1>0,x2>0)恒成立 由数学归纳法易证:当 xi>0(i=1,2,3,…,n)时, 有 f(x1)+f(x2)+f(x3)+… +f(xn)<f(x1+x2+x3+…+xn) (n≥2)恒成立. 构造 f(x)=xlnx,知 xf ?(x) -f(x)=x(lnx+1)-xlnx=x>0 符合条件, 则当 xi>0(i=1,2,3,…,n)时 有 x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn<(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)(n≥2) (*)恒成立. f(x) 在(0,+?)上是单调增函数, f(x1+x2)> f(x1)+f(x2) x

1 1 1 1 令 xn= 2 ,记 Sn=x1+x2+…+xn= 2 + 2 +…+ 2 , (n+1) 2 3 (n+1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则 Sn< + +…+ =(1- )+( - )+…+( - )=1- , n 1·2 2·3 n(n+1) 2 2 3 n+1 n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn> + …+ =( - )+( - )+…+( - )= - 2·3 3·4 (n+1)(n+2) 2 3 3 4 n+1 n+2 2 n+2 1 (x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1) n+1 1 <- ( x1+x2+…+xn) (∵ln(1+x)<x) ks5u n+1 1 1 1 n <- ( - )=- n+1 2 n+2 2(n+1)(n+2) 由(**)及(*)可知:ks5u 1 1 1 1 1 1 n . 2 ln 2 + 2 ln 2 +…+ 2 ln 2 <2 2 3 3 (n+1) (n+1) 2(n+1)(n+2) 1 1 n 2 1 2 1 2 2 于是 2 ln2 + 2 ln3 + 2 ln4 +…+ . 2 ln(n+1) > 2 3 4 (n+1) 2(n+1)(n+2) (**)


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