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学案4(不等式、恒成立问题)


不等式、恒成立问题

3 f ? x ? ? ax3 ? x 2 ? 1 ? x ? R ? 2 1.(2011 天津)已知函数 ,其中 a ? 0 .
(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线

y ? f ? x?

在点

? 2, f ? 2 ? ? 处的切线方程;

?

1 1? ?? , ? f ? x? ? 0 (Ⅱ)若在区间 ? 2 2 ? 上, 恒成立,求 a 的取值范围.

3 f ? x ? ? x3 ? x 2 ? 1 f ? 2 ? ? 3 f ? ? x ? ? 3 x 2 ? 3 x f ? ? 2 ? ? 6 2 1.(Ⅰ)当 a ? 1 时, , . , .
所以曲线 (Ⅱ)

y ? f ? x?

在点

? 2, f ? 2 ? ? 处的切线方程为 y ? 3 ? 6 ? x ? 2 ? ,即 y ? 6x ? 9 .


f ? ? x ? ? 3ax 2 ? 3x ? 3x ? ax ? 1?



f ?? x? ? 0

,解得 x ? 0 或

x?

? 1 1? 1 ?? , ? a .针对区间 ? 2 2 ? ,需分两种情况讨论:

1 1 ? (1) 若 0 ? a ? 2 ,则 a 2 .
当 x 变化时,

f ?? x?, f ? x?

的变化情况如下表:

x

? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?

0

? 1? ? 0, ? ? 2?
?


f ?? x? f ? x?

?


0
极大值

所以 价于

f ? x?

? 1 1? ? 1 1? ? , ? ? ?? , ? f ? x? ? 0 在区间 ? 2 2 ? 上的最小值在区间的端点得到.因此在区间 ? 2 2 ? 上, 恒成立,等

1

? ? 1? ? f ? ? 2 ? ? 0, ? ? ? ? ? f ? 1 ? ? 0, ? ? ? ? ?2?

?5 ? a ? 0, ? ? 8 ? ? 5 ? a ? 0, ? 即? 8 解得 ?5 ? a ? 5 ,又因为 0 ? a ? 2 ,所以 0 ? a ? 2 .

(2) 若 a ? 2 ,则 当 x 变化时,

0?

1 1 ? a 2.
的变化情况如下表:

f ?? x?, f ? x?

x

? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?

0

? 1? ? 0, ? ? a?
?


1 a

?1 1? ? , ? ?a 2?

f ?? x? f ? x?

?


0
极大值

0
极小值

?


? 1 1? 1 ? , ? x? ? f ? x? a 处得到. 所以 在区间 ? 2 2 ? 上的最小值在区间的端点或
? ? 1? ? f ? ? 2 ? ? 0, ? ? ? ? ? f ? 1 ? ? 0, ? ? ? ? ?a?

? 1 1? ?? , ? f ? x? ? 0 因此在区间 ? 2 2 ? 上, 恒成立,等价于

? 5?a ? 0, ? ? 8 ? ?1 ? 1 ? 0, ? 2a 2 即?

2 2 ?a?5 a?? 2 ,又因为 a ? 2 ,所以 2 ? a ? 5 . 解得 2 或
综合(1),(2), a 的取值范围为 0 ? a ? 5 . 2.(2010 大纲全国)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 .

(Ⅰ)若 xf '( x) ? x ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围;
2

(Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

2

2.(Ⅰ) f ?( x) ?

x ?1 1 x ) ?x 2 ? ax ? 1 等价于 ln x ? x ? a . ? ln x ? 1 ? ln x ? , xf ?( x) ? x ln x ? 1,而 xf ?( x x
1 ? 1 .当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? 1时, g ?( x) ? 0 , x ? 1 是 g ( x) 的 x

令 g ( x) ? ln x ? x ,则 g ?( x) ?

最大值点, g ( x) ? g (1) ? ?1 .综上, a 的取值范围是 ? ?1, ?? ? .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x) ? g (1) ? ?1 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 .当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1

? x ln x ? (ln x ? x ? 1) ? 0 ;当 x ? 1时, f ( x) ? ln x ? ( x ln x ? x ? 1) ? ln x ? x(ln x ?

1 ? 1) x

1 1 ? ln x ? x(ln ? ? 1) ? 0 ,? ( x ? 1) f ( x) ? 0 . x x
3.(2010 新课标)设函数 f ( x) ? e ? 1 ? x ? ax .
x 2

(1)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间;

(2)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

3. (1) 若 a ? 0 ,f ( x) ? e ? 1 ? x ,f '( x) ? e ? 1 .当 x ? (??, 0) 时,f '( x) ? 0 ; 当 x ?0 ( , ? ? )
x x

时,f '( x) ? 0 .

故 f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增.

(2)f '( x) ? e ? 1 ? 2ax , 由 (I) 知 e ? 1? x , 当且仅当 x ? 0 时等号成立.故 f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
x

x

从而当 1 ? 2a ? 0 , 即a ?

1 时,f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 而 f (0) ? 0 , 于是当 x ? 0 2 1 x ?x 时, f '( x) ? e ? 1 ? 2a(e ? 1) 2

时, f ( x) ? 0 .由 e ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e
x

?x

? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?
3

故当 x ? (0,ln 2a) 时, f '( x) ? 0 , 而 f( 于是当 x ? (0,ln 2a) 时, f ( x) ? 0 , ? e? x (e x ? 1)(e x ? 2a) , 0 ) ? 0 ,

不合题意.

综合得 a 的取值范围为 ( ??, ] .

1 2

4. 设函数 f ( x) ? ln ?1 ? x ? ?

x . ax ? 1

(Ⅰ)若 f ( x) 在区间 ? 0, ?? ? 上是增函数,求 a 的取值范围;

(Ⅱ)证明:

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ln ? n ? 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? n ? 1? . 2 3 n ?1 2 3 n
a 2 x 2 ? (2a ? 1) x 1 , 易知, 当 2a ?1 ? 0 , 即 a ? 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在区间 [0, ??) 2 ( x ? 1)(ax ? 1) 2

4. 解: (Ⅰ) f '( x) ?

上是增函数. 当 a ? 0 时, f '( x) ?

?x 1 ? 0 , f ( x) 在区间 [0, ??) 上是减函数. 当a ? 且a ? 0 2 ( x ? 1)( ax ? 1) 2

时, ?

2a ? 1 2a ? 1 ? 0 ,在区间 [0, ? 2 ] 上 f '( x) ? 0 , f ( x) 在区间 [0, ??) 上不是增函数. 2 a a 1 2

所以, a 的取值范围为 [ , ??) .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x 在区间 [0, ??) 上是减函数,所以,当 x ? 0 时,

1 1 1 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 ln(1 ? x) ? x .分别令 x ? 1, , , ???, ,再把这 n 个不等式左、右相加,即得: 2 3 n 1 1 1 x 在区间 [0, ??) 上是增函数. ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ??? ? .由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? 2 3 n x ?1
4

所以 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 ln(1 ? x) ?

x 1 1 1 ,分别令 x ? 1, , , ???, ,再把这 n 个不等式左、右相加,整 x ?1 2 3 n

理得: ln(n ? 1) ?

1 1 1 1 . ? ? ? ??? ? 2 3 4 n ?1

综上,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ??? ? ( n ? 1). 2 3 4 n ?1 2 3 n

5.(2011 山东理)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形,

左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为

80? 立方米,且 l ? 2r .假设该容器的建造费用仅与其 3

表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 c ( c ? 3 )千

元.设该容器的建造费用为 y 千元.

(Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域;

(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

5.(Ⅰ)由题意可知 ? r l ?
2

4? 3 80 80 4 r ? ? (l ≥ 2r ) ,即 l ? 2 ? r ≥ 2r ,则 0 ? r ≤ 2 . 3 3 3r 3

容器的建造费用为 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r ? c ? 6? r (
2

80 4 ? r ) ? 4? r 2c , 2 3r 3

即y?

160? ? 8? r 2 ? 4? r 2c ,定义域为 {r 0 ? r ≤ 2} . r
20 160? . ? 16? r ? 8? rc ,令 y? ? 0 ,得 r ? 3 2 c?2 r

(Ⅱ) y? ? ?

5

令r ?

3

20 ? 2, 即 c ? 4.5 . c?2

(1)当 3 ? c ≤ 4.5 时, 3

20 ≥ 2, 当 0 ? r ≤ 2 , y? ? 0 ,函数 y 为减函数,当 r ? 2 时, y 有最小值; c?2

(2)当 c ? 4.5 时, 3

20 20 20 ? 2, 当 0 ? r ? 3 ? r ? 2 时, y? ? 0 , , y? ? 0 ;当 3 c?2 c?2 c?2

此时当 r ?

3

20 时 y 有最小值,容器的建造费用最小. c?2
x

6.(2012 新课标文)设函数 f ? x ? ? e ? ax ? 2 . (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 1 , k 为整数,且当 x ? 0 时, ? x ? k ? f ? ? x ? ? x ? 1 ? 0 ,求 k 的最大值.

6


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