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2017年高考数学(理科)总复习三年真题两年模拟精选考点分项-6.基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数)

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第二章

函数导数及其应用

6.基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数)

1.(2016· 全国Ⅰ)若 a>b>0,0<c<1,则( A.logac<logbc C.ac<bc

) B.logca<logcb D.ca>cb

5 2.(2016· 浙江)已知 a>b>1.若 loga b+logb a=2,ab=ba,则 a=________,b= ________.

考点 1

指数、对数的运算 )

1.(2014· 四川)已知 b>0, log5b=a, lgb=c, 5d=10, 则下列等式一定成立的是( A.d=ac C.c=ad B.a=cd D.d=a+c

2.(2015· 浙江)若 a=log43,则 2a+2-a=________. 5 ?1?-1 3.(2015· 安徽)lg2+2lg 2-?2? =________. ? ? 3 - 16 5 4 ? ? 4.(2014· 安徽)?81? 4+log34+log35=________. ? ? 5.(2014· 陕西)已知 4a=2,lg x=a,则 x=________. 考点 2 基本函数的图象的应用

6.(2014· 山东)已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图象如图, 则下列结论成立的是( )

A.a>1,c>1

B.a>1,0<c<1

C.0<a<1,c>1

D.0<a<1,0<c<1

7.(2014· 浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图象可能是 ( )

8.(2015· 四川)已知函数 f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中 a∈R).对于不相等的实数 x1, x2,设 m= f(x1)-f(x2) g(x1)-g(x2) ,n= , x1-x2 x1-x2

现有如下命题: ①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n. 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号). 考点 3 基本函数的性质的应用

9.(2015· 四川)设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3” 的( ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充要条件 C.必要不充分条件

10.(2015· 天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函数,记 a= f(log0.53),b=(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c C.c<a<b B.a<c<b D.c<b<a )

1 ?a+b? ?,r= (f(a)+f(b)), 11.(2015· 陕西)设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p=f( ab),q=f? 2 ? 2 ? 则下列关系式中正确的是( A.q=r<p C.p=r<q ) B.q=r>p D.p=r>q

?3x-1,x<1, 12.(2015· 山东)设函数 f(x)=? x 则满足 f(f(a))=2f(a)的 a 取值范围是 2 , x ≥ 1 , ? ( ) B.[0,1] D.[1, +∞) ) ?2 ? A.?3,1? ? ? ?2 ? C.?3,+∞? ? ?

13.(2014· 江西)已知函数 f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若 f[g(1)]=1,则 a=( A.1 B.2 C.3 ) D.-1

1 1 1 14.(2014· 辽宁)已知 a=2-3,b=log23,c=log13,则(
2

A.a>b>c C.c>a>b
2

B.a>c>b D.c>b>a )

15.(2014· 天津)函数 f(x)=log1(x2-4)的单调递增区间为( A.(0,+∞) C.(2,+∞)
2

B.(-∞,0) D.(-∞,-2)
-2

16.(2014· 天津)设 a=log2 π ,b=log1π ,c=π A.a>b>c B.b>a>c

,则(

) D.c>b>a )

C.a>c>b

17.(2014· 山东)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A. 1 1 > 2 x +1 y +1
2

B.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.x3>y3

C.sin x>sin y

18.(2015· 福建)若函数 f(x)=2|x-a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(x)在[m,+∞) 上单调递增,则实数 m 的最小值等于________. 19.(2014· 天津)函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间是________.

1.(2016· 湖北孝感模拟)已知集合 A={x|y=lg(5-x)}, B={y|y=lg(5-x)}, 则 A∩B =( A.? ) B.R C.(-∞,5) D.[0,5]

2.(2015· 福建五校模拟)若 a=log2 3,b=log3 2,c=log4 6,则下列结论正确的是 ( ) B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a A.b<a<c

?log2x,x>0, ? ?1?? 3.(2016· 陕西西安一模)已知函数 f(x)=? x 则 f?f?4??的值是________. ? ? ?? ?3 +1,x≤0, 1? ? 4.(2016· 湖北孝感模拟)已知点?a,2?在幂函数 f(x)=(a-1)xb 的图象上, 则函数 f(x) ? ? 是( )

A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 1?x ?? ?2? (x≤0), 5.(2015· 安徽合肥模拟)已知函数 f(x)=?? ? 则 f(2 015)= ?f(x-4)(x>0), ________. 6.(2016· 广东汕尾模拟)函数 f(x)=32x-a· 3x+2,若 x>0 时 f(x)>0 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 7.(2015· 山东青岛模拟)已知函数 f(x)=e|ln x|, 则函数 y=f(x+1)的大致图象为( )

1 ?1?x 8.(2015· 安徽淮南模拟)设函数 y=x3与 y=?2? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在 ? ? 的区间是( )

?1 ? A.?2,1? ? ?

?1 1? B.?3,2? ? ?

?1 1? C.?4,3? ? ?

1? ? D.?0,4? ? ?

?1 2? 9.(2015· 广东湛江模拟)已知幂函数 f(x)的图象经过点? , ?,P(x1,y1),Q(x2, 8 4 ? ? y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论: ①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x2)<x2f(x1);③ 其中正确结论的序号是( A.①② B.①③ ) C.②④ D.②③ f(x1) f(x2) f(x1) f(x2) > ;④ x1 x2 x1 < x2

?π π ? 10.(2015· 浙江协作体模拟)?α ∈? , ?, x=(sin α )logπ cos α , y=(cos α )log 2? ?4
π

sin α ,则 x 与 y 的大小关系为( B.x<y

) C.x=y D.不确定

A.x>y

11.(2015· 浙江绍兴模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞) 单调递增.若实数 a 满足 f(log2 a)+f(log1 a)≤2f(1),则 a 的最小值是(
2

)

3 A.2

B.1

1 C.2

D.2

12.(2016· 河南豫南九校联考)当|a|≤1,|x|≤1 时,关于 x 的不等式|x2-ax-a2|≤m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ?3 ? A.?4,+∞? ? ? ?3 ? C.?2,+∞? ? ? ) ?5 ? B.?4,+∞? ? ? ?5 ? D.?2,+∞? ? ?

13.(2016· 河南郑州模拟)已知定义在 R 上的奇函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对 1 称,当-1≤x<0 时,f(x)=-log1(-x),则方程 f(x)-2=0 在(0,6)内的零点之和
2

为( A.8

) B.10 C.12 D.16

2x-1 14.(2015· 辽宁沈阳模拟)已知函数 f(x)= x ,则不等式 f(x-2)+f(x2-4)<0 的解 2 +1 集为( ) B.(-6,1) C.(-2,3) D.(-3,2)

A.(-1,6)

?1?x 15.(2015· 福建漳州模拟)已知函数 f(x)=?3? -log2 x,0<a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,实 ? ? 数 d 是函数 f(x)的一个零点.给出下列四个判断:①d<a;②d>b;③d<c;④d>c. 其中可能成立的是________(填序号). 16.(2015· 河北邯郸模拟)设函数 f(x)=
2 ?x -6x+6,x≥0, ? 若互不相等的实数 x1,x2,x3 满足 f(x1)=f(x2)=f(x3),则 x1+ ?3x+4,x<0,

x2+x3 的取值范围是( ?20 26? A.? 3 , 3 ? ? ?

) ?11 ? C.? 3 ,6? ? ? ?11 ? D.? 3 ,6? ? ?

?20 26? B.? 3 , 3 ? ? ?

17.(2015· 黑龙江模拟)如果对定义在 R 上的函数 f(x), 对任意两个不相等的实数 x1, x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则称函数 f(x)为“H 函数”. ?ln|x|,x≠0, 给出下列函数①y=ex+x;②y=x2;③y=3x-sin x;④f(x)=? ?0,x=0. 以上函数是“H 函数”的所有序号为________. 18.(2015· 河北邯郸模拟)已知 g(x)是 R 上的奇函数,当 x<0 时,g(x)=-ln(1-x),
3 ?x (x≤0), 函数 f(x)=? 若 f(2-x2)>f(x),则实数 x 的取值范围是( ?g(x) (x>0),

)

A.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(1,2)

B.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-2,1)

19.(2016· 河北名校模拟)已知 a>0 且 a≠1,若函数 f(x)=loga[ax2-(2-a)x+3]在 ?1 ? ?3,2?上是增函数,则 a 的取值范围是________. ? ? → ·ON → =0, 20.(2015· 山东济宁模拟)对于图象上的任意点 M,存在点 N,使得OM 则称图象为“优美图象”.下列函数的图象为“优美图象”的是( A.y=2x+1 2 C.y=x B.y=log3(x-2) D.y=cos x )

?(1-2a)x+3a,x<1, 21.(2015· 河北唐山模拟)已知 f(x)=? 的值域为 R,那么 a ?ln x,x≥1. 的取值范围是( )

A.(-∞,-1] 1? ? C.?-1,2? ? ?

1? ? B.?-1,2? ? ? 1? ? D.?0,2? ? ?

22.(2015· 浙江湖州模拟)已知函数 f(x)=m· 9x-3x, 若存在非零实数 x0, 使得 f(-x0) =f(x0)成立,则实数 m 的取值范围是( 1 A.m≥2 C.0<m<2 ) 1 B.0<m<2 D.m≥2

23.(2015· 北京昌平模拟)已知函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),有如下结论: ①?x∈(-1,1),有 f(-x)=f(x);②?x∈(-1,1),有 f(-x)=-f(x);③?x1,x2 ∈(-1, 1), 有 f(x1)-f(x2) ?x1+x2? f(x1)+f(x2) ?≤ >0; ④?x1, x2∈(0, 1), 有 f? 2 x1-x2 ? 2 ?

其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号). 24.(2015· 安徽淮南模拟)对于函数 f(x),g(x)和区间 D,如果存在 x0∈D,使得|f(x0) -g(x0)|≤1,则称 x0 是函数 f(x)与 g(x)在区间 D 上的“相互接近点”.现给出四对 函数: ①f(x)=x2,g(x)=2x-2;②f(x)= x,g(x)=x+2;③f(x)=ln x,g(x)=x;④f(x) 1 =e-x+1,g(x)=- x. 则在区间(0,+∞)上存在唯一“相互接近点”的是( A.①③ B.③④ C.①④ ) D.②④

25.(2016· 天一大联考)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)满足 f(x)+f(2-x)=0,且当 x∈[-1,0)时,f(x)=- 1-x2,函数 g(x)为偶函数,且当 x≥0 时,g(x)= x, 则方程 g(x)-f(x)=1 在区间[-3,3]上的解的个数为( A.2 B.3 C.4 ) D.6

26.(2015· 浙江湖州模拟)已知二次函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R). (1)若 f(-1)=f(2),且不等式 x≤f(x)≤2|x-1|+1 对 x∈[0,2]恒成立,求函数 f(x) 的解析式; (2)若 c<0,且函数 f(x)在[-1,1]上有两个零点,求 2b+c 的取值范围.

t 27.(2015· 广东惠州模拟)已知函数 f(x)=x+x(x>0),过点 P(1,0)作曲线 y=f(x)的 两条切线 PM,PN,切点分别为 M,N. (1)当 t=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)设 g(t)=|MN|,求函数 g(t)的表达式; 64? ? (3)在(2)的条件下,若对任意的正整数 n,在区间?2,n+ n ?内,总存在 m+1 个 ? ? 数 a1,a2,?,am,am+1,使得不等式 g(a1)+g(a2)+?+g(am)<g(am+1)成立,求 m 的最大值.

参考答案
【三年高考真题演练】 [2016 年高考真题] lg c lg c 1.B [对 A:logac=lg a,logbc=lg b,∵0<c<1,∴lg c<0,而 a>b>0,所以 lg a>lg b,但不能确定 lg a、lg b 的正负,所以它们的大小不能确定,所以 A 错;对于 B: lg a lg b 1 logca=lg c ,logcb= lg c ,而 lg a>lg b,两边同乘以一个负数lg c改变不等号方向, 所以选项 B 正确;对 C:由 y=xc 在第一象限内是增函数,即可得到 ac>bc,所以 C 错;对 D:由 y=cx 在 R 上为减函数,得 ca<cb,所以 D 错.故选 B.] 2.4 2 1 5 [设 logba=t,则 t>1,因为 t+ t =2,解得 t=2,

所以 a=b2①,因此 ab=ba?a2b=ab2②, 联立①②结合 b>1,解得 b=2,a=4.] [两年经典高考真题] 1.B [由已知得 5a=b,10c=b,∴5a=10c, ∵5d=10,∴5dc=10c,

则 5dc=5a,∴dc=a,故选 B.] 4 2.3 3.-1 3 3 3 4 [2a+2-a=2log43+2-log43=2log 2 3+2log2 3 = 3+ 3 =3 3.]

5 5 ?1?-1 ?5 ? [lg 2+2lg 2-?2? =lg 2+lg 22-2=lg ?2×4?-2=1-2=-1.] ? ? ? ?

27 27 27 4. 8 [原式= 8 +log3 1= 8 .] 5. 10 1 1 [∵4a=22a=2,∴a=2.∵lg x=2,∴x= 10.]

6.D [由对数函数的性质得 0<a<1,因为函数 y=loga(x+c)的图象在 c>0 时是 由函数 y=logax 的图象向左平移 c 个单位得到的,所以根据题中图象可知 0<c< 1.] 7.D [当 a>1 时,函数 f(x)=xa(x>0)单调递增,函数 g(x)=logax 单调递增,且过 点(1,0),由幂函数的图象性质可知 C 错;当 0<a<1 时,函数 f(x)=xa(x>0)单调 递增,函数 g(x)=logax 单调递减,且过点(1,0),排除 A,因此选 D.] 8.①④ [设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x1,g(x1)),D(x2,g(x2)), 对于①从 y=2x 的图象可看出,m=kAB>0 恒成立,故正确; 对于②直线 CD 的斜率可为负,即 n<0,故不正确; 对于③由 m=n 得 f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2), 即 f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2), 令 h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax, 则 h′(x)=2x·ln 2-2x-a,由 h′(x)=0,∴2x·ln 2=2x+a,(*)结合图象知,当 a 很小时,方程(*)无解,∴函数 h(x)不一定有极值点,就不一定存在 x1,x2 使 f(x1) -g(x1)=f(x2)-g(x2),不一定存在 x1,x2 使得 m=n; 对于④由 m=-n,得 f(x1)-f(x2)=g(x2)-g(x1), 即 f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2), 令 F(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax,则 F′(x)=2xln 2+2x+a, 由 F′(x)=0,得 2xln 2=-2x-a, 结合如图所示图象可知,该方程有解, 即 F(x)必有极值点,∴存在 x1,x2 使 F(x1)=F(x2),使 m=-n. 故①④正确.]

9.B [若 3a>3b>3,则 a>b>1,从而有 loga3<logb3 成立;若 loga3<logb3,不 1 一定有 a>b>1,比如 a=3,b=3,选 B.] 10.C [因为函数 f(x)=2|x-m|-1 为偶函数可知,m=0,

所以 f(x)=2|x|-1,当 x>0 时,f(x)为增函数, log0.53=-log23, ∴log25>|-log0.53|>0, ∴b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m),故选 C.] 11.C [∵0<a<b,

a+b ∴ 2 > ab, ?a+b? ?>f( ab), 又∵f(x)=ln x 在(0,+∞)上为增函数,故 f? ? 2 ? 即 q>p. 1 1 又 r=2(f(a)+f(b))=2(ln a+ln b) 1 1 1 =2ln a+2ln b=ln(ab)2 =f( ab)=p. 故 p=r<q.选 C.] 12.C [当 a=2 时,f(a)=f(2)=22=4>1,f(f(a))=2f(a),

2 2 ?2? ∴a=2 满足题意,排除 A,B 选项;当 a=3时,f(a)=f?3?=3×3-1=1,f(f(a)) ? ? 2 =2f(a),∴a=3满足题意,排除 D 选项,故答案为 C.] 13.A [因为 f[g(1)]=1,且 f(x)=5|x|,所以 g(1)=0,即 a·12-1=0,解得 a=1.] 14.C 1 1 1 [a=2-3∈(0,1),b=log23∈(-∞,0),c=log13=log23∈(1,+∞),所
2

以 c>a>b.] 15.D [函数 y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数 y=f(x)是由 y =log1t 与 t=g(x)=x2-4 复合而成, 又 y=log1t 在(0, +∞)上单调递减, g(x)在(-
2 2

∞,-2)上单调递减,所以函数 y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增.选 D.]

16.C

[利用中间量比较大小.因为 a=log2π∈(1, 2), b=log1π<0, c=π-2∈(0,
2

1),所以 a>c>b.] 17.D [根据指数函数的性质得 x>y,此时 x2,y2 的大小不确定,故选项 A、B 中 的不等式不恒成立;根据三角函数的性质,选项 C 中的不等式也不恒成立;根据 不等式的性质知,选项 D 中的不等式恒成立.] 18.1 [∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴 x=1,∴a=1,f(x)=2|x-1|,

∴f(x)的增区间为[1,+∞),∵[m,+∞)?[1,+∞),∴m≥1. ∴m 的最小值为 1.] 19.(-∞,0) [函数 f(x)=lg x2 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). ∵f(x)=lg x 在(0,+∞)上为增函数,y=x2 在[0,+∞)上为增函数,在(-∞,0] 上为减函数,∴f(x)=lg x2 的单调减区间为(-∞,0).] 【两年模拟试题精练】 1.C [因为 A={x|y=lg(5-x)}={x|5-x>0}={x|x<5}=(-∞,5),B={y|y=lg(5

-x)}={y|y∈R}=(-∞,+∞),所以 A∩B=(-∞,5),故选 C.] 2.D [b=log3 2∈(0,1),而 a>c>1,故选 D.] 10 1 10 ?1? ? ?1?? 3. 9 [由题意可得 f?4?=log24=-2,∴f?f?4??=f(-2)=3-2+1= 9 .] ? ? ? ? ?? 1? ? 4.A [∵函数 f(x)=(a-1)xb 是幂函数,∴a-1=1,得 a=2,则由点?2,2?在幂 ? ? 1 1 函数 f(x)=xb 的图象上,得2=2b,∴b=-1,∴f(x)=x-1= x为奇函数,且在定义 域内不单调,故选 A.] ?1?-1 5.2 [由题意知当 x>0 时,f(x)为周期函数且周期为 4,故 f(2 015)=f(-1)=?2? ? ? =2.] 2 2 6.(-∞,2 2) [令 3x=t(t>1),∴f(t)=t2-a· t+2>0 即 a<t+ t 恒成立,而 t+ t ≥ 2 2当且仅当 t= 2时,等号成立, ∴a<2 2.]

7.D [f(x)=e

|ln x|

x(x≥1), ? ? =?1 而函数 y=f(x+1)的图象由函数 f(x)=e|ln x|向左 (0<x<1), ? ?x

平移了一个单位,故选 D.] 1 1x ? ? ?1? ?1? 8.B [构造函数 f(x)=x3-?2? , 从而转化为函数的零点的问题, 因为 f?2?·f?3?<0, ? ? ? ? ? ? ?1 1? 所以在?3,2?存在零点,故选 B.] ? ? 9.D 10.C 11.C ? a a?2 5 ? 12.B [令 y=|x2-ax-a2|=?? ?x-2? - a2?,∵|a|≤1,|x|≤1,∴当 x=2时,ymax 4 ? ? ?? 5 5 5 =4a2≤4,若使|x2-ax-a2|≤m 恒成立则 m≥4,故选 B.] 13.C 1 [由已知可画 f(x)部分图象如图,而 f(x)-2=0

1 的零点转化为 y=f(x)与 y=2图象交点的横坐标,∴x1 +x2=2.x3+x4=10.∴(0,6)内所有零点之和为 12,选 C.] 2x-1 14.D [因为函数 f(x)= x 为奇函数且增函数,所以不等式 f(x-2)+f(x2-4)<0 2 +1 可化为 f(x2-4)<f(2-x),所以 x2-4<2-x,则-3<x<2,故选 D.] 15.①②③ ?1?x [∵f(x)=?3? -log2 x 在(0,+∞)上单调递减, ? ?

∵0<a<b<c, ∴f(a)>f(b)>f(c), ∵f(a)f(b)f(c)<0, ∴f(c)<f(b)<f(a)<0 或 f(c)<0<f(b)<f(a), ∵d 是函数 f(x)的一个零点即 f(d)=0. 若 f(c)<f(b)<f(a)<0,f(d)=0 则可得,c>b>a>d. 若 f(c)<0<f(b)<f(a),f(d)=0 则可得,a<b<d<c. 综上可得①d<a 可能成立;②d>b 可能成立;③d<c 可能成立;④d>c 不可能成立 故答案为:①②③.]

2 ?x -6x+6,x≥0, 16.D [函数 f(x)=? 的图象,如图, ?3x+4,x<0

不妨设 x1<x2<x3,则 x2,x3 关于直线 x=3 对称,故 x2+x3=6, 7 7 且 x1 满足-3<x1<0;则 x1+x2+x3 的取值范围是:-3+6<x1+x2+x3<0+6;即 ?11 ? x1+x2+x3∈? 3 ,6?.故选 D.] ? ? 17.②③ [∵对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)

恒成立,∴不等式等价为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 恒成立,即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数.①函数 y=ex+x 在定义域上为增函数,满足条件. ②函数 y=x2 在定义域上不单调,不满足条件. ③y=3x-sin x,y′=3-cos x>0,函数单调递增,满足条件. ?ln|x|,x≠0, ④f(x)=? 当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满 ?x,x=0. 足条件.综上满足“H 函数”的函数为②③,故答案为:②③.] 18.D [∵函数 g(x)是 R 上的奇函数,且当 x<0 时,g(x)=-ln(1-x),∴当 x>0
3 ?x (x≤0), ? 时,g(x)=ln(1+x).∵函数 f(x)= ?g(x)(x>0),

∴当 x≤0 时,f(x)=x3 为单调递增函数,值域(-∞,0]. 当 x>0 时,f(x)=ln(x+1)为单调递增函数,值域(0,+∞). ∴函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增.f(2-x2)>f(x),2-x2>x,所以-2<x<1 故选 D.] ?1 2? ?6 ? 19.?6,5?∪?5,+∞? ? ? ? ? 2-a 1 1 1 [设 g(x)=ax2-(2-a)x+3.若 0<a<1,则 2a =a-2>2,

1 1 1 1 1 ? ? ? a-2≤3, ? - ≥2, 1 2 6 a 2 由题意得? 解得6<a≤5,若 a>1,由题意得? 解得 a≥5.综上, ?1? ? ?g(2)>0. ?>0, g ? ?? ?3? ?1 2? ?6 ? a 的取值范围是?6,5?∪?5,+∞?.] ? ? ? ? 20.D [在 y=2x+1 图象上取点 M(0,2),因为 y=2x+1>0,所以在 y=2x+1 图象上不 → ·ON → =0,排除 A;在 y=log (x-2)图象上取点 M(3,0),因为 存在点 N,使OM 3 → ·ON → =0,排除 B;在 y=2图 x>2,所以在 y=log3(x-2)图象不存在点 N,使OM x 2 → ·ON → =0.排除 C.故选 D.] 象上取点 M(1,2),在 y=x 图象上不存在点 N,使OM 21.C ?(1-2a)x+3a,x<1, [由题意知函数 f(x)=? 在每一段均为增函数,故 ?ln x,x≥1.

?1-2a>0, 1 ? ∴-1≤a<2,故选 C.] ?1-2a+3a≥0, 22.B [由题意得到 f(-x)=f(x),∴m·9-x-3-x=m· 9x-3x, 整理得到: m= 3x = (3 )2+1
x

1 1 < , 又 m >0 , 所以实数 m 的取值范围是 0< m < 1 2 2. x 3+ x 3

1

故选 B.] 23.②③④ [因为函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在?x∈(-1,1)时为奇函数,且为

增函数故②③④正确.] 24.A 25.B [f(x)+f(2-x)=0?f(x)=f(x-2)?f(x+2)=f(x), ∴T=2, ∵x∈[-1, 0), f(x) =- 1-x2,∴x∈(0,1]时 f(x)= 1-x2,

- 1-x ,x∈[-1,0), ? ? ? ∴f(x)=?0,x=0, g(x)=? ? ? 1-x2,x∈(0,1], ?
2

x,x≥0, -x,x<0,

令 y=g(x),y=f(x)+1 由图知有 3 个交点,故选 B.]

26.解

(1)因为 f(-1)=f(2),所以 b=-1,

因为当 x∈[0,2], 都有 x≤f(x)≤2|x-1|+1,所以有 f(1)=1, 即 c=1,所以 f(x)=x2-x+1; (2)法一 因为 f(x)在[-1,1]上有两个零点,且 c<0,

?f(-1)≥0, ?-b+c+1≥0, 所以有?f(1)≥0, ??b+c+1≥0, ?c<0, ?c<0,

通过线性规划可得-2<2b+c<2. 法二 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2, 所以 f(x)=(x-x1)(x-x2), 不妨设 x1∈[-1,0),x2∈(0,1]. 因为 f(2)=(2-x1)(2-x2),且 2-x1∈(2,3],2-x2∈[1,2), 所以 f(2)∈(2,6),所以-2<2b+c<2. 27.解
2 2 2 x -2 (1)当 t=2 时,f(x)=x+ x,f′(x)=1-x2= x2 >0,

解得 x∈(-∞,- 2)∪( 2,+∞).因为 x>0, 所以函数 f(x)有单调递增区间为[ 2,+∞). t (2)设 M,N 两点的横坐标分别为 x1、x2,∵f′(x)=1- 2, x t? ? t? ? 所以切线 PM 的方程为:y-?x1+x ?=?1-x2?(x-x1). ? ? 1? 1? t? ? t? ? 2 因为切线 PM 过点 P(1,0),所以有 0-?x1+x ?=?1-x2?(1-x1).即 x1 +2tx1-t= ? ? ? ? 1 1 0.① 同理,由切线 PN 过点 P(1,0),得 x2 2+2tx2-t=0.②

由(1)、(2),可得 x1,x2 是方程 x2+2tx-t=0 的两根, ?x1+x2=-2t, ∴? ③ ?x1·x2=-t. |MN|= = = t t (x1-x2)2+(x1+x -x2-x )2
1 2

t (x1-x2)2[1+(1-x x )2] 1 2 ? t ?2? [(x1+x2)2-4x1x2]?1+? ?1-x x ? ? ? ? 1 2? ?

把③式代入,得|MN|= 20t2+20t, 因此,函数 g(t)的表达式为 g(t)= 20t2+20t. 64? ? (3)易知 g(t)在区间?2,n+ n ?上为增函数, ? ? ∴g(2)≤g(a1)(i=1,2,?,m+1).则 m· g(2)≤g(a1)+g(a2)+?+g(am). ∵g(a1)+g(a2)+?+g(am)<g(am+1)?n 恒成立, 64? ? 所以不等式 m· g(2)<g?n+ n ?,?n 恒成立, ? ? m 20×22+20×2< 即 m< 64?2 ? ? 64? 20?n+ n ? +20?n+ n ?, ? ? ? ?

64?2 ? 64? 1? ?n+ n ? +?n+ n ?]?n 恒成立, [ 6? ? ? ?

64 ∵n+ n ≥16, ∴ ∴m< 64?2 ? 64? 1? ?n+ n ? +?n+ n ?]≥ [ 6? ? ? ? 1 2 6[16 +16]= 136 3 .

136 3 ,由于 m 为正整数,∴m≤6.

又当 m=6,存在 a1=a2=?=am=2,am+1=16,任意的正整数 n 满足条件. 因此,m 的最大值为 6.


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