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圆锥曲线基础知识


一、椭圆基础知识

条件 平面内的动点 M 与平 面内的两个定点 F1,F2 |MF1|+|MF2|=2a 2a>|F1F2| 一般方程

结论 1

结论 2 _____为椭圆的焦点

M 点的轨迹为椭圆 ______为椭圆的焦距

Ax2 ? By 2 ? 1( A>0,

B>0, A≠B)





标准方程

(a>b>0) ≤x≤ ≤x≤ ≤y≤

(a>b>0)

范围

≤y≤ 对称轴:_______ 对称中心:_____ A1_______,A2______ B1_______,B2______

对称性

顶点 性质 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系

A1_______,A2______ B1_______,B2______

长轴 A1A2 的长为 短轴 B1B2 的长为 a 叫做椭圆的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长 |F1F2|=
e? c ?( a



a2=_____

P 为椭圆上的点, F1、F2 为椭圆的两个焦点,且∠F1PF2 ? ? ,则 ?F1PF2 的面积为 b 2 ? tan

?
2

二、双曲线基础知识

条件 平面内的动点 M 与平面内的 两个定点 F1,F2 ||MF1|-|MF2||=2a ( 2a<| F1F2 | ) 一般方程

结论 1

结论 2 F1,F2 为双曲线的焦点

M 点的轨迹为双曲线 |F1F2|为双曲线的焦距

Ax2 ? By 2 ? 1( AB≠0)

图形

标准方程 范围 对称性 顶点 性质 渐近线 轴 离心率 a,b,c 间 的关系
y=

(a>0, b>0)

(a>0, b>0)

x:

y:

x:

y:

对称轴:_______ 对称中心:

对称轴:_______ 对称中心:
)

A1 (

); A2 (

A1 (

); A2 (

)

y=

线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=___; 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=___; a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长 c e ? ?( ) a
c2 ?

P 为双曲线上的点, F1、F2 为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2 ? ? ,则 ?F1PF2 的面积为

b2 tan

?
2

等轴双曲线 ? 双曲线离心率 e ? 与双曲线

2 ? 两条渐近线互相垂直

x2 y 2 x2 y 2 ? ? k (k≠0) ? ? 1 ( a > 0, b > 0) 有共同渐近线的双曲线方程是 a 2 b2 a 2 b2

x y x2 y 2 以 ? ? 0 为渐近线的双曲线方程为 2 ? 2 ? k (k≠0) a b a b

三、抛物线基础知识 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内. (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离_____. 标准 方程 p 的几何意义:

(3)定点_____定直线上.

图形

顶点 对称轴 焦点 准线方程

范围 焦半径(其中

P( x0 , y0 ) )
离心率

| PF |?

| PF |?

| PF |?

| PF |?

焦点弦:线段 AB 为抛物线 y ? 2 px( p>0) 的焦点弦, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) .
2

(1) x1 x2 ?

p2 ; 4

(2) y1 y2 ? ? p ;
2

(3) 弦长 l ? x1 ? x2 ? p ? 此时的弦又叫通径。

2p ( ? 为 AB 的倾斜角) ,x1 ? x2≥2 x1x2 =p , 当且仅当 x1 ? x2 时, 弦长最短为 2p , sin 2 ?

1.椭圆的定义 应用一: 1.(思考)给出下列命题: ①平面内与两个定点 F1F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆;

2a ? 2c (其中 a 为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距); ②椭圆上一点 P 与两焦点 F1F2 构成 ?PF 1F 2 的周长为
③椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆; ④椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形. 其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 2.(1)已知点 F , F20 3 ) ,( 1 (-3,0) (2)已知点 F , F20 3 ) ,( 1 (-3,0) 3. F1 , F2 是椭圆

P 的轨迹是 ,有 | PF 1 | ? | PF 2 |? 6 ,则点 P 的轨迹是 ,有 | PF 1 | ? | PF 2 |? 8 ,则点

; ;

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上一点, PF1 ? PF2 49 24

?PF1F2 的面积为



x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点是 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 | ? | PF2 |? 2 , 4.已知椭圆 4 2
则 ?PF 1F 2 的面积是 ;

5.

设 F1 , F2 分 别 是 椭 圆 E: x ?
2

y2 ? 1 (0<b<1) 的 左 、 右 焦 点 , 过 F1 的 直 线 l 与 E 相 交 于 A,B 两 点 , 且 b
.

| AF2 |,| AB |,| BF2 | 成等差数列,则|AB|=
2.椭圆的标准方程和几何性质 应用二 1.已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( 2 ? k 2k ? 1
B.(1,+∞) C.(1,2) D. ( ,1)

)

A. ?

?1 ? ,2? ?2 ?

1 2

2.设 F1 , F2 分别是椭圆 椭圆左焦点的距离为
2 2

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1 P 的中点,|OM|=3,O 为坐标原点,则 P 点到 25 16
. ,短轴的顶点坐标是 . .

3.椭圆 6 x ? y ? 1的长轴的顶点坐标是 4. 5.

已知正方形 ABCD ,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的离心率为 平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为 .

2 与过 F 1 的直线 l 交于 A,B 2

两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为

6. 椭圆 | PF2 |=(

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 过 F1 PF2 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交 , 一个交点为 P, 则 4
)

A.

7 2

B.

3 2

C. 3

D.4

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) 的 两 个 焦 点 , 若 椭 圆 上 一 点 P 满 足 | PF1 | ? | PF2 |? 4 7. 已 知 F 1 (-1,0), F2 (1,0) 为 椭 圆 a 2 b2
则椭圆的离心率 e= .

8.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于

1 , 2

则 C 的方程是(

)

A. C.

x 2 y2 ? ?1 3 4 x 2 y2 ? ?1 4 2

x 2 y2 ? ?1 4 3 x 2 y2 D. ? ?1 4 3 B.

x2 y 2 9.椭圆 T : 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1 , F2 焦距为 2c.若直线 y ? 3( x ? c) 与椭圆 T 的一个 a b
交点 M 满足 ?MF 1F 2 ? 2?MF 2F 1 ,则该椭圆的离心率等于 .

10.已知椭圆 C:

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程. (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0 ) 求 y0 的取值范围.


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