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福建省2013-2014学年度高一下学期第二次月考数学(理科)试题解析卷[好8页]


福建省 2013-2014 学年度高一下学期 第二次月考数学(理科)试题解析卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 )
1.经过两点(3,9)(-1,1)的直线在 x 轴上的截距为( 、 A. ? ) D.2

3 2

B. ?

2 3

C.

r />
2 3

2.已知直线 ax ? by ? c ? 0(abc ? 0)与圆x 2 ? y 2 ? 1 相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形 是( ) 。 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在 3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ) A. 3 A.256
2 2

B.2 B.512

C. 2 3
n ?1

D.6 ,则 a10 ? ( ) D.2048

4.已知 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和, S n ? 2

C.1024

5.经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是( ) A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 6.已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面? ,给出下列命题: ① ? ∥ ? ? l ? m. ② ? ? ? ? l ∥m. ③ l ∥m ? ? ? ? ④ l ? m ? ? ∥ ? 其中正确的命题是( A.①②③ ) B.②③④ C.②④ D.①③

7.两圆相交于点 A(1, 3),B(m, ?1),两圆的圆心均在直线 x-y+c=0 上, 则 m+c 的值为( ) A.–1 B.2 C.3 D.0 8.如右图是正方体的平面展开图,在此正方体中, 以下四个命题: ① BM 与 ED 平行
?

② CN 与 BE 是异面直线 E C.3 D.4

N D A

C B F

M

③ CN 与 BM 成 60 ④ CN 与 AF 垂直 其中正确的有( )个 A.1 B.2

9. 如右图, 在三棱柱的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一动点 P, 且满足 A1P=BQ, Q, 过 P、Q、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( ) A.2∶1 B.3∶1 C.4∶1 D.5∶1

10.若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0
2 2

的 A.[

? ?
,

距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( ] B.[

? 5?
,

12 4

12 12

]

C.[

? ?

) D. [0,

, ] 6 3

?
2

]

1/8

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11.已知点 A(3,-2),B(-5,4),以线段 AB 为直径的圆的方程为______________; 12.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且边 a ? 4, c ? 3 , 则△ABC 的面积等于_________; 13.已知直线 l1 : x ? my ?

10 ? 0 和 l2 : (m ? 2) x ? 3my ? 2m ? 0 ,若 l1 ∥ l 2 ,则 m 的值____________; 3

14.圆柱形容器内盛有高度为 8cm 的水,若放入三个相同的珠(球的半径与圆柱的底面半径相同)后, 水恰好淹没最上面的球(如图所示) ,则球的半径是________cm. 15.已知直线 l : (a ? 1) x ? (2a ? 1) y ? 7a ? 2 ? 0(a ? R) 和圆 C : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 11 ? 0 .
2 2

给出下列说法: ①直线 l 和圆 C 不可能相切; ②当 a ? ?1 时,直线 l 平分圆 C 的面积; ③若直线 l 截圆 C 所得的弦长最短,则 a ?

④对于任意的实数 d (2 11 ? d ? 8) ,有且只有两个 a 的取值,使直线 l 截圆 C 所得的弦长为 d . 其中正确的说法序号是_____________(注:把你认为正确的说法的序号都填上).

1 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 13 分)已知等差数列 {a n } 中,
3 1 , a3 ? , S n ? ?15 ,求 n 及 a12 ; 2 2 (2)若 S10 ? 100 ,求 a 4 ? a 7 .
(1)若 a1 ?

2/8

17. (本小题满分 13 分)已知圆 C 同时满足下列三个条件: ①与 x 轴相切; ②在直线 y=x 上截得弦长为 4 2 ; ③圆心在 y 轴正半轴上

(1)求圆 C 的方程; (2)过点 P(3,8)作圆 C 的切线 PE,E 为切点,求切线 PE 长.

18. (本小题满分 13 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? AD , 且 AB ? AD ?

1 CD ? 1 .现以 AD 为一边向外作正方形 ADEF ,然后 2
E M

沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折, 使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直,M 为 ED 的中点,如右图 2.

D

C

F

A

(1)求证: AM ∥平面 BEC ; (2)求证: BC ? 平面 BDE ; (3)求三棱锥 D—BCE 的体积.

B

E F M D A B C

3/8

19. (本小题满分 13 分)已知向量 m ? ( 3 sin x ? cos x,1) , n ? (cos x, ) ,若 f ( x) ? m ? n . (1) 求函数 f (x) 的最小正周期; (2) 已知 ?ABC 的三内角 A B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a ? 3 , f ( 、 (A 为锐角) 2sin C ? sin B ,求 A、 c、b 的值. ,

?

1 2

? ?

A ? 3 ? )? 2 12 2

20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,圆 o 的方程 x ? y ? 1 ,过圆上一点 A(0,-1)作圆的
2 2

两条弦 AB,AC(点 B 在 y 轴左侧),且 AB ? AC ? (1)求弦 AB,AC 所在直线方程;

2

(2)把 xoy 平面水平放置, 记作平面 x ' o ' y '(如右图所示) 若 BD ? 平面x ' o ' y ' ,且 BD ? 1, BE ? AD 于 ,

E ,请依题意补全图形,并求证 BE ? CD ;
(3)在(2)的前提下,AC 上是否存在一点 F,使得 DF 与平面 x ' o ' y ' 所成的角为 30 ?如果存在,指 出点 F 的位置;如果不存在,说明理由。
?

y

y ’
O ’ A

O

x

x ’

4/8

21. (本小题满分 14 分)如下图,某环保观察点 O、城市 A 和港口 B 位于海岸线上,已知城市 A 位于观 察点 O 北偏东 30? 方向,且与 O 相距 8 km ;港口 B 位于 A 北偏东 60? 方向且与 A 相距 8 3km 。某日上 午 7 时,观测点 O 发现在其正西方向 46 km 处的海面 P 处有一油罐正以 2 km h 的速度向北偏东 30 方向 移动,进一步监测发现,该油罐所泄露的油料污染的范围为圆形区域,且此时该区域的半径为 1 km ,并 以 2 km h 的速度不断增大. (1)试以 O 为原点建立适当的直角坐标系,求 B 的坐标; (2)如果不采取任何防护措施,城市 A 是否会受到该油罐所泄漏油料的污染?如果会,污染将在几小时 后开始? (3)由于港口 B 的西北侧区域是网箱养殖基地,因此环保部门于当日上午 7 时就组织人员从港口 B 出发 沿正西方向布设防污隔离带,若布设隔离带的速度是 24 km h ,问该隔离带能否发挥作用?说明你 的理由。(取 3 ? 1.7 ,结果精确到 1) 北 网箱养殖基地 A B 东 o n
?

P

O

5/8

福建省 2013-2014 学年度高一下学期 第二次月考数学(理科)试题答案解析
一.选择题 二.填空题 三.解答题
3 n(n ? 1) 1 ? (? ) ? ?15 ,整理得 n 2 ? 7n ? 60 ? 0 , 2 2 2 3 1 解之得 n ? 12 ,或 n ? ?5 (舍去) a12 ? ? (12 ? 1) ? (? ) ? ?4 , 2 2 10(a1 ? a10 ) (Ⅱ)由 S10 ? ? 100 ,得 a1 ? a10 ? 20 , a 4 ? a7 ? a1 ? a10 ? 20 2

ABDAD

DCBAB
3 3
0 4 ①②③

(x + 1)2 + (y-1)2 = 25

16.【解析】 (Ⅰ) S n ? n ?

17.解(1)设所求的圆 C 与 x 轴相切, ∵圆心 C 在 y 轴正半轴上, ∴圆心 C(0,b) ,又圆与 x 轴相切,∴R=b. 又在直线 y=x 上截得弦长为 4 2 ;由勾股定理可得 b=4 即 r=4 ∴圆心的坐标 C 分别为(0,4) , 故所求圆的方程为 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 16 (2) CP ? 5, R ? 4 ? PE ? 3 18. 【解析】 (Ⅰ)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN, BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点, 所以 MN ∥ CD ,且 MN ? 由已知 AB ∥ CD , AB ?

1 CD . 2

1 CD , 所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . 2 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . 又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC , 所以 AM ∥平面 BEC . (Ⅱ)证明:在正方形 ADEF 中, ED ? AD . 又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD , 所以 ED ? 平面 ABCD . 所以 ED ? BC . 在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 1 , CD ? 2 ,可得 BC ? 2 . 2 2 2 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2 , CD ? 2 , 所以 BD ? BC ? CD . 所以 BC ? BD , 所以 BC ? 平面 BDE . 1 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, BC ? BE, BC ? BD 所以 S ?BCD ? BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2 1 1 又因为 ED ? 平面 ABCD ,所以 VE ? BCD ? VD ? BCE = S ?BCD ? DE ? ? 3 3
6/8

19

20. 解: (1)过点 A 且斜率不存在的弦长为 2,不符合题意。……………………………1 分 故可设过点 A 的弦所在的直线的方程为 y ? kx ? 1 ,由弦长为 2 ,圆的半径为 1,

?1 2 2 ? , 2 2 ,所以 k ? ?1 ………………………3 分 可得圆心 O(0,0)到弦的距离为 2 即 1 ? k 故弦 AB,AC 所在直线方程分别为 y ? ? x ? 1和y ? x ? 1 ………………………4 分
(2)补全后的图形如图所示, 由

k AB ? k AC ? 1? (?1) ? ?1, 得AB ? AC
, , ,

………………………5 分

又 BD ? 平面x o y , 故 BD ? AC 又 AB ? BD ? B, 故AC ? 面ABD ………………………6 分 又 BE ? 面ABD, 所以AC ? BE , 又 BE ? AD, 且AC ? AD ? A, 故 BE ? 平面ADC , 又CD ? 平面ADC , 所以 BE ? CD ………………………8 分 (3)由 BD ? 平面x o y , 得
, , ,

D E O B A

Y’

F

X’

DF 在平面 x o y 的射影为 BF, 故 DF 与平面 x o y 所成角为 ?DFB ………………………10 分
, , ,

, ,

,

,若DF与平面x o y 所成角为30 , BF ? 3 , 在 Rt ?DFB中,BD ? 1 则
, , , ?

在 Rt ?BAF中,AB ?

2,BF ? 3,故AF=1,
7/8

因为 1 ? 2 ,故点 F 是存在的,在线段 AC 上取点 F,使得 AF=1,则 F 为所求 21. 解:(1)以点 O 为原点,正东方向建立平面直角坐标系

xB ? OA cos 60? ? AB cos 30? ? 16
yB ? OA sin 60? ? AB sin 30? ? 8 3
? B 16,8 3

北 B A 东 o n

网箱养殖基地

?

?

P (2)设油罐在 t 小时后的位置(圆心)为 P , 1

O

根据题意得 P (t ? 46, 3t ) ,此时油污的半径 r=1+2t,油罐侵袭的圆形区域外围满足的方程为 1

( x ? t ? 46)2 ? ( y ? 3t )2 ? (1 ? 2t ) 2
若城市 A 会被油污污染,则满足 (4 ? t ? 46) ? (4 3 ? 3t ) ? (1 ? 2t )
2 2 2

整理得 (t ? 50) ? 3(t ? 4) ? (1 ? 2t )
2 2

2

即 128t ? 2547, t ? 20 故该城市大约 20 小时后受到油罐的污染 (3)由(2)知,t 小时后,油罐的位置为 P (t ? 46, 3t ) 1 油污的半径为 1+2t,防污隔离带已布设至点 M (16 ? 24t ,8 3) 当油污区域的最外围与隔离带相切,有 3t ? 1 ? 2t ? 8 3 ,解得 t0 ? 17 3 ? 26 此时,相切的切点为 D(17 3 ? 72,8 3) ,如图所示,要使隔离带产生作用,须且只须: 当 t ? t0 时, MB ? DB ;当 t ? t0 时点 M 在圆 P 外。 1 由于 DB ? 88 ? 17 3, MB ? 24(17 3 ? 26)

MB ? DB ? 0 所以 t ? t0 已成立,当 t ? t0 时,有 t ? 3
所以 MP ? 25t ? 62 ? 2t ? 1 1 即点 M 在圆 P 外,综上可知,故隔离带能发生作用 1

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