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2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教学设计)


SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修 4 第二章)

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(教学设计) 一、知识与能力: 1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义,数乘运算的运算律,并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。 2、理解掌握向量共线定理及其证明过程,会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。 3、通过向量数乘运算的学习和探究,培养学生

的观察、分析、归纳、抽象思维能力,以及运算能力和逻辑推理能 力。 二、过程与方法: 1. 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程; 2.体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观: 培养对现实世界中的数学现象的好奇心,学习从数学角度发现和提出问题. 教学重点:实数与向量的积的定义、运算律,向量共线的充要条件. 教学难点:向量共线的充要条件. 一、复习回顾,新课导入 探究:已知非零向量 a,作出 a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a),并说明它 类似数的乘法,把 a+a+a 记作 3a,显然 3a 的方向与 a 的方向 倍,即|3a|=3|a|. 同样,(-a)+(-a)+(-a)=3(-a),显然 3(-a)的方向与 a 的方向相反,3(-a)的长度是 a 的 3 倍,这样 3(-a)=-3a. 由学生作图,归纳几何意义,教师补充完善,引出本节课所学的内容。 二、师生互动,新课讲解 1.定义:实数?与向量 a 的积是一个向量,称为向量的数乘,记作?a,它的长度与方向规定如下: (1)|?a|=|?||a|; (2)当?>0 时,?a 的方向与向量 a 的方向相同;当?<0 时,?a 的方向与 a 的方向相反. 2. 特别地,当?=0 或 a=0 时,?a=0;当?=-1 时,(-1)?a=-a,就是 a 的相反向量. 3. 实数与向量的积的运算律 设?、?为实数,那么 (1)?(?a)=( ??)a; (结合律) (2)(?+?)a=?a+?a; (第一分配律) (3)?(a+b)= ?a+?b.(第二分配律) 结合律证明: 如果λ =0,μ=0, a = 0 至少有一个成立,则①式成立 如果λ ?0,μ?0, a ? 0 有:|λ (μ a )|=|λ ||μ a |=|λ ||μ|| a | ∴|λ (μ a )|=|(λ μ) a |
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们的几何意义. 相同,3a 的长度是 a 的 3

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|(λ μ) a |=|λ μ|| a |=|λ ||μ|| a |

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? ? 如果λ 、μ 异号,则①式两端向量的方向都与 a 反向。 ? ? 从而λ (μ a )=(λ μ) a
如果λ 、μ 同号,则①式两端向量的方向都与 a 同向; 如果λ =0,μ=0, a = 0 至少有一个成立,则②式显然成立 如果λ ?0,μ?0, a ? 0

第一分配律证明:

?

?

当λ 、μ 同号时,则λ a 和 μ a 同向,

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? |λ a +μ a |=|λ a |+|μ a |=|λ || a |+|μ|| a |=(|λ |+|μ|)| a | ? ∵λ 、μ 同号 ∴②两边向量方向都与 a 同向 ? ? ? 即:|(λ +μ) a |=|λ a +μ a | ? 当λ 、μ 异号,当λ >μ 时 ②两边向量的方向都与λ a 同向 ? 当λ <μ 时 ②两边向量的方向都与 μ a 同向 ? ? ? 还可证:|(λ +μ) a |=|λ a +μ a |
∴|(λ +μ) a |=|λ +μ|| a |=(|λ |+|μ|)| a | ∴②式成立 第二分配律证明:

?

?

如果 a = 0 , b = 0 中至少有一个成立,或λ =0,λ =1 则③式显然成立

?

?

? ? 当 a ? 0 , b ? 0 且λ ?0,λ ?1 时
作 OA ? a

B1

1?当λ >0 且λ ?1 时在平面内任取一点 O,

B

?

? AB ? b

? ? 则 OB ? a + b

? OA1 ? λ a ? ? OB1 ? λ a +λ b

? A1 B1 ? λ b O

A

A1

由作法知: AB ∥ A1 B1 有?OAB=?OA1B1 ∴

| AB |=λ | A1 B1 |

| OA1 | | OA |


?

| A1 B1 | | AB |



∴△OAB∽△OA1B1

| OB1 | | OB |

? λ ?AOB=? A1OB1

因此,O,B,B1 在同一直线上,| OB1 |=|λ OB |

? ? ? ? λ ( a + b )=λ a +λ b
∴ ③式成立

OB1 与λ OB 方向也相同
B A1 O B1 A

当λ <0 时 可类似证明:λ ( a + b )=λ a +λ b

?

?

?

?

特别地,有

(-?)a=-(?a)= ?(-a),?(a-b)=?a-?b. 例 1(课本 P88 例 5) 计算: (1)(-3)?4a; (2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c). 解: (1)原式=(-3?4)a=-12a;
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(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b; (3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c. 变式训练 1:设 a、b 是两个不平行的向量,且 x(2a+b)+y(3a-2b)=7a , x,y?R,则 x=____,y=_____. (x=2,y=1)

4. 向量共线定理(等价条件或充要条件) 思考:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗? 对于向量 a(a?0)、b,如果有一个实数?,使 b=?a,那么由向量数乘的定义知:a 与 b 共线; 反过来,已知向量 a 与 b 共线,a?0,且向量 b 的长度是向量 a 的长度的?倍,即|b|=?|a|,那么当 a 与 b 同向时, 有 b=?a,当 a 与 b 反向时,有 b=-?a. 向量共线定理(向量共线的充要条件) :向量 a(a?0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数?,使 b=?a. 例 2(课本 P89 例 6) 已知任意两个非零向量 a、b,且 OA =a+b, 置关系. 解:因为 =a+2b-(a+b)=b, =a+3b-(a+b)=2b, 于是 ,所以 A、B、C 三点共线. =a+2b , =a+3b,判断 A、B、C 三点之间的位

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量 a、b,以及任意实数?、?1、?2,恒有 ?(?1a??2b)= ??1a???2b. 变式训练 2:设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与 2a-b 共线,则 λ=________.
?1=2k, ? 1 1 1 解析 由题意知:a+λb=k(2a-b),则有:? ∴k= ,λ=- .答案 - 2 2 2 ? λ =- k , ?

例 3 平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,且

=a,

=b,试用 a、b 表示







.

解: =

=a+b, (a+b)= ab

=a-b,

1 1 1 (a-b)= a- b; 2 2 2

MC ?

1 1 1 AC = a+ b; 2 2 2

1 1 1 MD ? ? MB ? ? DB =- a+ b. 2 2 2
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变式训练 3:设 AM 是 ?ABC 中线,求证: AM ? 证明:因为 AM ? AB ? BM , AM ? AC ? CM ,

1 AB ? AC . 2

?

?

所以 2 AM ? AB ? BM ? AC ? CM ? AB ? AC ? BM ? CM 因为 AM 是 ?ABC 中线,所以 BM ? CM ? BM ? MB ? 0, 因而 2 AM ? AB ? AC ,所以 AM ?
1 AB ? AC . 2

?

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课堂练习: (课本 P90 练习 NO:1;2;3;4;5;6) 三、课堂小结,巩固反思 1. 理解实数与向量的积的意义,能说出实数与一个向量的积的模及方向与这个向量的模及方向间的关系; 2. 能说出实数与向量的积的三条运算律,并会运用它们进行计算; 3. 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件; 4. 会表示与非零向量共线的向量,会判断两个向量是否共线. 四、课时必记 1、实数与向量的积的运算律 设?、?为实数,那么 (1)?(?a)=( ??)a; (结合律) (2)(?+?)a=?a+?a; (第一分配律) (3)?(a+b)= ?a+?b.(第二分配律) 2、向量共线定理(向量共线的充要条件) : 向量 a(a?0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数?,使 b=?a. 五、分层作业: A 组: 1、 (课本 P91 习题 2.2 A 组 NO:9) 2、 (课本 P91 习题 2.2 A 组 NO:10) 3、 (课本 P91 习题 2.2 A 组 NO:11) 4、 (课本 P91 习题 2.2 A 组 NO:12) 5、 (课本 P91 习题 2.2 A 组 NO:13) B 组: 1、 (课本 P91 习题 2.2 B 组 NO:3) 2、 (课本 P91 习题 2.2 B 组 NO:4) 3、 (课本 P91 习题 2.2 B 组 NO:5) C 组: 1、设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). 求证:A,B,D 三点共线;
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SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修 4 第二章)

(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → 分析: (1)先证明AB,BD共线,再说明它们有一个公共点;(2)利用共线向量定理列出方程组求 k. → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). → → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB. → → ∴AB,BD共线,又它们有公共点,∴A,B,D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线,

∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又 a,b 是两不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=± 1.

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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(教案)

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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(知识梳理+练习+答案)

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§2.2.3向量数乘运算及其几何意义【两课时】

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义【两课时】_高一数学_数学_高中教育_教育专区。萧振高中高一数学导学案 主备:陈才旭 复备: 审核: 2016-3-25 §2.2.3 ...

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