2015绵阳二诊数学文答案

绵阳市高 2012 级第二次诊断性考试

数学 ( 文史类 ) 参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分． AADCB BDCBC 10 ．提示：问题转化为 f ( x) max ? 1．由 f ?( x) ? 3ax 2 ? 3b ? 3(ax 2 ? b)(a ? 0 ，b ? 0) ，

b b 得 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? ? ，f ?( x) ? 0 ? x ? ? ， a a
即 f ( x ) 在 (0 ， ? ①当 ?

b b ) 递增，在 ( ? ， ? ? ) 递减， a a

b ? 1 ，即 b ? ? a 时， f ( x) min ? f (0) ? 0，f ( x) max ? f (1) ? a ? 3b ? 1 ， a

?3b ? 1 ? a， 1 即? ? 3b ? 1 ? b ? b ? ． 2 ?? a ? b，
②当 ?

b ? 1 即 b ? ? a 时， a

? f (0) ? 0， ? ?4b 3 ? ?a， 3 3 b b 3 ? ，此时 a ? ? . ?? ?b? ? f ( x) max ? f ( ? ) ? 2b ? ? 1， 2 a a 2 ?? a ? 3b， ? ? f (1) ? a ? 3b ? 0， ?
将a??

3 3 3 ，b? 代入检验正确 . 2 2

二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11 ．

7 2

12 ． 8.5

13 ． ?

3 2

14 ． ?

7 18

15 ． 6

15 ．提示： PA ? PB ? (PM ? MA) ? (PM ? MB)

? PM ? PM ? ( MB ? MA) ? MA ? MB ? PM ? 1 ，
同理： PC ? PD = PN ? 1 ， P 在椭圆上，所以 PM ? PN ? 2a ? 4 ， ∴ PA ? PB ? PC ? PD ? PM ? PN ? 2 = ( PM ? PN ) 2 ? 2 PM ? PN ? 2 ? 14 ? 2 PM ? PN ? 14 ? (
2 2 2

2

2

PM ? PN 2

)2 ? 6．

数学（文史类）答案第1页（共 6 页）

三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分． 16 ． 解： ( Ⅰ) 由茎叶图可知，所抽取 12 人中有 4 人低于 9 分，即有 4 人不是 “满 意观众”， ∴ P=

4 1 ? ， 12 3
1 ． ?? 4 分 3

即从这 12 人中随机选取 1 人，该人不是“满意观众”的概率为

( Ⅱ ) 设本次符合条件的满意观众分别为 A 1 (9.2) ， A 2 (9.2) ， A 3 (9.2) ， A 4 (9.2) ， B 1 (9.3) ， B 2 (9.3) ，其中括号内为该人的分数． ??????????? 6 分 则从中任意选取两人的可能有 ( A 1 ， A 2 ) ， ( A 1 ， A 3 ) ， ( A 1 ， A 4 ) ， ( A 1 ， B 1 ) ， (A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)， ( A 3 ， B 2 ) ， ( A 4 ， B 1 ) ， ( A 4 ， B 2 ) ， ( B 1 ， B 2 ) ，共 15 种，???????? 8 分 其中，分数不同的有 ( A 1 ， B 1 ) ， ( A 1 ， B 2 ) ， ( A 2 ， B 1 ) ， ( A 2 ， B 2 ) ， ( A 3 ， B 1 ) ， ( A 3 ， B 2 ) ， ( A 4 ， B 1 ) ， ( A 4 ， B 2 ) ，共 8 种， ???????????? 10 分 ∴ 所求的概率为

8 ． ????????????????????? 12 分 15

17 ． 解： ( Ⅰ) ∵ S n = ? ? 2 n?1 ? 1 ， ∴ a 1 = S 1 = λ - 1 ， a 2 = S 2 - S 1 =2 λ - 1 - ( λ - 1)= λ ， a 3 = S 3 - S 2 =4 λ - 1 - (2 λ - 1)=2 λ ， ?????????????? 2 分 ∵ { a n } 是等比数列， ∴ a 2 2 = a 1 a 3 ，即 λ 2 =2 λ ( λ - 1) ，解得 λ =0( 不合题意，舍去 ) ，或 λ =2 ． ?? 4 分 ∴ 在 { a n } 中， a 1 =1 ，公比 q =

a2 =2 ， a1

∴ a n =1×2 n ?1 = 2 n ?1 ． ?????????????????????? 6 分 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ) 知， a 2 =2 ， a 3 =4 ，于是 f ( x) ? 4 sin2 x ， ∴ g ( x) ? 4 sin[2( x ? ∵ ?

?
6

)] ? 4 sin(2x ?

?
3

) ． ?????????????? 8 分

?
6

≤x≤

?
6

，

∴ 0 ≤ 2x ?

?
3

≤

2? ，?????????????????????? 10 分 3

∴ 0 ≤ 4 sin(2 x ? 即 g ( x) 在 [?

?
3

) ≤4，

?

， ] 上的最大值为 4 ． ??????????????? 12 分 6 6
数学（文史类）答案第2页（共 6 页）

?

1 bc b2 ? c2 ? a 2 2 1 ? ? ， 18 ． 解 ： ( Ⅰ) 由余弦定理得 cos A ? 2bc 2bc 4
则 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

15 ． ??????????????????? 4 分 4

(Ⅱ)由 A + B + C = π 有 C = π - ( A + B ) ， 于是由已知 sin B +sin C =

10 10 得 sin B ? sin( A ? B ) ? ， 2 2 10 ， 2

即 sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 将 sin A ?

15 5 15 10 1 cos B ? ， cos A ? 代入整理得 sin B ? ．①??? 7 分 4 4 2 4 4

根据 sin2 B ? cos2 B ? 1 ，可得 cosB ? ? 1 ? sin2 B ． 代入①中，整理得 8sin 2 B - 4 10 sin B +5=0 ， 解得 sin B ?

10 ． ??????????????????????? 10 分 4

a sin B a b ∴ 由正弦定理 有b? ? ? sin A sin A sin B
19 ． 解 ： ( Ⅰ) 如图，连结 BC 1 ． ∵ E ， F 分别是 AB ， AC 1 的中点， ∴ EF // BC 1 ． ∵ BC 1 ? 面 BB 1 C 1 C ， EF ? 面 BB 1 C 1 C ， ∴ EF ∥平面 BB 1 C 1 C ．?????? 4 分 (Ⅱ) 如图，连结 A 1 E ， CE ． ∵ AB // A 1 B 1 ， AB =2 A 1 B 1 ， E 为中点， ∴ A 1 E // B 1 B ，且 A 1 E = B 1 B ．

1?

10 4 ? 6 ． ?????? 12 分 3 15 4
C1

F

A1 C

B1

A

E

B

∴ BE // A 1 B 1 ，且 BE = A 1 B 1 ，即 A 1 B 1 BE 是平行四边形， 由四边形 BB 1 C 1 C 是长方形，知 C 1 C // B 1 B ，且 C 1 C = B 1 B ， ∴ A 1 E // C 1 C ，且 A 1 E = C 1 C ，即 C 1 A 1 EC 是平行四边形， ∴ A 1 C 1 // EC ．????????????????????????? 7 分 ∵ B 1 B ⊥ BC ， B 1 B ⊥ AB ， ∴ B 1 B ⊥面 ABC ，
数学（文史类）答案第3页（共 6 页）

∴ B 1 B ⊥ EC ． ????????????????????????? 9 分 由 CA = CB ，得 EC ⊥ AB ， ∴ EC ⊥平面 ABB 1 A 1 ．????????????????????? 10 分 ∴ A 1 C 1 ⊥平面 ABB 1 A 1 ． ∵ A 1 C 1 ? 平面 C 1 AA 1 ， ∴ 平面 C 1 AA 1 ⊥平面 ABB 1 A 1 ． ????????????????? 12 分 20 ． 解 ： ( Ⅰ ) 由已知可设圆 E 的圆心 (0 ， b ) ，则半径为 b ． ∵ 圆心到直线 x - y =0 的距离 d = b 2 ? ( 解得 b 2 =4 ， b = - 2( 舍去 ) ， b =2 ， ∴圆 E 的标准方程为 x 2 +( y - 2) 2 =4 ． ??????????????? 5 分 (Ⅱ) 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)， 由已知直线 MN 的斜率一定存在，设为 k ，则其方程为 y = kx +3 k ，

0?b 2 2 2 ， ) = 2 2 2 1 ?1

? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4， 联立方程 ? ? y ? kx ? 3k，
消去 y ，得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k (3k ? 2) x ? (3k ? 2) 2 ? 4 ? 0 ， 于是 x 1 + x 2 = ?

2k (3k ? 2) (3k ? 2) 2 ? 4 ， x x = ．① 1 2 1? k2 1? k2

????????? 8 分

又 P ， M ， H ， N 四点共线，将四点都投影到 x 轴上， 则

PM PN

?

MH HN

可转化为

x1 ? 3 x0 ? x1 ? ， x2 ? 3 x2 ? x0
???????????????? 10 分

整理得： x0 ?

2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ． 6 ? ( x1 ? x2 )

2?
将①代入可得 x 0 ?

(3k ? 2) 2 ? 4 1? k
2

? 3?

? 2k (3k ? 2) 1? k2 ??

6?

? 2k (3k ? 2) 1? k2

6k ， 2k ? 3

?? 11 分

由

k ? 0 ? 2 ? 3k 1? k
2

? 2 ，可解得 0 ? k ?

12 ，?????????????? 12 分 5

由 x0 = ? ∴ ?

6k 9 24 = - 3+ ，于是可得 ? < x 0 <0 ，满足 - 2< x 0 <2 ， 2k ? 3 2k ? 3 13

24 < x 0 <0 ． ???????????????????????? 13 分 13
数学（文史类）答案第4页（共 6 页）

21 ． 解 ：(Ⅰ) ∵ f ?( x) ?

2 x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? x ? (a ? 1) ? ，????????? 2 分 x x

∴ 当 a =2 时， f ?( x) ?

x 2 ? 3x ? 2 ． x

由已知有 m ， n 是方程 x 2 - 3 x +2=0 的两个根， ∴ m =1 ， n =2 ．????????????????????????? 4 分 ( Ⅱ ) 由已知有 m ， n 是方程 x 2 - ( a +1) x +2=0 的两个根， ∴ Δ =( a +1) 2 - 8>0 ， m + n = a +1>0 ， mn =2>0 ． ???????????? 5 分 ∴ f (m) ? f (n) ? 2 ln m ?

1 2 1 m ? (a ? 1)m ? 2 ln n ? n2 ? (a ? 1)n 2 2

1 ? 2 ln mn ? (m2 ? n2 ) ? (a ? 1)(m ? n) 2 1 ? 2 ln 2 ? [(m ? n)2 ? 2mn] ? (a ? 1)(m ? n) 2 1 ? 2 ln 2 ? [(a ? 1)2 ? 4] ? (a ? 1)2 2 1 ? ? (a ? 1)2 ? 2 ? 2 ln 2 ． 2
∵ ( a +1) 2 >8 ， ∴ f (m) ? f (n) ? 2 ln 2 ? 6 ，即 f ( m) ? f ( n) 的取值范围为 ( - ∞， 2 ln 2 ? 6 ) ． ??????????????????? 8 分 ( Ⅲ ) 证明： f (n) ? f (m) ? 2 ln n ? ????????????? 7 分

1 2 1 n ? (a ? 1)n ? 2 ln m ? m2 ? (a ? 1)m 2 2

? 2 ln

n 1 2 ? (n ? m2 ) ? (a ? 1)(n ? m) m 2
n 1 2 ? (n ? m2 ) ? (m ? n)(n ? m) m 2

? 2 ln

? 2 ln
又 mn ? 2 ，所以 m =

n 1 2 ? (n ? m 2 ) ， m 2

2 ， n
n2 1 2 4 ? n ? 2 ． ????????????? 10 分 2 2 n

于是， f (n) ? f (m) ? 2 ln

由 0< m < n ，可得 n 2 >2 ，解得 n > 2 ．

数学（文史类）答案第5页（共 6 页）

∵ a ≥ 2e ?

2 ?1， e

∴ m + n = a +1 ≥ 2e ? 可解得 0< n ≤ 令

2 2 ，即 + n ≥ 2e ? e n

2 ， e

2 ( 舍去 ) ，或 n ≥ 2e ． ?????????????? 11 分 e

n2 1 = t ，则 n 2 =2 t ，且 t ≥ e ， f (n) ? f (m) ? 2 ln t ? t ? ， 2 t

令 g (t ) ? 2 ln t ? t ? ， 则 g ?(t ) ?

1 t

2 1 2t ? t 2 ? 1 t 2 ? 2t ? 1 (t ? 1) 2 ?1? 2 ? ? ? ? ? ?0， t t t2 t2 t2

∴ g (t ) ? 2 ln t ? t ? ∴ g (t ) max ? 2 ? e ?

1 ? ? ) 上单调递减． 在 [e， t 1 ， e 1 ． ??????????????????? 14 分 e

∴ f ( n ) ? f ( m) ≤ 2 ? e ?

数学（文史类）答案第6页（共 6 页）