2015绵阳二诊数学文答案
/>b b 得 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? ? ，f ?( x) ? 0 ? x ? ? ， a a
绵阳市高 2012 级第二次诊断性考试
数学 ( 文史类 ) 参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分． AADCB BDCBC 10 ．提示：问题转化为 f ( x) max ? 1．由 f ?( x) ? 3ax 2 ? 3b ? 3(ax 2 ? b)(a ? 0 ，b ? 0) ，
即 f ( x ) 在 (0 ， ? ①当 ?
b b ) 递增，在 ( ? ， ? ? ) 递减， a a
b ? 1 ，即 b ? ? a 时， f ( x) min ? f (0) ? 0，f ( x) max ? f (1) ? a ? 3b ? 1 ， a
?3b ? 1 ? a， 1 即? ? 3b ? 1 ? b ? b ? ． 2 ?? a ? b，
②当 ?
b ? 1 即 b ? ? a 时， a
? f (0) ? 0， ? ?4b 3 ? ?a， 3 3 b b 3 ? ，此时 a ? ? . ?? ?b? ? f ( x) max ? f ( ? ) ? 2b ? ? 1， 2 a a 2 ?? a ? 3b， ? ? f (1) ? a ? 3b ? 0， ?
将a??
3 3 3 ，b? 代入检验正确 . 2 2
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11 ．
7 2
12 ． 8.5
13 ． ?
3 2
14 ． ?
7 18
15 ． 6
15 ．提示： PA ? PB ? (PM ? MA) ? (PM ? MB)
? PM ? PM ? ( MB ? MA) ? MA ? MB ? PM ? 1 ，
同理： PC ? PD = PN ? 1 ， P 在椭圆上，所以 PM ? PN ? 2a ? 4 ， ∴ PA ? PB ? PC ? PD ? PM ? PN ? 2 = ( PM ? PN ) 2 ? 2 PM ? PN ? 2 ? 14 ? 2 PM ? PN ? 14 ? (
2 2 2
2
2
PM ? PN 2
)2 ? 6．
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三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分． 16 ． 解： ( Ⅰ) 由茎叶图可知，所抽取 12 人中有 4 人低于 9 分，即有 4 人不是 “满 意观众”， ∴ P=
4 1 ? ， 12 3
1 ． ?? 4 分 3
即从这 12 人中随机选取 1 人，该人不是“满意观众”的概率为
( Ⅱ ) 设本次符合条件的满意观众分别为 A 1 (9.2) ， A 2 (9.2) ， A 3 (9.2) ， A 4 (9.2) ， B 1 (9.3) ， B 2 (9.3) ，其中括号内为该人的分数． ??????????? 6 分 则从中任意选取两人的可能有 ( A 1 ， A 2 ) ， ( A 1 ， A 3 ) ， ( A 1 ， A 4 ) ， ( A 1 ， B 1 ) ， (A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)， ( A 3 ， B 2 ) ， ( A 4 ， B 1 ) ， ( A 4 ， B 2 ) ， ( B 1 ， B 2 ) ，共 15 种，???????? 8 分 其中，分数不同的有 ( A 1 ， B 1 ) ， ( A 1 ， B 2 ) ， ( A 2 ， B 1 ) ， ( A 2 ， B 2 ) ， ( A 3 ， B 1 ) ， ( A 3 ， B 2 ) ， ( A 4 ， B 1 ) ， ( A 4 ， B 2 ) ，共 8 种， ???????????? 10 分 ∴ 所求的概率为
8 ． ????????????????????? 12 分 15
17 ． 解： ( Ⅰ) ∵ S n = ? ? 2 n?1 ? 1 ， ∴ a 1 = S 1 = λ - 1 ， a 2 = S 2 - S 1 =2 λ - 1 - ( λ - 1)= λ ， a 3 = S 3 - S 2 =4 λ - 1 - (2 λ - 1)=2 λ ， ?????????????? 2 分 ∵ { a n } 是等比数列， ∴ a 2 2 = a 1 a 3 ，即 λ 2 =2 λ ( λ - 1) ，解得 λ =0( 不合题意，舍去 ) ，或 λ =2 ． ?? 4 分 ∴ 在 { a n } 中， a 1 =1 ，公比 q =
a2 =2 ， a1
∴ a n =1×2 n ?1 = 2 n ?1 ． ?????????????????????? 6 分 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ) 知， a 2 =2 ， a 3 =4 ，于是 f ( x) ? 4 sin2 x ， ∴ g ( x) ? 4 sin[2( x ? ∵ ?
?
6
)] ? 4 sin(2x ?
?
3
) ． ?????????????? 8 分
?
6
≤x≤
?
6
，
∴ 0 ≤ 2x ?
?
3
≤
2? ，?????????????????????? 10 分 3
∴ 0 ≤ 4 sin(2 x ? 即 g ( x) 在 [?
?
3
) ≤4，
?
， ] 上的最大值为 4 ． ??????????????? 12 分 6 6
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?
1 bc b2 ? c2 ? a 2 2 1 ? ? ， 18 ． 解 ： ( Ⅰ) 由余弦定理得 cos A ? 2bc 2bc 4
则 sin A ? 1 ? cos 2 A ?
15 ． ??????????????????? 4 分 4
(Ⅱ)由 A + B + C = π 有 C = π - ( A + B ) ， 于是由已知 sin B +sin C =
10 10 得 sin B ? sin( A ? B ) ? ， 2 2 10 ， 2
即 sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 将 sin A ?
15 5 15 10 1 cos B ? ， cos A ? 代入整理得 sin B ? ．①??? 7 分 4 4 2 4 4
根据 sin2 B ? cos2 B ? 1 ，可得 cosB ? ? 1 ? sin2 B ． 代入①中，整理得 8sin 2 B - 4 10 sin B +5=0 ， 解得 sin B ?
10 ． ??????????????????????? 10 分 4
a sin B a b ∴ 由正弦定理 有b? ? ? sin A sin A sin B
19 ． 解 ： ( Ⅰ) 如图，连结 BC 1 ． ∵ E ， F 分别是 AB ， AC 1 的中点， ∴ EF // BC 1 ． ∵ BC 1 ? 面 BB 1 C 1 C ， EF ? 面 BB 1 C 1 C ， ∴ EF ∥平面 BB 1 C 1 C ．?????? 4 分 (Ⅱ) 如图，连结 A 1 E ， CE ． ∵ AB // A 1 B 1 ， AB =2 A 1 B 1 ， E 为中点， ∴ A 1 E // B 1 B ，且 A 1 E = B 1 B ．
1?
10 4 ? 6 ． ?????? 12 分 3 15 4
C1
F
A1 C
B1
A
E
B
∴ BE // A 1 B 1 ，且 BE = A 1 B 1 ，即 A 1 B 1 BE 是平行四边形， 由四边形 BB 1 C 1 C 是长方形，知 C 1 C // B 1 B ，且 C 1 C = B 1 B ， ∴ A 1 E // C 1 C ，且 A 1 E = C 1 C ，即 C 1 A 1 EC 是平行四边形， ∴ A 1 C 1 // EC ．????????????????????????? 7 分 ∵ B 1 B ⊥ BC ， B 1 B ⊥ AB ， ∴ B 1 B ⊥面 ABC ，
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∴ B 1 B ⊥ EC ． ????????????????????????? 9 分 由 CA = CB ，得 EC ⊥ AB ， ∴ EC ⊥平面 ABB 1 A 1 ．????????????????????? 10 分 ∴ A 1 C 1 ⊥平面 ABB 1 A 1 ． ∵ A 1 C 1 ? 平面 C 1 AA 1 ， ∴ 平面 C 1 AA 1 ⊥平面 ABB 1 A 1 ． ????????????????? 12 分 20 ． 解 ： ( Ⅰ ) 由已知可设圆 E 的圆心 (0 ， b ) ，则半径为 b ． ∵ 圆心到直线 x - y =0 的距离 d = b 2 ? ( 解得 b 2 =4 ， b = - 2( 舍去 ) ， b =2 ， ∴圆 E 的标准方程为 x 2 +( y - 2) 2 =4 ． ??????????????? 5 分 (Ⅱ) 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)， 由已知直线 MN 的斜率一定存在，设为 k ，则其方程为 y = kx +3 k ，
0?b 2 2 2 ， ) = 2 2 2 1 ?1
? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4， 联立方程 ? ? y ? kx ? 3k，
消去 y ，得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k (3k ? 2) x ? (3k ? 2) 2 ? 4 ? 0 ， 于是 x 1 + x 2 = ?
2k (3k ? 2) (3k ? 2) 2 ? 4 ， x x = ．① 1 2 1? k2 1? k2
????????? 8 分
又 P ， M ， H ， N 四点共线，将四点都投影到 x 轴上， 则
PM PN
?
MH HN
可转化为
x1 ? 3 x0 ? x1 ? ， x2 ? 3 x2 ? x0
???????????????? 10 分
整理得： x0 ?
2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ． 6 ? ( x1 ? x2 )
2?
将①代入可得 x 0 ?
(3k ? 2) 2 ? 4 1? k
2
? 3?
? 2k (3k ? 2) 1? k2 ??
6?
? 2k (3k ? 2) 1? k2
6k ， 2k ? 3
?? 11 分
由
k ? 0 ? 2 ? 3k 1? k
2
? 2 ，可解得 0 ? k ?
12 ，?????????????? 12 分 5
由 x0 = ? ∴ ?
6k 9 24 = - 3+ ，于是可得 ? < x 0 <0 ，满足 - 2< x 0 <2 ， 2k ? 3 2k ? 3 13
24 < x 0 <0 ． ???????????????????????? 13 分 13
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21 ． 解 ：(Ⅰ) ∵ f ?( x) ?
2 x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? x ? (a ? 1) ? ，????????? 2 分 x x
∴ 当 a =2 时， f ?( x) ?
x 2 ? 3x ? 2 ． x
由已知有 m ， n 是方程 x 2 - 3 x +2=0 的两个根， ∴ m =1 ， n =2 ．????????????????????????? 4 分 ( Ⅱ ) 由已知有 m ， n 是方程 x 2 - ( a +1) x +2=0 的两个根， ∴ Δ =( a +1) 2 - 8>0 ， m + n = a +1>0 ， mn =2>0 ． ???????????? 5 分 ∴ f (m) ? f (n) ? 2 ln m ?
1 2 1 m ? (a ? 1)m ? 2 ln n ? n2 ? (a ? 1)n 2 2
1 ? 2 ln mn ? (m2 ? n2 ) ? (a ? 1)(m ? n) 2 1 ? 2 ln 2 ? [(m ? n)2 ? 2mn] ? (a ? 1)(m ? n) 2 1 ? 2 ln 2 ? [(a ? 1)2 ? 4] ? (a ? 1)2 2 1 ? ? (a ? 1)2 ? 2 ? 2 ln 2 ． 2
∵ ( a +1) 2 >8 ， ∴ f (m) ? f (n) ? 2 ln 2 ? 6 ，即 f ( m) ? f ( n) 的取值范围为 ( - ∞， 2 ln 2 ? 6 ) ． ??????????????????? 8 分 ( Ⅲ ) 证明： f (n) ? f (m) ? 2 ln n ? ????????????? 7 分
1 2 1 n ? (a ? 1)n ? 2 ln m ? m2 ? (a ? 1)m 2 2
? 2 ln
n 1 2 ? (n ? m2 ) ? (a ? 1)(n ? m) m 2
n 1 2 ? (n ? m2 ) ? (m ? n)(n ? m) m 2
? 2 ln
? 2 ln
又 mn ? 2 ，所以 m =
n 1 2 ? (n ? m 2 ) ， m 2
2 ， n
n2 1 2 4 ? n ? 2 ． ????????????? 10 分 2 2 n
于是， f (n) ? f (m) ? 2 ln
由 0< m < n ，可得 n 2 >2 ，解得 n > 2 ．
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∵ a ≥ 2e ?
2 ?1， e
∴ m + n = a +1 ≥ 2e ? 可解得 0< n ≤ 令
2 2 ，即 + n ≥ 2e ? e n
2 ， e
2 ( 舍去 ) ，或 n ≥ 2e ． ?????????????? 11 分 e
n2 1 = t ，则 n 2 =2 t ，且 t ≥ e ， f (n) ? f (m) ? 2 ln t ? t ? ， 2 t
令 g (t ) ? 2 ln t ? t ? ， 则 g ?(t ) ?
1 t
2 1 2t ? t 2 ? 1 t 2 ? 2t ? 1 (t ? 1) 2 ?1? 2 ? ? ? ? ? ?0， t t t2 t2 t2
∴ g (t ) ? 2 ln t ? t ? ∴ g (t ) max ? 2 ? e ?
1 ? ? ) 上单调递减． 在 [e， t 1 ， e 1 ． ??????????????????? 14 分 e
∴ f ( n ) ? f ( m) ≤ 2 ? e ?
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