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2015绵阳二诊数学文答案


绵阳市高 2012 级第二次诊断性考试

数学 ( 文史类 ) 参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. AADCB BDCBC 10 .提示:问题转化为 f ( x) max ? 1.由 f ?( x) ? 3ax 2 ? 3b ? 3(ax 2 ? b)(a ? 0 ,b ? 0) ,

/>b b 得 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? ? ,f ?( x) ? 0 ? x ? ? , a a
即 f ( x ) 在 (0 , ? ①当 ?

b b ) 递增,在 ( ? , ? ? ) 递减, a a

b ? 1 ,即 b ? ? a 时, f ( x) min ? f (0) ? 0,f ( x) max ? f (1) ? a ? 3b ? 1 , a

?3b ? 1 ? a, 1 即? ? 3b ? 1 ? b ? b ? . 2 ?? a ? b,
②当 ?

b ? 1 即 b ? ? a 时, a

? f (0) ? 0, ? ?4b 3 ? ?a, 3 3 b b 3 ? ,此时 a ? ? . ?? ?b? ? f ( x) max ? f ( ? ) ? 2b ? ? 1, 2 a a 2 ?? a ? 3b, ? ? f (1) ? a ? 3b ? 0, ?
将a??

3 3 3 ,b? 代入检验正确 . 2 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11 .

7 2

12 . 8.5

13 . ?

3 2

14 . ?

7 18

15 . 6

15 .提示: PA ? PB ? (PM ? MA) ? (PM ? MB)

? PM ? PM ? ( MB ? MA) ? MA ? MB ? PM ? 1 ,
同理: PC ? PD = PN ? 1 , P 在椭圆上,所以 PM ? PN ? 2a ? 4 , ∴ PA ? PB ? PC ? PD ? PM ? PN ? 2 = ( PM ? PN ) 2 ? 2 PM ? PN ? 2 ? 14 ? 2 PM ? PN ? 14 ? (
2 2 2

2

2

PM ? PN 2

)2 ? 6.

数学(文史类)答案第1页(共 6 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16 . 解: ( Ⅰ) 由茎叶图可知,所抽取 12 人中有 4 人低于 9 分,即有 4 人不是 “满 意观众”, ∴ P=

4 1 ? , 12 3
1 . ?? 4 分 3

即从这 12 人中随机选取 1 人,该人不是“满意观众”的概率为

( Ⅱ ) 设本次符合条件的满意观众分别为 A 1 (9.2) , A 2 (9.2) , A 3 (9.2) , A 4 (9.2) , B 1 (9.3) , B 2 (9.3) ,其中括号内为该人的分数. ??????????? 6 分 则从中任意选取两人的可能有 ( A 1 , A 2 ) , ( A 1 , A 3 ) , ( A 1 , A 4 ) , ( A 1 , B 1 ) , (A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1), ( A 3 , B 2 ) , ( A 4 , B 1 ) , ( A 4 , B 2 ) , ( B 1 , B 2 ) ,共 15 种,???????? 8 分 其中,分数不同的有 ( A 1 , B 1 ) , ( A 1 , B 2 ) , ( A 2 , B 1 ) , ( A 2 , B 2 ) , ( A 3 , B 1 ) , ( A 3 , B 2 ) , ( A 4 , B 1 ) , ( A 4 , B 2 ) ,共 8 种, ???????????? 10 分 ∴ 所求的概率为

8 . ????????????????????? 12 分 15

17 . 解: ( Ⅰ) ∵ S n = ? ? 2 n?1 ? 1 , ∴ a 1 = S 1 = λ - 1 , a 2 = S 2 - S 1 =2 λ - 1 - ( λ - 1)= λ , a 3 = S 3 - S 2 =4 λ - 1 - (2 λ - 1)=2 λ , ?????????????? 2 分 ∵ { a n } 是等比数列, ∴ a 2 2 = a 1 a 3 ,即 λ 2 =2 λ ( λ - 1) ,解得 λ =0( 不合题意,舍去 ) ,或 λ =2 . ?? 4 分 ∴ 在 { a n } 中, a 1 =1 ,公比 q =

a2 =2 , a1

∴ a n =1×2 n ?1 = 2 n ?1 . ?????????????????????? 6 分 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ) 知, a 2 =2 , a 3 =4 ,于是 f ( x) ? 4 sin2 x , ∴ g ( x) ? 4 sin[2( x ? ∵ ?

?
6

)] ? 4 sin(2x ?

?
3

) . ?????????????? 8 分

?
6

≤x≤

?
6



∴ 0 ≤ 2x ?

?
3



2? ,?????????????????????? 10 分 3

∴ 0 ≤ 4 sin(2 x ? 即 g ( x) 在 [?

?
3

) ≤4,

?

, ] 上的最大值为 4 . ??????????????? 12 分 6 6
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?

1 bc b2 ? c2 ? a 2 2 1 ? ? , 18 . 解 : ( Ⅰ) 由余弦定理得 cos A ? 2bc 2bc 4
则 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

15 . ??????????????????? 4 分 4

(Ⅱ)由 A + B + C = π 有 C = π - ( A + B ) , 于是由已知 sin B +sin C =

10 10 得 sin B ? sin( A ? B ) ? , 2 2 10 , 2

即 sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 将 sin A ?

15 5 15 10 1 cos B ? , cos A ? 代入整理得 sin B ? .①??? 7 分 4 4 2 4 4

根据 sin2 B ? cos2 B ? 1 ,可得 cosB ? ? 1 ? sin2 B . 代入①中,整理得 8sin 2 B - 4 10 sin B +5=0 , 解得 sin B ?

10 . ??????????????????????? 10 分 4

a sin B a b ∴ 由正弦定理 有b? ? ? sin A sin A sin B
19 . 解 : ( Ⅰ) 如图,连结 BC 1 . ∵ E , F 分别是 AB , AC 1 的中点, ∴ EF // BC 1 . ∵ BC 1 ? 面 BB 1 C 1 C , EF ? 面 BB 1 C 1 C , ∴ EF ∥平面 BB 1 C 1 C .?????? 4 分 (Ⅱ) 如图,连结 A 1 E , CE . ∵ AB // A 1 B 1 , AB =2 A 1 B 1 , E 为中点, ∴ A 1 E // B 1 B ,且 A 1 E = B 1 B .

1?

10 4 ? 6 . ?????? 12 分 3 15 4
C1

F

A1 C

B1

A

E

B

∴ BE // A 1 B 1 ,且 BE = A 1 B 1 ,即 A 1 B 1 BE 是平行四边形, 由四边形 BB 1 C 1 C 是长方形,知 C 1 C // B 1 B ,且 C 1 C = B 1 B , ∴ A 1 E // C 1 C ,且 A 1 E = C 1 C ,即 C 1 A 1 EC 是平行四边形, ∴ A 1 C 1 // EC .????????????????????????? 7 分 ∵ B 1 B ⊥ BC , B 1 B ⊥ AB , ∴ B 1 B ⊥面 ABC ,
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∴ B 1 B ⊥ EC . ????????????????????????? 9 分 由 CA = CB ,得 EC ⊥ AB , ∴ EC ⊥平面 ABB 1 A 1 .????????????????????? 10 分 ∴ A 1 C 1 ⊥平面 ABB 1 A 1 . ∵ A 1 C 1 ? 平面 C 1 AA 1 , ∴ 平面 C 1 AA 1 ⊥平面 ABB 1 A 1 . ????????????????? 12 分 20 . 解 : ( Ⅰ ) 由已知可设圆 E 的圆心 (0 , b ) ,则半径为 b . ∵ 圆心到直线 x - y =0 的距离 d = b 2 ? ( 解得 b 2 =4 , b = - 2( 舍去 ) , b =2 , ∴圆 E 的标准方程为 x 2 +( y - 2) 2 =4 . ??????????????? 5 分 (Ⅱ) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0), 由已知直线 MN 的斜率一定存在,设为 k ,则其方程为 y = kx +3 k ,

0?b 2 2 2 , ) = 2 2 2 1 ?1

? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4, 联立方程 ? ? y ? kx ? 3k,
消去 y ,得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k (3k ? 2) x ? (3k ? 2) 2 ? 4 ? 0 , 于是 x 1 + x 2 = ?

2k (3k ? 2) (3k ? 2) 2 ? 4 , x x = .① 1 2 1? k2 1? k2

????????? 8 分

又 P , M , H , N 四点共线,将四点都投影到 x 轴上, 则

PM PN

?

MH HN

可转化为

x1 ? 3 x0 ? x1 ? , x2 ? 3 x2 ? x0
???????????????? 10 分

整理得: x0 ?

2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) . 6 ? ( x1 ? x2 )

2?
将①代入可得 x 0 ?

(3k ? 2) 2 ? 4 1? k
2

? 3?

? 2k (3k ? 2) 1? k2 ??

6?

? 2k (3k ? 2) 1? k2

6k , 2k ? 3

?? 11 分



k ? 0 ? 2 ? 3k 1? k
2

? 2 ,可解得 0 ? k ?

12 ,?????????????? 12 分 5

由 x0 = ? ∴ ?

6k 9 24 = - 3+ ,于是可得 ? < x 0 <0 ,满足 - 2< x 0 <2 , 2k ? 3 2k ? 3 13

24 < x 0 <0 . ???????????????????????? 13 分 13
数学(文史类)答案第4页(共 6 页)

21 . 解 :(Ⅰ) ∵ f ?( x) ?

2 x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? x ? (a ? 1) ? ,????????? 2 分 x x

∴ 当 a =2 时, f ?( x) ?

x 2 ? 3x ? 2 . x

由已知有 m , n 是方程 x 2 - 3 x +2=0 的两个根, ∴ m =1 , n =2 .????????????????????????? 4 分 ( Ⅱ ) 由已知有 m , n 是方程 x 2 - ( a +1) x +2=0 的两个根, ∴ Δ =( a +1) 2 - 8>0 , m + n = a +1>0 , mn =2>0 . ???????????? 5 分 ∴ f (m) ? f (n) ? 2 ln m ?

1 2 1 m ? (a ? 1)m ? 2 ln n ? n2 ? (a ? 1)n 2 2

1 ? 2 ln mn ? (m2 ? n2 ) ? (a ? 1)(m ? n) 2 1 ? 2 ln 2 ? [(m ? n)2 ? 2mn] ? (a ? 1)(m ? n) 2 1 ? 2 ln 2 ? [(a ? 1)2 ? 4] ? (a ? 1)2 2 1 ? ? (a ? 1)2 ? 2 ? 2 ln 2 . 2
∵ ( a +1) 2 >8 , ∴ f (m) ? f (n) ? 2 ln 2 ? 6 ,即 f ( m) ? f ( n) 的取值范围为 ( - ∞, 2 ln 2 ? 6 ) . ??????????????????? 8 分 ( Ⅲ ) 证明: f (n) ? f (m) ? 2 ln n ? ????????????? 7 分

1 2 1 n ? (a ? 1)n ? 2 ln m ? m2 ? (a ? 1)m 2 2

? 2 ln

n 1 2 ? (n ? m2 ) ? (a ? 1)(n ? m) m 2
n 1 2 ? (n ? m2 ) ? (m ? n)(n ? m) m 2

? 2 ln

? 2 ln
又 mn ? 2 ,所以 m =

n 1 2 ? (n ? m 2 ) , m 2

2 , n
n2 1 2 4 ? n ? 2 . ????????????? 10 分 2 2 n

于是, f (n) ? f (m) ? 2 ln

由 0< m < n ,可得 n 2 >2 ,解得 n > 2 .

数学(文史类)答案第5页(共 6 页)

∵ a ≥ 2e ?

2 ?1, e

∴ m + n = a +1 ≥ 2e ? 可解得 0< n ≤ 令

2 2 ,即 + n ≥ 2e ? e n

2 , e

2 ( 舍去 ) ,或 n ≥ 2e . ?????????????? 11 分 e

n2 1 = t ,则 n 2 =2 t ,且 t ≥ e , f (n) ? f (m) ? 2 ln t ? t ? , 2 t

令 g (t ) ? 2 ln t ? t ? , 则 g ?(t ) ?

1 t

2 1 2t ? t 2 ? 1 t 2 ? 2t ? 1 (t ? 1) 2 ?1? 2 ? ? ? ? ? ?0, t t t2 t2 t2

∴ g (t ) ? 2 ln t ? t ? ∴ g (t ) max ? 2 ? e ?

1 ? ? ) 上单调递减. 在 [e, t 1 , e 1 . ??????????????????? 14 分 e

∴ f ( n ) ? f ( m) ≤ 2 ? e ?

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