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山东省冠县武训高级中学高考数学 3.4 定积分与微积分基本定理复习题库


山东省冠县武训高级中学高考数学复习题库: 3.4 定积分与微积分基 本定理
一、选择题 1.与定积分∫0
3π 3π

1-cos xdx 相等的是(

). B. 2∫0 ?sin ?dx ? 2?


A. 2∫0 sin dx 2

x

?



x?

? ? C.? 2∫0 sin dx? 2 ? ?


x

D.以上结论都不对
2

解析 ∵1-cos x=2sin ,∴∫0 2 ∫0


x



1-cos xdx=

2|sin |dx= 2∫0 |sin |dx. 2 2

x



x

答案 B 2. 已知 f(x)为偶函数,且?6f(x)dx=8,则?6-6f( x)dx=(

?0

?

)

A.0 B.4 C.8 6 6 解析 ? -6f(x)dx=2? f(x)dx=2×8=16. ? ?
0

D.16

答案 D 3.以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度 v=40-10t ,则此物体达到最高 时的高度为( 160 A. m 3 40 C. m 3
2 2

). B. D.
2

80 m 3 20 m 3

解析 v=40-10t =0,=2, 2(40-10 t )dt= t ?

?0

?40t-10t3??2=40×2-10×8=160(m). ? ??0 3 ?? 3 3 ?

答案 A 4.一物体以 v=9. 8t+6.5(单位:m/s)的速度自由下落,则下落后第二个 4 s 内经过的路 程是( ) A.260 m B.258 m C.259 m D.261.2 m 解析

? ? (9.8t+6.5)dt=(4.9t +6.5t) ?4 ?
8 2 4

8

=4.9×64+6.5×8-4.9×16-6.5×4=

313.6+52-78.4-26=261.2. 答案 D 5.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为
1

( 10 A. 3 16 C. 3 B.4 D.6

).

解析 由 y= x及 y=x-2 可得,x=4,所以由 y= x及 y=x-2 及 y 轴所围成的封闭图 16 ?2 3 1 2 ? 形面积为?4( x-x+2)dx=? x - x +2x?|40 = . 3 ?3 2 2 ? ?
0

答案 C 6.已知 a= ?
i=1 n

1?i?2

n?n?

? ? ,n∈N ,b=?1x d x,则 a,b 的大小关系是( ?0
* 2

).

A.a> b C.a<b 答案 A 7.下列积分中

B.a=b D.不确定

1 4-x ①?e dx;②?2-2x dx;③?2 dx ; x ? ? ? π
1 0

2

π ④∫ 0 2 2? A.1 解析 ①

cos 2x cos x-sin x? B.2

dx,积分值等于 1 的个数是( C.3

). D.4

? e1 ? xdx=ln x?e=1, 1 ?1 ?



1 2?2 2 ? -2xdx=2x ?-2=0, ? ? 4-x 1 1 2 dx= ( π 2 )=1, π π 4 cos 2x cos x-sin x? 1 π dx= ∫ 0(cos x+sin x)dx 2 2
2

③?2

?0

π ④∫ 0 2 2?

1 π = (sin x-cos)| 0=1. 2 2 答案 C 二、填空题 8.如果 10 N 的力能使弹簧压缩 10 cm,为在弹性限度 内将弹簧拉长 6 cm,则力所做的功 为______.

2

解析 由 F(x)=kx,得 k=100,F(x)=100x,W=∫0 100xdx=0.18(J). 答案 0.18 J 1 9.曲线 y= 与直线 y=x,x=2 所围成的图形的面积为____________.

0.06

x

答案

3 -ln 2 2
2

10.若?k(2x-3x )dx=0,则 k 等于_________.

?0 ?0

解析 ?k(2x-3x )dx=?k2xdx-?k3x dx=x ? -x3? =k -k =0, ?0 ?0
2 2 2 2 3

k

k

?0

?0

∴k=0 或 k=1. 答案 0 或 1 11. ?2|3-2x|dx=________.

?1

解析

?-2x+3,x≤3, ? 2 ∵| 3-2x|=? 3 ?2x-3,x>2, ?

3 3 ∴?2|3-2x|dx=∫ 1(3-2x)dx+?2 (2x-3)dx 2 ?2 ?
1

= ? 答案

3x-x ? 1 2

2

|

3 3 1 2 1+(x -3x)|2 = . 2 2 2

12.抛物线 y=-x +4x-3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积为 ________. 解析 如图所示,因为 y′=-2x+4,y′|x=1=2,y′|x=3=-2,两切线方程为 y=2(x- 1)和 y=-2(x-3). 由?
?y=2? ?

2

x-1? , x-3?

?y=-2? ?

得 x=2.

所以 S=?2[2(x-1)-(-x +4x-3)]dx+?3[-2(x-3)-(-x +4x-3)]dx

2

2

?1

?2

=?2(x -2x+1)dx+?3(x -6x+9)dx

2

2

?1

?2

3

= 答案

?1x3-x2+x??2+ ?3 ??1 ? ??
2 3

?1x3-3x2+9x??3=2. ?3 ??2 3 ? ??

三、解答题 13.如图在区域 Ω ={(x,y)|-2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒 900 粒豆子,如果落在每个区 域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,试估计落在图中阴影部分的豆子数.

解析 区域 Ω 的面积为 S1=16. 图中阴影部分的面积

S2=S1-

1 3?2 32 2 2 ? -2x dx=16-3x ?-2= 3 . ? ?

设落在阴影部分的豆子数为 m, 由已知 条件 = , 900 S1

m

S2

900S2 即 m= =600.

S1

因此落在图中阴影部分的豆子约为 600 粒. 14.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值.
2

解析 抛物线 y=x-x 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1, 所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积

2

S=?1(x-x2)dx=

?0

?x -1x3??1=1. ? 2 3 ??0 6 ? ??

2

又?

? ?y=x-x , ?y=kx, ?

2

由此可得, 抛物线 y=x-x 与 y=kx 两交点的横坐标为
2

4

x3=0,x4=1-k,所以, S
2 =∫0 (x-x -kx)dx
1-k 2

=?

? ?

1-k 2 1 3??1-k x - x ??0 2 3 ??

1 3 = (1-k) . 6 1 又知 S= , 6 1 3 所以(1-k) = , 2 3 3 1 4 于是 k=1- =1- . 2 2

?1 ? 3 2 15.曲线 C:y=2x -3x -2x+1,点 P? ,0?,求过 P 的切线 l 与 C 围成的图形的面积. ?2 ?
解析 设切点坐标为(x0,y0)

y′=6x2-6x-2,
则 y′|x=x0=6x0-6x0-2,
2

? 1? 2 切线方程为 y=(6x0-6x0-2)?x- ?, ? 2?
1? ? 2 则 y0=(6x0-6x0-2)?x0- ?, 2? ? 1? ? 3 2 2 即 2x0-3x0-2x0+1=(6x0 -6x0-2)?x0- ?. 2? ? 整理得 x0(4x0-6x0+3)=0, 解得 x0=0,则切线方程为 y=-2x+1. 解方程组?
? ?y=-2x+1, ?y=2x -3x -2x+1, ?
3 2 2

? ?x=0, 得? ? ?y=1
3

?x=3, ? 或? 2 ?y=-2. ?
2

由 y=2x -3x -2x+1 与 y=-2x+1 的图象可知

S=∫ 0[(-2x+1)-(2x3-3x2-2x+1)]dx
3 27 3 2 =∫ 0(-2x +3x )dx= . 2 32 16. 已知二次函数 f(x)=3x -3x,直线 l1:x=2 和 l2:y=3tx(其中 t 为常数,且 0<t<1),
5
2

3 2

直线 l2 与函数 f(x)的图象以及直线 l1、2 与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形如图 K15-3, l 设这两个阴影区域的面积之和为 S(t). (1)求函数 S(t)的解析式; (2)定义函数 h(x)=S(x), x∈R.若过点 A(1, )(m≠4)可作曲线 y=h(x)(x∈R)的三条切线, m 求实数 m 的取值范围.

解析

?y=3x -3x, ? (1)由? ? ?y=3tx

2

得 x -(t+1)x=0,

2

所以 x1=0,x2=t+1. 所以直线 l2 与 f(x)的图象的交点的横坐标分别为 0,t+1. 因为 0<t<1,所以 1<t+1<2. t+1 2 2 所以 S(t)=∫0 [3tx-(3x -3x)]dx+?2t+1[(3x -3x)-3tx]dx

?



?3? ? ?
3

t+1? 2 3 x -x ??t+1+ ??0 2 ??

?x3-3? ? ?

t+1? 2??2 x ??t+1 2 ??

=(t+1) -6t+2. 3 (2)依据定义,h(x)=(x+1) -6x+2,x∈R, 2 则 h′(x)=3(x+1) -6. 因为 m≠4,则点 A(1,m)不在曲线 y=h(x)上. 过点 A 作曲线 y=h(x)的切线,设切点为 M(x0,y0), 3 ? x0+1? -6x0+2-m 2 则 3(x0+1) -6= , x0-1 3 化简整理得 2x0-6x0+m=0,其有三个不等实根. 3 2 设 g(x0)=2x0-6x0+m,则 g′(x0)=6x0-6. 由 g′(x0)>0,得 x0>1 或 x0<-1; 由 g′(x0)<0,得-1<x0<1, 所以 g(x0)在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 所以当 x0=-1 时,函数 g(x0)取极大值; 当 x0=1 时,函数 g(x0)取极小值. ?g? -1? >0, ? 3 因此,关于 x0 的方程 2x0-6x0+m= 0 有三个不等实根的充要条件是? ? ?g? 1? <0, 即?
?m+4>0, ? ? ?m-4<0,

即-4<m<4.

故实数 m 的取值范围是(-4,4).

6


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