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2.4.1 抛物线及其标准方程(2)

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第二章圆锥曲线与方程 常宁市第一中学尹忠田 复习引入 H l M F 1.抛物线的定义是什么? 平面内与一个定点F的距离和一条 定直线l(l不经过点F)的距离相等的点 的轨迹. 2.抛物线的标准方程有哪几种形式? 其焦点坐标和准线方程分别是什么? l y O F x y l x l O y y x O F l x F O F y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py p ( , 0) 2 p x= 2 p (- , 0) 2 p x = 2 p (0, ) 2 p y= 2 p (0, - ) 2 p y= 2 焦点要看一次项,符号决定开口方向。 3.抛物线有各种生成方式,抛物线方程 也有一般形式,对抛物线概念与标准方 程作适当拓展,能使我们对抛物线有更 深层次的认识. 探究一:抛物线的生成 思考1:如图,一个动圆M经过一定点 A,且与定直线l相切,则圆心M的轨 迹是什么? l 动画演示 M A 以点A为焦点,直线l为准线的抛物线. 思考2:如图,一个动圆M与一个定圆 C外切,且与定直线l相切,则圆心M 的轨迹是什么? M C 动画演示 l 以点C为焦点的抛物线 思考 3: 如图,两定直线 a 、 b 互相垂直, 点 A为直线 a 上一定点,点B为直线b上 一动点,过点B作AB的垂线,交直线a 于点 C ,在 CB 的延长线上取点 P ,使 BP=BC,则点P的轨迹是什么? D 动画演示 B C b P a A 以点A为焦点的抛物线 探究二:抛物线的一般式方程 思考1:抛物线方程y2=2px与y2=-2px(p>0) 有什么共同特点?这两个方程可以合成 一个什么形式的方程? y2=mx(m≠0) 思考2:抛物线y2=mx(m≠0)的开口方向 与m的取值有什么关系?其焦点坐标和 准线方程分别是什么? m m 焦点为 ( , 0),准线方程为 x = . 4 4 思考3:抛物线方程x2=2py与x2=-2py(p>0) 有什么共同特点?这两个方程可以合成 一个什么形式的方程? x2=my(m≠0) 思考 4: 抛物线 x2 = my(m≠0) 的开口方向 与m的取值有什么关系?其焦点坐标和 准线方程分别是什么? m m 焦点为(0, ),准线方程为 y = . 4 4 例题分析 例1.一种卫星接收天线的轴截面如图所示, 卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛 物线的接收天线,经反射聚集到焦点处 . 已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深 度为0.5m,试建立适当的坐标系,求抛物 线的标准方程和焦点坐标. y 方程: y2=11.52x 焦点:(2.88,0) O x 例 2. 已知抛物线的焦点 F 在 y 轴正半轴 上,A为抛物线上一点,M为抛物线的 准线与y轴的交点,且|AM|= 17,|AF| =3,求抛物线的标准方程. F C O M y A x B C F y A O M x B x2=8y x2=4y 例3.已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上, A、B为抛物线上两点,且|AF|+|BF|= 8, 线段AB的垂直平分线在 x 轴上的截 距为6,求抛物线的标准方程. y A B O y2=8x F M x 解 : 设抛物线为y ? 2 px, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). 2 由抛物线的定义得: AF ? BF ? x1 ? x2 ? p ? 8,? x1 ?

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