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2.1.1指数与指数幂的运算(2)


2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算 (4) (5) (6)(7) 【1】下列说法中正确的序号是____________. (1)16的四次方根是2; (2)正数的n次方根有两个; (3)a的n次方根就是 n a ; (4) ? 4 81 ? ?3; 3 3 (5) ( ? 5) ? ?5;
(6) (? 81) ? 81;

/>4 4

(7) (?8) ? ?8. 【2】计算 (a ? b)2 ? | b ? a | ? | 3 a 3 ? 3 b3 | , (a ? b ? 0). 答案 : -3a ? b. 2016/10/26
3 3

2.1.1指数与指数幂的运算 ?根式是如何定义的?有那些性质? 1.根式定义 2.n次方根的性质
(1) 奇次方根有以下性质: 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质: 正数的偶次方根有两个且是相反数, 负数没有偶次方根, 零的偶次方根是零. 2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1)

? a?
n

n

? a;

(2) a ? a; ( n为奇数)
n n

(3) a ?| a | ( . n为偶数)
n n

4.如果xn=a,那么
?n a, n为奇数, ? ? n x ? ? ? a , n为偶数, a ≥ 0, ?不存在, n为偶数, a ? 0. ? ?
2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算

?整数指数幂是如何定义的?有何规定?

a ? a ? a ?? ? a ( n ? N ) ? ? ?? ?
n n个a

?

a 0 ? 1 ( a ? 0)

a

?n

? 1 ? n ( a ? 0, n ? N ) a
2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
?整数指数幂有那些运算性质?(m,n ∈Z)

(1) a m ? a n ? a m ? n ( m , n ? Z)

(2) (a ) ? a
m n
n

m? n
n

( m, n ? Z)

(3) ( ab) ? a b ( m, n ? Z)
n

(4) a ? a ? a
m n

m?n

(a ? 0 , m, n ? Z, 且m ? n)
m ?n

a ?a ? a ?a
m n
n n

?a

m ?( ? n )

(5) ( a ) ? a n (b ? 0, n ? Z) b b n n ?1 n n ?n a a ( ) ? (a ? b ) ? a ? b ? n b b

2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)

2 ? (2 ) ? 2 ? 2 ;
10 5 2 5 3

10 2

3 ? 3 (3 ) ? 3 ? 3 ;
12 4 3

4

12 3

4

a 12 ? 4 ( a 3 )4 ? a 3 ? a ; a
10

12 4

5

? (a ) ? a ? a
5 2 5 2

10 5

结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
5 3

3 ? 7 ; 7 2 3 2 ? a 3; a
5

4 ? 45 ;
3

3 5

类比

7

a ?a .
9

9 7

总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式.
2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
5

4 ?4 ;
3

3 5

43的5次方根是 4 ; 75的3次方根是 7
5 3 2 3

3 5

3
3

7 ?7 ;
5

5 3

; ;

a ?a ;
2

2 3

a2的3次方根是 a
a9的7次方根是

7

a ?a .
9

9 7

a .

9 7

结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.

综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
1.正数的正分数指数幂的意义:

a ? a
n

m n

m

(a ? 0, m, n ? N , 且n ? 1)

?

2.正数的负分数指数幂的意义:

1 (a ? 0, m , n ? N? , 且n ? 1) ? 1 ? m n m n a a 3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指 数幂没有意义. a
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?m n

2.1.1指数与指数幂的运算
【1】用根式表示下列各式:(a>0)
1 2

1 1 4 a 5 3 2 a a3 a 【2】用分数指数幂表示下列各式:
3
4 3

a

a

3 4

a

?3 5

a

?2 3

(a ? b) (a ? b ? 0) ( a ? b )
3

3 4

( m ? n)

2

( m ? n)

2 3

( m ? n )4 ( m ? n ) p6 ? q 5 ( p ? 0)

( m ? n)2
p3 ? q
5 2
2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
4.有理指数幂的运算性质 (1) a m ? a n ? a m ? n ( m , n ? Z)

(2) (a ) ? a (m , n ? Z) n n n (3) (ab ) ? a b ( m , n ? Z)
m n

m? n

指数的概念从整数指数推广到了有理数 指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 都适用.

(1) a a ? a
r s
r s r

r? s
rs

(a ? 0, r , s ? Q);

(2) (a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q); (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q).
r r
2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算

【1】求下列各式的值.
(1) 8 ,
2 3

(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .
2 3

?1 2
2 3

1 ?5 2

3 ? 16 4 81

解 :(1) 8

? (2 ) ? 2
3 2 ?1 2

3? 2 3

? 2 ? 4;
2 ) 2?( ? 1 2
?1

1 ?5 ? ; (2)25 ? (5 ) ? 5 5 1 ?5 (3) ( 2 ) ? ( 2?1 )?5 ? 25 ? 32;
?1 2

(4) ( ) ? [( ) ] ? ( )

3 ? 16 4 81

3 ? 4 2 4 3

3) ? ( ? 4 2 4 3

?( ) ?
2 ?3 3

27 8

.

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2.1.1指数与指数幂的运算
【题型1】将根式转化分数指数幂的形式. ?当有多重根式是,要由里向外层层转化. ?对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂. ?要熟悉运算性质. 例1.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其 中a >0).

(1) a ? a ;
2 3 2

(2) a 3 a .
2 3

解: (1) a ? a ? a ? a
2 3 2 2

?a

2? 2 3

(2)

a 3 a? (a ? a

1 1 3 2

?a ;
2 3
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8 3

) ? (a ) ? a .

4 1 3 2

2.1.1指数与指数幂的运算
例2.化简下列各式(其中a >0).
3a 4 3 (3) ( ? ) ? 3 27b
?3

3

a 4 ( 3 ) ? (3?2 a b ) 9b

?3

4 ?3 ?3 3

?3 a b
(4) a
9 2 4

?

8 3

?4 ?4

b ? (a b
?3

9 2

?3 4

) ?a b

1 2

9 4

?3 8

2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
【题型2】分数指数幂的运算
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指 数相加,除的指数相减.

(1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b );
解:原式 = [2 ? ( ?6) ? ( ?3)]a
2? 1?1 3 2 6

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

b

1?1?5 2 3 6

? 4ab ? 4a;
0

(2) (a b )( ?4a b) ? (12a b c )
? ( ?4) ? 12a ?1 1 ? ? 3 ac .
?2 ? 1 ? 4

?2 ?3

?1

?4 ?2

b

?3 ? 1 ? 2 ?1

c

2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
(3) ( ?2 x y )(3 x y )( ?4 x y );
1 4 ? 1 3 ? 1 2 2 3 1 4 2 3

解:原式 ? (?2) ? 3 ? (?4) x
? 24 y .
1 4 3 ?8 8 1 4

1?1?1 4 2 4

y

2 2 ?1 ? ? 3 3 3

(4) (m n ) ? (m ) (n ) ? m n .
8
2

3 ?8 8

?3

2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
【题型3】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.

例4.求下列各式的值: (1) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12
2 3 ? 2 ? 3 ? ( ) ? (2 ? 3) 2 1 1 1 ?1 2? 1 ? 2 ? 32 ? 33 ? 2 3 ? 2 6 ? 36 1 2 1 3 1 6

? 2 ? 3 ? 6.

?2

1? 1 ? 2? 1 3 6

?3

1 ?1 ?1 2 3 6

2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
【题型3】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
2 3 3 2 1 4

(2)( 3 25 ? 125) ? 4 5 ? (5 ? 5 ) ? 5
? 5 ?5 ?5 ?5
2 3 1 4 3 2 1 4

?5

2 1 ? 3 4

? 5 ?5
12 5

5 12

?5
5 4

3 1 ? 2 4

? 5 ? 5 5.
4

2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
【题型4】分数指数幂 a
m n

的求值.

例.计算下列各式(式中字母都是正数). 9 ?2 2 2 5 3 3 (1) [( 8) ? ( 10 ) ] ? 10 .
? (2 )
?1 3 ?2 3 2

? (10 ) ] ? 10
3 5 2
1 2

2 9 3 2

5 2

? 2 ? 10 ? 10
? 1 ? 10 2
3? 5 2
?3 4

(2) ( 81 ) ? [(?3)?2 ]2 625 3 3 ? 3 )?3 ? 3?3 ? 125 ? 1 4 4 ?2 2 3 ? ( ? [( ) ] ? (3 ) 5 27 27 5

? 1 ? 10 ? 10 . 2 2 3

? 124 . 27

2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
【题型5】含有分数指数幂的条件等式的求和 和证明
.已知 a +a =3,探究下列各式的值的求法. (1)a+a ;(2)a +a ;(3)
-1 2 -2

1 2

?

1 2

a ?a a ?a
1 2

3 2

? ?

3 2 1 2

.

2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算

总结:利用代数公式进行化简:

a ? b ? (a ? b)(a ? b)(平方差公式 )
2 2

(a ? b) ? a ? 2ab ? b (完全平方公式 )
2 2 2

a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )(立方公式)
3 3 2 2

2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算

补充练习:
?1 2 ?2

1, 已知a ? a ? 3, 则a ? a ? ____, 7 3 ?3 18 . a ? a ? ______
2, 已知 100 ? 50,10 ? 2, 求2a ? b的值?
a b

解.?100 ? 50,?10 ? 50
a 2a

又 ?10 ? 2,?10
b

2 a ?b

? 100 ,? 2a ? b ? 2
2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算

补充练习:

3,已知x ? x
2, 化简
2 3

1 2

1 ? 2

x ?1 ? 5, 求 的值? x 23 1
2

x ?1 x ? x ?1
1 3

?

x ?1 x ?1
1 3

?
3

x ? x3 x ?1
1 3

? x
2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算
4.化简
(1 ? 18 )(1 ? 14 )(1 ? 12 )(1 ? 1 ). 2 2 2 2
解 : (1 ? 18 )(1 ? 14 )(1 ? 12 )(1 ? 1 ) 2 2 2 2 (1 ? 1 ) 2 (1 ? 1 )(1 ? 1 )(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? 2 4 8 1 2 2 2 2 1? 2 (1 ? 12 ) (1 ? 14 ) 2 (1 ? 1 )(1 ? 1 )(1 ? 1 ) 2 (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? ? 2 4 8 4 8 1 2 2 2 1 2 2 1? 1? 2 2 (1 ? 18 ) 1? 1 16 2 1 2 ? 2? 1 . ? (1 ? 8 ) ? 15 2 2 1? 1 1? 1 2 2 2016/10/26

2.1.1指数与指数幂的运算 【题型6】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算
例7.求下列各式中x的范围

(1). 1 ? x ;
4

x≤1

(2).( x ? 1)
(4).x
1 ? 2

1 ? 3 X≠1

(3).( x ? 1)

2 3

X∈R

X>0

(5).(3 ? 2 x ? x )

3 ? 2 4
(-3,1)

(6).(| x | ?1)

1 ? 3
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X≠±1

2.1.1指数与指数幂的运算
1.分数指数概念
(1) a
m n

?

n

am ;

(a>0,m,n∈N*, n>1)
n

(2) a

?m n

? 1 ? m an

1 ; am

(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义.

2.有理指数幂运算性质

(1) a a ? a (a ? 0, r , s ? Q); (2) (a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q); r r r (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q).
r s

r ?s

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