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【高三总复习】2013高中数学技能特训:3-3 三角函数的图象与性质(人教B版) 含解析


3-3 三角函数的图象与性质 基础巩固强化 1.(文)(2012· 安徽文,7)要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将 函数 y=cos2x 的图象( ) B.向右平移 1 个单位 1 D.向右平移2个单位

A.向左平移 1 个单位 1 C.向左平移2个单位 [答案] C

[解析] 本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题

. 1 ∵y=cos(2x+1)=cos2(x+2),所以只需将 y=cos2x 图象向左平移 1 2个单位即可得到 y=cos(2x+1)的图象. (理)(2012· 浙江理, 4)把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下 平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

[答案] A [解析] 本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变化,y=cos2x+

① y=cosx+1――→ ② y=cos(x+1)+1――→ ③ y=cos(x+1),故选 A. 1――→ (其中①为各点横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变;②为左移 1 个单位长度;③为下移 1 个单位长度.) 2.(文)函数 f(x)=sin2x 的最小正周期和最小值分别为( A.2π,-1 C.π,0 [答案] C [解析] ∵f(x)=sin2x= 1-cos2x 2π ,∴周期 T = 2 2 =π, B.2π,0 D.π,1 )

又 f(x)=sin2x≥0,∴最小值为 0,故选 C. (理)(2011· 济南模拟)函数 f(x)=2cos2x- 3sin2x(x∈R)的最小正周 期和最大值分别为 ( A.2π,3 C.π,3 [答案] C [解析] 由题可知,f(x)=2cos2x- 3sin2x=cos2x- 3sin2x+1= ) B.2π,1 D.π,1

π 2sin(6-2x)+1,所以函数 f(x)的最小正周期为 T=π,最大值为 3,故 选 C. 3.设 a=log2tan70° ,b=log2sin25° ,c=log2cos25° ,则它们的大 小关系为( A.a<c<b C.a<b<c [答案] A [解析] ∵tan70° >tan45° =1>cos25° >sin25° >0,y=log2x 为单调递
1 1 1 1

) B.b<c<a D.b<a<c

减函数,∴a<c<b. 4.(2012· 河北保定模拟)已知向量 a=(cosθ,sinθ)与 b=(cosθ,- sinθ)互相垂直,且 θ 为锐角,则函数 f(x)=sin(2x-θ)的图象的一条对 称轴是直线( A.x=π π C.x=4 [答案] B [解析] a· b=cos2θ-sin2θ=cos2θ=0, π π ∵θ 为锐角,∴θ=4,∴f(x)=sin(2x-4). π π kπ 3π 由 2x-4=kπ+2得,x= 2 + 8 , 7π 令 k=1 得 x= 8 ,故选 B. 5. 为了使函数 y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值, 则 ω 的最小值是( A.98π 199 C. 2 π [答案] B 1 [解析] 由题意至少出现 50 次最大值即至少需用 494个周期,∴ 1 197 2π 197 494· T= 4 · ≤ 1 ,∴ ω ≥ ω 2 π,故选 B. π? ? 6.(文)函数 f(x)=sin?ωx-3?(ω>0)的最小正周期为 π,则函数 f(x)
? ?

) 7π B.x= 8 π D.x=2

) 197 B. 2 π D.100π

的单调递增区间为(

)

π 5π? ? A.?kπ-6,kπ+ 6 ?(k∈Z)
? ?

5π 11π? ? B.?kπ+ 6 ,kπ+ 6 ?(k∈Z)
? ? ?

π 5π? ? C.?kπ-12,kπ+12?(k∈Z)
?

5π 11π? ? D.?kπ+12,kπ+ 12 ?(k∈Z)
? ?

[答案] C 2π [解析] 由条件知,T= ω =π,∴ω=2, π π π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z 得, π 5π kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z,故选 C. π (理)(2012· 河北郑口中学模拟)已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,-2 5π <φ<0)在 x= 6 处取得最大值, 则 f(x)在[-π, 0]上的单调增区间是( 5π A.[-π,- 6 ] π C.[-3,0] [答案] D 5π π [解析] ∵f(x)=Asin(x+φ)在 x= 6 处取得最大值, A>0, -2<φ<0, π π π π π ∴φ=-3,∴f(x)=Asin(x-3),由 2kπ-2≤x-3≤2kπ+2(k∈Z)得 2kπ π 5π π -6≤x≤2kπ+ 6 ,令 k=0 得-6≤x≤0,故选 D. 7. 5π π B.[- 6 ,-6] π D.[-6,0] )

(2012· 北京东城练习)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A、 ω、 φ 是常数, A>0, ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)=________ [答案] 6 2

7π π [解析] 由题图知 A= 2,∵T=4(12-3)=π, 2π 2π ∴ω= T = π =2. 7π 又∵图象过点(12,- 2), 7π π ∴- 2= 2sin(2×12+φ),∴φ=3+2kπ(k∈Z), π π 不妨取 φ=3,∴f(x)= 2sin(2x+3), π 6 ∴f(0)= 2sin3= 2 . π 8. (2011· 济南调研)设函数 y=2sin(2x+3)的图象关于点 P(x0,0)成中 π 心对称,若 x0∈[-2,0],则 x0=________. π [答案] -6 π [解析] ∵函数 y=2sin(2x+3)的对称中心是函数图象与 x 轴的交 π π π 点,∴2sin(2x0+3)=0,∵x0∈[-2,0]∴x0=-6.

9.(2012· 衡阳六校联考)给出下列命题: 3 ①存在实数 x,使得 sinx+cosx=2;②若 α、β 为第一象限角,且 π 2x α>β,则 tanα>tanβ;③函数 y=sin(3- 5 )的最小正周期为 5π;④函数 y 2x 7π π =cos( 3 + 2 )是奇函数;⑤函数 y=sin2x 的图象向左平移4个单位,得 π 到 y=sin(2x+4)的图象. 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上) [答案] ③④ π [解析] 对于①,因为 sinx+cosx= 2sin(x+4)∈[- 2, 2],而 3 3 > 2 ,因此不存在实数 x ,使得 sin x + cos x = 2 2,故①不正确;对于②, 取 α=30° +360° ,β=30° ,则 tanα=tanβ,因此②不正确;对于③,函 π 2x 2π 数 y=sin(3- 5 )的最小正周期是 T= 2 =5π,因此③正确;对于④,令 5 2x 7π 2x f(x)=cos( 3 + 2 ), 则 f(x)=sin 3 , f(-x)=-f(x), 因此④正确; 对于⑤, π π π 函数 y=sin2x 的图象向左平移4个单位, 得到 y=sin2(x+4)=sin(2x+2) 的图象,因此⑤不正确.综上所述,其中正确命题的序号是③④. ?sinx-cosx?sin2x 10.(2012· 北京文)已知函数 f(x)= . sinx (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间. [分析] (1)定义域由 sinx≠0 易求.将 sin2x=2sinxcosx 代入,再 利用二倍角公式化简,最后利用辅助角公式化为一个角的一个三角函

数形式后求得周期. π 3π (2)利用 y=sinx 的单调减区间是[2kπ+2,2kπ+ 2 ](k∈Z)求 f(x)单 调减区间. [解析] (1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. 因为 f(x)= ?sinx-cosx?sin2x sinx

=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1 π = 2sin(2x-4)-1, 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π 3π (2)函数 y=sinx 的单调递减区间为[2kπ+2,2kπ+ 2 ](k∈Z). π π 3π 由 2kπ+2≤2x-4≤2kπ+ 2 ,x≠kπ(k∈Z), 3π 7π 得 kπ+ 8 ≤x≤kπ+ 8 (k∈Z). 3π 7π 所以 f(x)的单调递减区间为[kπ+ 8 ,kπ+ 8 ](k∈Z). 能力拓展提升 11.( 文 )(2011· 湖北文, 6) 已知函数 f(x) = 3sinx - cosx , x ∈ R. 若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为( )

π A.{x|2kπ+3≤x≤2kπ+π,k∈Z} π B.{x|kπ+3≤x≤kπ+π,k∈Z} π 5π C.{x|2kπ+6≤x≤2kπ+ 6 ,k∈Z}

π 5π D.{x|kπ+6≤x≤kπ+ 6 ,k∈Z} [答案] A [解析] π π 1 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x-6)≥1,即 sin(x-6)≥2,∴

π π 5π 2kπ+6≤x-6≤2kπ+ 6 k∈Z, π ∴2kπ+3≤x≤2kπ+π(k∈Z). π (理)(2011· 湖南张家界月考)若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x<2, 则 f(x)的最大值为( A.1 C. 3+1 [答案] B [解析] f(x)=(1+ 3tanx)cosx π? ? =cosx+ 3sinx=2sin?x+6?,
? ?

) B.2 D. 3+2

π π π 2π ∵0≤x<2,∴6≤x+6< 3 , π? ? 1 ∴2≤sin?x+6?≤1,∴f(x)的最大值为 2.
? ?

πx 12.(文)(2011· 北京大兴区模拟)已知函数 f(x)= 3sin R 图象上相邻 的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆 x2+y2=R2 上,则 f(x)的最 小正周期为( A.1 [答案] D ) B.2 C.3 D.4

2π [解析] f(x)的周期 T= π =2R,f(x)的最大值是 3,结合图形分析 R 知 R> 3,则 2R>2 3>3,只有 2R=4 这一种可能,故选 D. R R2 [点评] 题中最大值点应为( 2 , 3),由 4 +3=R2 得 R2=4,∴|R| 2π =2,∴T= π =4. |R| (理)(2011· 北京西城模拟)函数 y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图 所示,设 P 是图象的最高点,A、B 是图象与 x 轴的交点,则 tan∠APB =( )

A.10 8 C.7 [答案] B

B.8 4 D.7

[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解. [解析]

如图,过 P 作 PC⊥x 轴,垂足为 C,设∠APC=α,∠BPC=β, 1 2π AC 2 1 ∴∠APB=α+β,y=sin(πx+φ),T= π =2,tanα=PC=1=2,tanβ= 3 1 3 2+2 tanα+tanβ BC 2 3 = 1 3=8, PC=1=2,则 tan(α+β)=1-tanα· tanβ 1-2×2 ∴选 B. 13.(文)(2011· 湖南长沙一中月考)下列函数中,图象的一部分如图 所示的是( )

π A.y=sin(2x+6) π B.y=sin(2x-6)

π C.y=cos(2x+3) π D.y=cos(2x-6) [答案] D π π π [解析] 将(-6, 0)代入选项逐一验证, 对 A 项, y=sin(-3+6)≠0, π A 错;对 B 项,y=sin(-2)=-1≠0,B 错;对 C 项 y=cos0=1≠0, π π π C 错;对 D 项,y=cos(-3-6)=cos2=0 符合,故选 D. (理)(2012· 湖南衡阳联考二)已知函数 y=f(x)sinx 的一部分图象如图 所示,则函数 f(x)的表达式可以是( )

A.2sinx C.-2sinx [答案] D

B.2cosx D.-2cosx

[解析] 由图象知,y=-sin2x=-2sinxcosx=f(x)sinx,∴f(x)=- 2cosx. π 14.已知关于 x 的方程 2sin2x- 3sin2x+m-1=0 在 x∈(2,π)上 有两个不同的实数根,则 m 的取值范围是________.

[答案] -2<m<-1 [解析] m=1-2sin2x+ 3sin2x=cos2x+ 3sin2x π =2sin(2x+6), π ∵x∈(2,π)时,原方程有两个不同的实数根, π π ∴直线 y=m 与曲线 y=2sin(2x+6),x∈(2,π)有两个不同的交点, ∴-2<m<-1. A 15.(文)(2012· 山东理,17)已知向量 m=(sinx,1),n=( 3Acosx,2 cos2x)(A>0),函数 f(x)=m· n 的最大值为 6. (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移12个单位,再将所得图象上各点 1 的横坐标缩短为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象.求 5π g(x)在[0,24]上的值域. [分析] (1)根据向量的数量积的坐标运算, 利用辅助角公式得到函 数解析式,进而确定 A 的值;(2)利用图象变换得到函数 g(x)的解析式, 再根据角的范围求出函数的值域. [解析] (1)∵f(x)=m· n A = 3Asinxcosx+ 2 cos2x 3 A π = 2 Asin2x+ 2 cos2x=Asin(2x+6), 又 f(x)的最大值为 6, ∴A=6

π π (2)函数 y=f(x)的图象向左平移12个单位得到函数 y=6sin[2(x+12) π π +6],即 y=6sin(2x+3)的图象,再将所得图象上各点的横坐标缩短为 1 π 原来的2,纵坐标不变,得到函数 g(x)=6sin(4x+3)的图象. 5π π π 7π π 1 当 x∈[0,24]时,4x+3∈[3, 6 ],sin(4x+3)∈[-2,1],g(x)∈[- 3,6]. 5π 故函数 g(x)在[0,24]上的值域为[-3,6]. [点评] 本题综合考查了三角函数 y= Asin(ωx+φ)的性质以及图

象变换,求函数值域时要注意角的范围的讨论. π π ( 理 )(2012· 天津理, 15) 已知函数 f(x) = sin(2x + 3 ) + sin(2x - 3 ) + 2cos2x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π π (2)求函数 f(x)在区间[-4,4]上的最大值和最小值. [分析] (1)先用两角和与差的正弦公式展开, 然后用辅助角公式化 为一个角的一个三角函数, 可求得最小正周期; (2)根据函数 f(x)的在区 π π 间[-4,4]上的单调性求最值. [解析] cos2x π =sin2x+cos2x= 2sin(2x+4). 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π π π (1)f(x)=sin2x· cos3+cos2x· sin3+sin2x· cos3-cos2x· sin3+

π π π π (2)因为 f(x)在区间[-4,8]上是增函数,在区间[8,4]上是减函数, π π π π π f(-4)=-1,f(8)= 2,f(4)=1,故函数 f(x)在区间[-4,4]上的最 大值为 2,最小值为-1. [点评] 本小题主要考查两角和与差的正弦公式、 二倍角的余弦公 式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力. 16.(文)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,向量 m =(b,2a-c),n=(cosB,cosC),且 m∥n. (1)求角 B 的大小; B? ? (2)设 f(x)=cos?ωx- 2 ?+sinωx(ω>0),且 f(x)的最小正周期为 π,求
? ?

π f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值. [解析] (1)由 m∥n 得,bcosC=(2a-c)cosB, ∴bcosC+ccosB=2acosB. 由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, 即 sin(B+C)=2sinAcosB. 又 B+C=π-A,∴sinA=2sinAcosB. 1 又 sinA≠0,∴cosB=2. π 又 B∈(0,π),∴B=3. π (2)由题知 f(x)=cos(ωx-6)+sinωx 3 3 π = 2 cosωx+2sinωx= 3sin(ωx+6), 2π π 由已知得 ω =π,∴ω=2,f(x)= 3sin(2x+6),

π π π 7π π 1 当 x∈[0,2]时,(2x+6)∈[6, 6 ],sin(2x+6)∈[-2,1]. π π 因此,当 2x+6=2, π 即 x=6时,f(x)取得最大值 3. π 7π π 3 当 2x+6= 6 ,即 x=2时,f(x)取得最小值- 2 . 3 (理)已知 a=( 3,cosx),b=(cos2x,sinx),函数 f(x)=a· b- 2 . (1)求函数 f(x)的单调递增区间; π? ? (2)若 x∈?0,4?,求函数 f(x)的取值范围;
? ?

(3) 函数 f(x) 的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函 数? 3 [解析] (1)函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- 2 = 3?
?1+cos2x? 1 3 ?+ sin2x- 2 2 ? ? 2

π? ? 3 1 = 2 cos2x+2sin2x=sin?2x+3?, ? ? π π π 由-2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ,k∈Z 得, 5π π -12+kπ≤x≤12+kπ,k∈Z, π ? 5π ? 所以 f(x)的单调递增区间为?-12+kπ,12+kπ?,(k∈Z).
? ?

π? ? π ?π 5π? (2)∵x∈?0,4?,∴2x+3∈?3, 6 ?,
? ? ? ?

π π π ∴当 2x+3=2即 x=12时,f(x)max=1,

π 5π π 1 1 当 2x+3= 6 即 x=4时,f(x)min=2,∴2≤f(x)≤1. π (3)将 f(x)的图象上所有的点向右平移6个单位长度得到 y=sin2x 的 图象,则其对应的函数即为奇函数.(答案不唯一)

1.(2012· 浙江诸暨质检)函数 f(x)=sin2x+ 3cos2x 的图象可以由 函数 y=2sin2x 的图象经哪种平移得到( π A.向左平移12个单位 π C.向右平移12个单位 [答案] B π π [解析] ∵f(x)=sin2x+ 3cos2x=2sin(2x+3)=2sin2(x+6), ∴f(x) π 的图象可以由函数 y=2sin2x 向左平移6个单位得到,故应选 B. π 2. (2012· 福建文,8)函数 f(x) =sin(x-4 ) 的图象的一条对称轴是 ( ) π A.x=4 π C.x=-4 [答案] C [解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题. π 函数 f(x)=sin(x-4)的图象的对称轴是, π π 3π x-4=kπ+2,k∈Z,即 x=kπ+ 4 ,k∈Z. π B.x=2 π D.x=-2 )

π B.向左平移6个单位 π D.向右平移6个单位

3π π 当 k=-1 时,x=-π+ 4 =-4. [ 点评 ] 点. 1+sinx1 1+sinx2 π? ? 3.对任意 x1、x2∈?0,2?,x2>x1,y1= x ,y2= x ,则
? ?
1 2

正弦 (余弦 )型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低

(

) A.y1=y2 B.y1>y2 C.y1<y2 D.y1、y2 的大小关系不能确定 [答案] B [解析] 1+sinx1 取函数 y=1+sinx,则 x 的几何意义为过原点及点 1

1+sinx2 (x1,1+sinx1)的直线斜率, x 的几何意义为过原点及点(x2,1+sinx2) 2 的直线斜率,由 x1<x2,观察函数 y=1+sinx 的图象可得 y1>y2.选 B. π π 4.(2012· 新课标全国理,9)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+4)在(2, π)上单调递减,则 ω 的取值范围是( 1 5 A.[2,4] 1 C.(0,2] [答案] A [解析] 题. π 5π 9π π ω=2 时,ωx+4∈[ 4 , 4 ]不合题意,排除 D,ω=1 时,(ωx+4) 本题考查了三角函数 y= Asin(ωx+φ)的性质及间接法解 ) 1 3 B.[2,4] D.(0,2]

3π 5π ∈[ 4 , 4 ]合题意,排除 B,C. π 5.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ<2)的图 π 象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2,且图象上的一个最
?2π ? 低点为 M? 3 ,-2?.则 f(x)的解析式为( ? ?

) π? ? B.f(x)=2cos?2x+6?
? ?

π? ? A.f(x)=2sin?2x+6?
? ?

π? ? C.f(x)=sin?2x+3?
? ?

π? ? D.f(x)=cos?2x+3?
? ?

[答案] A
?2π ? [解析] 由最低点为 M? 3 ,-2?得 A=2. ? ?

π T π 由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为2得,2 =2, 2π 2π 即 T=π,∴ω= T = π =2. 2π ?2π ? ? ? 由 点 M ? 3 ,-2? 在 函 数 图 象 上 得 , 2sin ?2× 3 +φ? = - 2 , 即 ? ? ? ?
?4π ? 4π π sin? 3 +φ?=-1,故 3 +φ=2kπ-2,k∈Z, ? ?

π? ? 11π π ∴φ=2kπ- 6 .又 φ∈?0,2?,∴φ=6, ? ? π? ? 故 f(x)=2sin?2x+6?.
? ?

6.M、N 是曲线 y=πsinx 与曲线 y=πcosx 的两个不同的交点,则 |MN|的最小值为( A.π C. 3π ) B. 2π D.2π

[答案] C
?π ?5π 2π? 2π? ?,N? ,- ?,∴ [解析] 其中与原点最近的两交点 M? , 2 ? 2 ? ?4 ?4

|MN|= 3π. π π 7.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(其中 ω>0,-2<φ<2)的图象如图所示, 若点 A 是函数 f(x)的图象与 x 轴的交点,点 B、D 分别是函数 f(x)的图
?π ? →· →的 象的最高点和最低点, 点 C?12,0?是点 B 在 x 轴上的射影, 则AB BD ? ?

值是(

)

A.8 π2 C. 8 -8 [答案] C

B.-8 π2 D.- 8 +8

T π π π [解析] 由图可知4=3-12=4,∴T=π,∴ω=2, π π 由 2· + φ = π 知, φ = 3 3, π ? → ? π ? ?π ? ?7π ? → =? ? ,2? , BD 从 而 A ?-6,0? , B ?12,2? , D ?12,-2? , AB = 4
? ? ? ? ? ? ? ? ?π ? →· → =π -8. ? ,-4?,∴AB BD 8 ?2 ?
2

π π 8.(2012· 昆明一中模拟)设函数 f(x)=2cos2(4-x)+sin(2x+3)-1,

x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0,2]时,求函数 f(x)的值域. 1 3 π [解析] (1)因为 f(x)=2sin2x+ 2 cos2x+cos(2-2x) 3 3 π =2sin2x+ 2 cos2x= 3sin(2x+6), 2π 所以函数 f(x)的最小正周期是 T= 2 =π. π π π 7π (2)因为 x∈[0,2],所以 2x+6∈[6, 6 ], π 3 于是 3sin(2x+6)∈[- 2 , 3], π 3 所以当 x∈[0,2]时,函数 f(x)的值域是[- 2 , 3].


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