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不等式高级水平必备


不等式高级水平必备----tobeenough

不等式高级水平必备 目录 Ch1. 伯努利不等式 Ch2. 均值不等式 Ch3. 幂均不等式 Ch4. 柯西不等式 Ch5. 切比雪夫不等式 Ch6. 排序不等式 Ch7. 琴生不等式 Ch8. 波波维奇亚不等式 Ch9. 加权不等式 Ch10. 赫尔德不等式 Ch11. 闵可夫斯基不等式 Ch12. 牛顿不等

式 Ch13. 麦克劳林不等式 Ch14. 定义多项式 Ch15. 舒尔不等式 Ch16. 定义序列 Ch17. 缪尔海德不等式 Ch18. 卡拉玛塔不等式 Ch19. 单调函数不等式 Ch20. 3 个对称变量 pqr 法 Ch21. 3 个对称变量 uvw 法 Ch22. ABC 法 Ch23. SOS 法 Ch24. SMV 法 Ch25. 拉格朗日乘数法 Ch26. 三角不等式 Ch27. 习题与习题解析



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Ch1. 伯努利不等式 1.1 若实数 xi ( i ? 1, 2, ..., n )各项符号相同,且 xi ? ?1 ,则:

(1 ? x1 )(1 ? x2 )...(1 ? xn ) ? 1 ? x1 ? x2 ? ... ? xn
( 1) 式为伯努利不等式.

( 1)

当 x1 ? x2 ? ... ? xn ? x 时, ( 1) 式变为: (1 ? x )n ? 1 ? nx Ch2. 均值不等式 2.1 若 a1 , a2 ,..., an 为正实数,记: ⑴ Qn ? ⑵ An ?

(2)

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ,为平方平均数,简称平方均值; n
a1 ? a2 ? ... ? an ,为算术平均数,简称算术均值; n

⑶ Gn ? n a1a2 ...an ,为几何平均数,简称几何均值; ⑷ Hn ?
n 1 1 1 ? ? ... ? a1 a 2 an

,为调和平均数,简称调和均值.

则: Qn ? An ? Gn ? Hn
iff

( 3)

a1 ? a2 ? ... ? an 时,等号成立. (注: iff ? if and only if 当且仅当.)

( 3 ) 式称为均值不等式.

Ch3.幂均不等式 3.1 设 a ? (a1 , a2 ,..., an ) 为正实数序列,实数 r ? 0 ,则记:

? a1r ? a2 r ? ... ? an r ? r M r (a ) ? ? ? n ? ?
( 4 ) 式的 M r (a ) 称为幂平均函数.

1

(4 )

3.2 若 a ? (a1 , a2 ,..., an ) 为正实数序列,且实数 r ? 0 ,则:

M r ( a ) ? M s (a )

(5 )

当 r ? s 时, ( 5 ) 式对任何 r 都成立,即 M r (a ) 关于 r 是单调递增函数.
( 5 ) 式称为幂平均不等式,简称幂均不等式.

3.3 设 m ? (m1 , m2 ,..., mn ) 为非负实数序列,且 m1 ? m2 ? ... ? mn ? 1 ,若 a ? (a1 , a2 ,..., an ) 为 正实数序列,且实数 r ? 0 ,则:
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Mrm (a ) ? (m1a1r ? m2 a2 r ? ... ? mnanr ) r
(6 ) 式称为加权幂平均函数.

1

(6 )

3.4 若 a ? (a1 , a2 ,..., an ) 为正实数序列,且实数 r ? 0 ,对 Mrm (a) 则: Mrm (a) ? Msm (a) 即: (m1a1 ? m2 a2 ? ... ? mnan ) ? (m1a1 ? m2 a2 ? ... ? mnan )
r r s s 1 r r 1 s s

(7 )

当 r ? s 时, (7 ) 式对任何 r 都成立,即 Mrm (a) 关于 r 是单调递增函数.
(7 ) 式称为加权幂平均不等式,简称加权幂均不等式.

Ch4. 柯西不等式 4.1 若 a1 , a2 ,..., an 和 b1 , b2 ,..., bn 均为实数,则:

(a12 ? a2 2 ? ... ? an2 )(b12 ? b2 2 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2
iff

(8 )

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立.(注: iff ? if and only if 当且仅当.) b1 b2 bn

( 8 ) 式为柯西不等式.

4.2 柯西不等式还可以表示为:
( a1 2 ? a2 2 ? ... ? an 2 b1 2 ? b2 2 ? ... ? bn 2 a b ? a2 b2 ? ... ? anbn 2 )( )?( 1 1 ) n n n
(9 )

简称: “平方均值两乘积,大于积均值平方” 我们将
a1b1 ? a2 b2 ? ... ? an bn a b ? a2 b2 ? ... ? anbn 简称为积均值,记: Dn ? 1 1 . n n
(10 )

则: [Qn (a)]2 [Qn (b)]2 ? [ Dn (ab)]4 ,即: Qn (a )Qn (b) ? Dn (ab) 4.3 推论 1:若 a, b, c, x, y, z 为实数, x , y , z ? 0 ,则:

a 2 (a ? a2 ? ... ? an )2 a12 a2 2 ? ? ... ? n ? 1 b1 b2 bn b1 ? b2 ? ... ? bn
iff

(11)

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立. b1 b2 bn

(11) 式是柯西不等式的推论,称权方和不等式.

4.4 推论 2:若 a1 , a2 ,..., an 和 b1 , b2 ,..., bn 均为实数,则:
a12 ? b12 ? a2 2 ? b2 2 ? ... ? an 2 ? bn 2 ? ( a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 ? ( b1 ? b2 ? ... ? bn ) 2 (12 )
iff

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立. b1 b2 bn
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4.5 推论 3:若 a, b, c, x, y, z 为正实数,则:
x y z (b ? c ) ? (c ? a ) ? (a ? b) ? 3(ab ? bc ? ca ) y?z z? x x? y
(13)

Ch5. 切比雪夫不等式 5.1 若 a1 ? a2 ? ... ? an ; b1 ? b2 ? ... ? bn ,且均为实数.则:

(a1 ? a2 ? ... ? an )(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n(a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )
iff

(14 )

a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,等号成立.

(12 ) 式为切比雪夫不等式.

由于有 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 条件,即序列同调, 所以使用时,常采用 WLOG a1 ? a2 ? ... ? an …… (注: WLOG ? Without Loss Of Generality 不失一般性) 5.2 切比雪夫不等式常常表示为:
( a1 ? a2 ? ... ? an b1 ? b2 ? ... ? bn a b ? a2 b2 ? ... ? an bn )( )?( 1 1 ) n n n
(15 )

简称: “切比雪夫同调数,均值积小积均值”. 即:对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时,两个序列数的均值之积不大 于两个序列数各积之均值. 则: An (a) An (b) ? [ Dn (ab)]2 即: An (a ) An (b) ? Dn (ab) Ch6. 排序不等式 6.1 若 a1 ? a2 ? ... ? an ; 对于 (a1 , a2 ,..., an ) 的任何轮换 ( x1 , x2 ,..., xn ) , b1 ? b2 ? ... ? bn 为实数, 都有下列不等式:
(16 )

a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn ? x1b1 ? x2 b2 ? ... ? xnbn ? anb1 ? an?1b2 ? ... ? a1bn
(17 ) 式称排序不等式(也称重排不等式).

(17 )

其中, a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn 称正序和, anb1 ? an?1b2 ? ... ? a1bn 称反序和,

x1b1 ? x2b2 ? ... ? xnbn 称乱序和. 故 (17 ) 式可记为:
正序和 ? 乱序和 ? 反序和
(18 )

6.2 推论:若 a1 , a2 ,..., an 为实数,设 ( x1 , x2 ,..., xn ) 为 (a1 , a2 ,..., an ) 的一个排序,则:

a12 ? a2 2 ? ... ? an2 ? a1 x1 ? a2 x2 ? ... ? an xn
Ch7. 琴生不等式
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(19 )

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7.1 定义凸函数:对一切 x, y ? [a, b] , ? ? (0, 1) ,若函数 f :[a , b] ? R 是向下凸函数,则:
f (? x ? (1 ? ? ) y ) ? f ( x ) ? (1 ? ? ) f ( y )

( 20 )

( 20 ) 式是向下凸函数的定义式.

注: f :[a , b] ? R 表示区间 [a , b] 和函数 f ( x ) 在 [a , b] 区间都是实数. 7.2 若 f : (a, b) ? R 对任意 x ? (a, b) ,存在二次导数 f ''( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 在 ( a , b ) 区间为向 下凸函数; iff x ? (a, b) 时,若 f ''( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 在 ( a , b ) 区间为严格向下凸函数. 7.3 若 f1 , f 2 ,..., f n 在 ( a , b ) 区间为向下凸函数, 则函数 c1 f1 ? c2 f 2 ? ... ? cn fn 在在 ( a , b ) 区间对 任何 c1 , c2 ,..., cn ? (0, ?) 也是向下凸函数. 7.4 若 f : (a, b) ? R 是一个在 ( a , b ) 区间的向下凸函数,设 n ? N , ?1 ,?2 ,...,?n ? (0, 1) 为实 数,且 ?1 ? ?2 ? ... ? ?n ? 1 ,则对任何 x1 , x2 ,..., xn ? (a, b) ,有:

f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ... ? ?n xn ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ... ? ?n f ( xn )
( 21) 式就是加权的琴生不等式.

( 21)

简称: “对于向下凸函数,均值的函数值不大于函数的均值”. Ch8. 波波维奇亚不等式 8.1 若 f :[a , b] ? R 是一个在 [a , b] 区间的向下凸函数,则对一切 x , y, z ? [a, b] ,有:
f( x? y?z f ( x) ? f ( y) ? f (z) 2 x? y y?z z?x )? ? [f( )? f ( )? f ( )] 3 3 3 2 2 2
( 22 )

( 22 ) 式就是波波维奇亚不等式.

8.2 波波维奇亚不等式可以写成:

f(

x? y?z f ( x) ? f ( y) ? f ( z) x? y y?z z? x )? f( )? f ( )? f ( ) 3 3 2 2 2 ? 2 3

( 23)

简称: “对于向下凸函数的三点情况,三点均值的函数与函数的均值之平均值,不小于 两点均值的函数值之平均值”. 8.3 若 f :[a , b] ? R 是一个在 [a , b] 区间的向下凸函数, a1 , a2 ,..., an ? [a, b] ,则:

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (an ) ? n(n ? 2) f (a) ? (n ? 1)[ f (b1 ) ? f (b2 ) ? ... ? f (bn )]
其中: a ?
a1 ? a2 ? ... ? an 1 , bi ? ? a (对所有的 i ) n n ? 1 i? j j

( 24 )

( 24 ) 式是普遍的波波维奇亚不等式.

当 a1 ? x ,a2 ? y ,a3 ? z ,n ? 3 时,a ?
第 5

x? y?z z? x x? y y?z ,b1 ? ,b2 ? ,b3 ? 3 2 2 2


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代入 ( 23) 式得:
f ( x) ? f ( y) ? f ( z) ? 3 f ( x? y?z y?z z? x x? y ) ? 2[ f ( )? f ( )? f ( )] 3 2 2 2
( 25 )

即: f (

x? y?z f ( x) ? f ( y) ? f (z) 2 x? y y?z z?x )? ? [f( )? f ( )? f ( )] 3 3 3 2 2 2

( 25 ) 式正是 ( 22 ) 式.

Ch9. 加权不等式 9.1 若 ai ? (0, ?) , ?i ? [0, 1] ( i ? 1, 2, ..., n ) ,且 ?1 ? ?2 ? ... ? ?n ? 1 ,则:

a1?1 a2?2 ...an?n ? a1?1 ? a2?2 ? ... ? an?n

( 26 )

( 26 ) 式就是加权的均值不等式,简称加权不等式. ( 26 ) 式形式直接理解为:几何均值不大于算术均值.

Ch10. 赫尔德不等式

a p bq 1 1 10.1 若实数 a, b ? 0 ,实数 p, q ? 1 且 ? ? 1 ,则: ab ? ? p q p q
iff a p ? bq 时,等号成立.

( 27 )

( 27 ) 式称为杨氏不等式.

10.2 若 a1 , a2 ,...an 和 b1 , b2 ,...bn 为正实数, p, q ? 1 且
p p p 1 p

1 1 ? ? 1 ,则: p q
q q 1 q q

a1b1 ? a2 b2 ? ... ? anbn ? (a1 ? a2 ? ... ? an ) (b1 ? b2 ? ... ? bn )
( 28 ) 式称为赫尔德不等式.

( 28 )

iff

an p a1 p a2 p 时,等号成立. ? ? ... ? b1q b2 q bnq

10.3 赫尔德不等式还可以写成:

a1b1 ? a2 b2 ? ... ? anbn a p ? a2 p ? ... ? an p p b1q ? b2 q ? ... ? bn q q ?( 1 ) ( ) n n n
即: [ Dn (ab)]2 ? M p (a)Mq (b) ,即: M p (a ) M q (b) ? Dn (ab) 简称: “幂均值的几何均值不小于积均值”. (注:赫尔德与切比雪夫的不同点:赫尔德要求是 赫尔德的积均值小,切比雪夫的积均值大.)
( 30 )

1

1

( 29 )

1 1 ? ? 1 ,切比雪夫要求是同调; p q



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10.4 若 a1 , a2 ,...an 、 b1 , b2 ,...bn 和 m1 , m2 ,...mn 为三个正实数序列, p, q ? 1 且
? n p ? p ? n q ?q a b m ? ? i i i ? ? ai mi ? ? ? bi mi ? i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ?
n 1 1

1 1 ? ? 1 ,则: p q

( 31)

( 31) 式称为加权赫尔德不等式. iff

an p a1 p a2 p 时,等号成立. ? ? ... ? b1q b2 q bnq

10.5 若 aij ( i ? 1, 2,..., m ; j ? 1, 2, ..., n ), ?1 , ? 2 ,..., ? n 为正实数且 ?1 ? ? 2 ? ... ? ? n ? 1 ,则:

? (? aij j ) ? ? (? aij )
?
i ?1 j ?1 j ?1 i ?1

m

n

n

m

?j

( 32 )

( 32 ) 式称为普遍的赫尔德不等式.

10.6 推论:若 a1 , a2 , a3 ? N ? , b1 , b2 , b3 ? N ? , c1 , c2 , c3 ? N ? ,则:

(a13 ? a2 3 ? a3 3 )(b13 ? b2 3 ? b3 3 )(c13 ? c2 3 ? c3 3 ) ? (a1b1c1 ? a2b2c2 ? a3b3c3 )3
简称: “立方和的乘积不小于乘积和的立方”. Ch11.闵可夫斯基不等式 11.1 若 a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn 为正实数,且 p ? 1 ,则:

( 33)

(? (ai ? bi ) ) ? (? ai ) ? (? bi )
p p p i ?1 i ?1 i ?1

n

1 p

n

1 p

n

1 p

( 34 )

iff

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立. b1 b2 bn

( 34 ) 式称为第一闵可夫斯基不等式.

11.2 若 a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn 为正实数,且 p ? 1 ,则:
n n p ? n p p? p p p ? (? ai ) ? (? bi ) ? ? ? (ai ? bi ) i ?1 i ?1 ? i ?1 ? 1 1

( 35 )

iff

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立. b1 b2 bn

( 35 ) 式称为第二闵可夫斯基不等式.

11.3 若 a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn ; m1 , m2 ,..., mn 为三个正实数序列,且 p ? 1 ,则:

(? (ai ? bi ) p mi ) p ? (? ai p mi ) p ? (? bi p mi ) p
i ?1 i ?1 i ?1

n

1

n

1

n

1

( 36 )



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iff

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立. b1 b2 bn

( 36 ) 式称为第三闵可夫斯基不等式.

Ch12.牛顿不等式 12.1 若 a1 , a2 ,..., an 为任意实数,考虑多项式:

P( x) ? ( x ? a1 )( x ? a2 )...( x ? an ) ? c0 x n ? c1 x n?1 ? ... ? cn?1 x ? cn
的系数 c0 , c1 ,..., cn 作为 a1 , a2 ,..., an 的函数可表达为:

( 37 )

c0 ? 1 ;
c1 ? a1 ? a2 ? ... ? an ;
(i ? j ? n) c2 ? a1a2 ? a1a3 ? ... ? an?1an ? ? ai a j ; (i ? j ? k ? n) c3 ? ? ai a j ak ; ……

cn ? a1a2 ...an .
对每个 k ? 1, 2,..., n ,我们定义 pk ?

ck k !( n ? k )! ? ck k Cn n!

( 38 )

k 则 ( 37 ) 式类似于二项式定理,系数为: ck ? Cn pk .

12.2 若 a1 , a2 ,..., an 为正实数,则对每个 k ? 1, 2,..., n ? 1 有:

pk ?1 pk ?1 ? pk 2
iff

( 39 )

a1 ? a2 ? ... ? ak 时,等号成立.

( 39 ) 式称为牛顿不等式.

Ch13.麦克劳林不等式 13.1 若 a1 , a2 ,..., an 为正实数,按 ( 38 ) 定义,则:

p1 ? p2 2 ? ... ? pk k ... ? pn n
iff

1

1

1

( 40 )

a1 ? a2 ? ... ? ak 时,等号成立.

( 40 ) 称麦克劳林不等式.

Ch14.定义多项式 14.1 若 x1 , x2 ,..., xn 为正实数序列,并设 ?1 , ? 2 ,..., ? n 为任意实数. 记: F ( x1 , x2 ,..., xn ) ? x1?1 x2?2 ... xn?n ;
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T[?1 , ? 2 ,..., ?n ] 为 F ( x1 , x2 ,..., xn ) 所有可能的积之和,遍及 ?1 , ? 2 ,..., ? n 的所有轮换.
14.2 举例说明 ⑴ T [1, 0 , 0 ] :表示共有 3 个参数的所有积之和,共有 3 ! ? 6 项.第 1 个参数的指数是 1 , 第 2 和第 3 个参数的指数是 0 . 故: T[1, 0, 0] ? ( 3 ? 1)!? ( x1 y0 z0 ? y1 x0 z0 ? z 1 y0 x0 ) ? 2( x ? y ? z ) . ⑵ T [1, 1] :表示共有 2 个参数的所有积之和,共有 2 ! ? 2 项.第 1 个和第 2 个参数的指 数是 1 . 故: T[1, 1] ? ( 2 ? 1)!? ( x 1 y 1 ) ? 2xy . ⑶ T [1, 2] :表示共有 2 个参数的所有积之和,共有 2 ! ? 2 项.第 1 个参数的指数是 1 , 第 2 个参数的指数是 2 . 故: T[1, 2] ? ( 2 ? 1)!? ( x1 y 2 ? y1 x 2 ) ? xy 2 ? x 2 y . ⑷ T [1, 2, 1] :表示共有 3 个参数的所有积之和,共有 3 ! ? 6 项.第 1 个参数的指数是 1 , 第 2 个参数的指数是 2 ,第 3 个参数的指数是 1 . 故: T[1, 2, 1] ? 2( xy 2 z ? x 2 yz ? xyz 2 ) . 即: T [1, 2, 1] ? T [2, 1, 1] ⑸ T [ 2, 1, 0 ] :表示共有 3 个参数的所有积之和,共有 3 ! ? 6 项.第 1 个参数的指数是 2 , 第 2 个参数的指数是 1 ,第 3 个参数的指数是 0 . 故: T[2, 1, 0] ? x 2 y ? x 2 z ? y 2 x ? y 2 z ? z 2 x ? z 2 y . ⑹ T [ 3, 0 , 0 ]:表示共有 3 个参数的所有积之和,共有 3 ! ? 6 项.第 1 个参数的指数是 3 , 第 2 个和第 3 个参数的指数是 0 . 故: T[3, 0, 0] ? 2( x 3 ? y 3 ? z 3 ) . ⑺ T [a , b, c ] :表示共有 3 个参数的所有积之和,共有 3 ! ? 6 项.第 1 个参数的指数是 a , 第 2 个参数的指数是 b ,第 3 个参数的指数是 c . 故: T[a, b, c] ? xa yb z c ? xa yc z b ? xb yc z a ? xb ya z c ? xc ya z b ? xc yb z a . 由于 T[a, b, c] ? T[b, c, a] ? T[c, a, b] ? T[c, b, a] ? T[b, a, c] ? ... 表达式比较多, 所以我们规定: T [a , b, c ] ( a ? b ? c ). Ch15.舒尔不等式 15.1 若 ? ? R ,且 ? ? 0 ,则:
T [? ? 2 ? , 0, 0] ? T[? , ? , ? ] ? 2T[? ? ? , ? , 0]
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( 41)

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( 41) 式称为舒尔不等式.

15.2 解析 ( 41) 式

T[? ? 2? , 0, 0] ? 2( x? ? 2? ? y? ? 2? ? z? ? 2? ) ; T[? , ? , ? ] ? 2( x? y ? z ? ? x ? y? z ? ? x ? y ? z? ) ;
T[? ? ? , ? , 0] ? x? ? ? y? ? x ? y? ?? ? y? ?? z ? ? y? z? ?? ? x? z? ?? ? x? ?? z ?
将上式代入 ( 41) 式得:

x? ? 2? ? y? ? 2? ? z? ? 2? ? x? y? z ? ? x? y? z ? ? x? y? z? ? x? ?? y? ? x? y? ?? ? y? ?? z ? ? y? z? ?? ? x? z? ?? ? x? ?? z ?
即: x? ? 2? ? y? ? 2? ? z? ? 2? ? x? y ? z ? ? x ? y? z ? ? x ? y? z?

? x? ? ? y? ? x? y? ?? ? y? ?? z ? ? y? z? ?? ? x? z? ? ? ? x? ? ? z ? ? 0
即: x? ( x 2? ? y ? z ? ? x ? y ? ? x ? z ? ) ? y? ( y 2? ? x ? z ? ? x ? y ? ? y ? z ? )

? z? ( z 2 ? ? x ? y ? ? y ? z ? ? x ? z ? ) ? 0
即: x? ( x? ? y? )( x ? ? z ? ) ? y? ( y ? ? z ? )( y ? ? x ? ) ? z? ( z ? ? x ? )( z ? ? y ? ) ? 0 ( 42 )
( 42 ) 式与 ( 41) 式等价,称为舒尔不等式.

15.3 若实数 x , y , z ? 0 ,设 t ? R ,则:

xt ( x ? y)( x ? z) ? yt ( y ? z)( y ? x) ? z t ( z ? x)( z ? y) ? 0
iff
x ? y ? z 或 x ? y, z ? 0 及轮换,等号成立.

( 43)

按照 ( 41) 式写法,即: ? ? t , ? ? 1 ,则:
T [t ? 2, 0, 0] ? T [t , 1, 1] ? 2T [t ? 1, 1, 0]

( 44 )

( 43) 式是我们最常见的舒尔不等式形式.

15.4 推论:设实数 x , y , z ? 0 ,实数 a, b, c ? 0 且 a ? b ? c 或 a ? b ? c ,则:
a( x ? y )( x ? z ) ? b( y ? z )( y ? x ) ? c( z ? x )( z ? y ) ? 0 ( 43) 式中, x t ? a , y t ? b , z t ? c ,就得到 ( 45 ) 式.

( 45 )

15.5 推论:设实数 x , y , z ? 0 ,则:
3 3 3

3 xyz ? x 3 ? y 3 ? z 3 ? 2[( xy ) 2 ? ( yz ) 2 ? ( zx ) 2 ]

( 46 )

15.6 推论:若 k ? (0, 3] ,则对于一切 a, b, c ? R? ,有:



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2 k ( 3 ? k ) ? k (abc )

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca )

( 47 )

Ch16. 定义序列
n n 16.1 设存在两个序列 ( ? i )i ?1 ? ( ? 1 , ? 2 ,..., ? n ) 和 (? i )i ?1 ? (?1 , ? 2 ,..., ? n ) ,当满足下列条件:

⑴ ?1 ? ? 2 ? ... ? ? n ? ?1 ? ?2 ? ... ? ?n ⑵ ?1 ? ? 2 ? ... ? ? n 且 ?1 ? ? 2 ? ... ? ? n ⑶ ?1 ? ? 2 ? ... ? ? s ? ?1 ? ?2 ? ... ? ? s 对一切 s ? [1, n] ,③式都成立.

① ② ③

n 则: ( ? i )n i ? 1 就是 (? i )i ? 1 的优化值,记作: ( ? i ) ? (?i ) .

注:这里的序列只有定性的比较,没有定量的比较. Ch17.缪尔海德不等式 17.1 若 x1 , x2 ,..., xn 为非负实数序列,设 (? i ) 和 ( ? i ) 为正实数序列,且 ( ? i ) ? (?i ) ,则:

T[? i ] ? T[?i ]
iff

( 48 )

(?i ) ? ( ? i ) 或 x1 ? x2 ? ... ? xn 时,等号成立.

( 48 ) 式就缪尔海德不等式.

17.2 解析 ( 48 ) 式 若实数 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,实数 b1 ? b2 ? b3 ? 0 ,且满足 a1 ? b1 , a1 ? a2 ? b1 ? b2 ,

a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 ;设 x , y , z ? 0 ,则:满足序列 (b1 , b2 , b3 ) ? (a1 , a2 , a3 ) 条件,
则: T[b1 , b2 , b3 ] ? x b1 y b2 z b3 ? x b1 y b3 z b2 ? x b2 y b1 z b3 ? x b2 y b3 z b1 ? x b3 y b1 z b2 ? x b3 y b2 z b1

T[a1 , a2 , a3 ] ? x a1 ya2 z a3 ? x a1 ya3 z a2 ? x a2 y a1 z a3 ? x a2 y a3 z a1 ? x a3 y a1 z a2 ? x a3 y a2 z a1
即 ( 48 ) 式为: T[b1 , b2 , b3 ] ? T[a1 , a2 , a3 ] 用通俗的方法表达即: ? x a1 y a2 z a3 ?
sym sym

? xb yb zb
1 2

3

( 49 )

( 49 ) 式就缪尔海德不等式的常用形式.

17.3 例题:设 ( x, y, z ) 为非负变量序列,考虑 ( 2, 2, 1) 和 ( 3, 1, 1) . 由 16.1 中的序列优化得: ( 2, 2, 1) ? ( 3, 1, 1) 由缪尔海德不等式 ( 48 ) 式得: T [2, 2, 1] ? T [3, 1, 1] ①

T[2, 2, 1] ? 2( x 2 y 2 z ? x 2 yz 2 ? xy 2 z 2 ) T[3, 1, 1] ? 2( x 3 yz ? xy 3 z ? xyz 3 )





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将②③代入①得: x y z ? x2 yz 2 ? xy 2 z 2 ? x 3 yz ? xy 3 z ? xyz 3 即: xy ? yz ? zx ? x 2 ? y 2 ? z 2 ④

2 2

由柯西不等式: ( x 2 ? y 2 ? z 2 )( y 2 ? z 2 ? x 2 ) ? ( xy ? yz ? zx)2 即: ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 ? ( xy ? yz ? zx)2 即: x 2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx ⑤

⑤式④式等价, 这就证明了④式是成立的, 而缪尔海德不等式直接得到①式是成立的. ⑤式可以用 T [2, 0, 0] ? T [1, 1, 0] 来表示,这正是缪尔海德不等式的 ( 48 ) 式. Ch18.卡拉玛塔不等式 18.1 设在实数区间 I ? R 的函数 f 为向下凸函数,且当 ai , bi ? I ( i ? 1, 2, ..., n )两个序列
n n ( ai )i ? 1 和 (bi )i ?1 满足 (ai ) ? (bi ) ,则:

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (an ) ? f (b1 ) ? f (b2 ) ? ... ? f (bn )
(50 ) 式称为卡拉玛塔不等式.

(50 )

18.2 若函数 f 为严格向下凸函数,即不等取等号, (ai ) ? (bi ) ,且 (ai ) ? (bi ) ,则:

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (an ) ? f (b1 ) ? f (b2 ) ? ... ? f (bn )
若函数 f 为严格向上凸函数,则卡拉玛塔不等式反向. Ch19.单调函数不等式

(51)

19.1 若实数函数 f : (a, b) ? R 在区间 ( a , b ) 对一切 x , y ? (a, b) 为单调增函数, 则当 x ? y 时, 有 f ( x ) ? f ( y ) ;若 f 在区间 ( a , b ) 对一切 x , y ? (a, b) 为严格单调增函数,当 x ? y 时, 有 f ( x) ? f ( y) . 19.2 若实数函数 f : (a, b) ? R 在区间 ( a , b ) 对一切 x , y ? (a, b) 为单调减函数, 则当 x ? y 时, 有 f ( x ) ? f ( y ) ;若 f 在区间 ( a , b ) 对一切 x , y ? (a, b) 为严格单调减函数,当 x ? y 时, 有 f ( x) ? f ( y) . 19.3 若实数函数 f : (a, b) ? R 在区间 ( a , b ) 为可导函数,当对一切 x ? (a, b) , f '( x ) ? 0 , 则 f 在区间 ( a , b ) 为单调递增函数;当对一切 x ? (a, b) , f '( x ) ? 0 ,则 f 在区间 ( a , b ) 为单调递减函数. 19.4 设两个函数 f :[a , b] ? R 和 g :[a , b] ? R 满足下列条件: ⑴ 函数 f 和 g 在 [a , b] 区间是连续的,且 f (a ) ? g(a ) ; ⑵ 函数 f 和 g 在 [a , b] 区间可导;
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⑶ 导数 f '( x ) ? g '( x ) 对一切 x ? (a, b) 成立, 则对一切 x ? (a, b) 有: f ( x ) ? g( x )
(52 ) 式就是单调函数不等式. (52 )

Ch20. 3 个对称变量 pqr 法 20.1 设 x, y, z ? R? ,对于具有变量对称形式的不等式,采用下列变量代换:
p ? x ? y ? z ; q ? xy ? yz ? zx ; r ? xyz ,则 p, q, r ? R? .

代换后的不等式 f ( p, q, r ) ,很容易看出其满足的不等式关系,这样证明不等式的方法 称为 pqr 法. 20.2 常用的代换如下: ⑴ ⑵ ⑶

? x 2 ? p2 ? 2q
cyc

? x 3 ? p( p2 ? 3q ) ? 3r
cyc

? x 2 y 2 ? q 2 ? 2 pr
cyc

⑷ ( x ? y )( y ? z )( z ? x ) ? pq ? r ⑸ ⑹

? ( x ? y )( y ? z ) ? p2 ? q
cyc

? xy( x ? y ) ? pq ? 3r
cyc

⑺ (1 ? x )(1 ? y )(1 ? z ) ? 1 ? p ? q ? r ⑻

? (1 ? x )(1 ? y ) ? 3 ? 2 p ? q
cyc

⑼ ? x 2 ( y ? z ) ? ? xy( x ? y ) ? pq ? 3r
cyc cyc

20.3 常用的 pqr 法的不等式 若 x , y , z ? 0 ,则: ⑴ p3 ? qr ? 4 pq ⑵ pq ? 9r ⑶ p2 ? 3q ⑷ p3 ? 27r
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⑸ q ? 27r ⑹ q2 ? 3 pr

3

2

⑺ 2 p3 ? 9r ? 7 pq ⑻ 2 p3 ? 9r 2 ? 7 pqr ⑼ p2q ? 3 pr ? 4q2 Ch21. 3 个对称变量 uvw 法 21.1 在 a , b, c ? R 的不等式中,采用下列变量代换:
3u ? a ? b ? c ; 3v 2 ? ab ? bc ? ca ; w 3 ? abc .

上述变换强烈含有“平均”的意味: ; v 对应“积均值” ; w 对应“几何平均值”. u 对应“算术平均值” 21.2 当 a, b, c ? 0 时,则: u ? v ? w
(53) 式称为傻瓜不等式. (53)

即: “算术平均值”≥“积均值”≥“几何平均值”. 21.3 若 a, b, c ? 0 ,则 u, v 2 , w3 ? 0
(54 ) 式称为正值定理. (54 )

21.4 若 u, v 2 , w3 ? R ,任给 a , b, c ? R ,则当且仅当 u2 ? v 2 , 且 w 3 ? [3uv 2 ? 2u3 ? 2 (u2 ? v 2 )3 , 3uv 2 ? 2u 3 ? 2 (u 2 ? v 2 )3 ] 时, 则: 3u ? a ? b ? c , 3v 2 ? ab ? bc ? ca , w 3 ? abc 等式成立. 这称为 uvw 定理. Ch22. ABC 法 22.1 ABC 法即 Abstract Concreteness Method 设 p ? x ? y ? z ; q ? xy ? yz ? zx ; r ? xyz . 则函数 f ( x , y, z ) 变换为 f (r , q, p) . 这与 Ch20. 3 个对称变量 pqr 法类似. 22.2 若函数 f (r , q, p) 是单调的,则当 ( x ? y )( y ? z )( z ? x ) ? 0 时, f (r , q, p) 达到极值. 22.3 若函数 f (r , q, p) 是凸函数,则当 ( x ? y )( y ? z )( z ? x ) ? 0 时, f (r , q, p) 达到极值. 22.4 若函数 f (r , q, p) 是 r 的线性函数, 则当 ( x ? y )( y ? z )( z ? x ) ? 0 时, f (r , q, p) 达到极值.
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22.5 若函数 f (r , q, p) 是 r 的二次三项式,则当 ( x ? y )( y ? z )( z ? x ) ? 0 时, f (r , q, p) 达到极 值. Ch23. SOS 法 23.1 SOS 法即 Sum Of Squares 23.2 本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式:

S ? Sa (b ? c )2 ? Sb (a ? c )2 ? Sc (a ? b)2
其中, Sa , Sb , Sc 分别都是 a, b, c 的函数. ⑴ 若 Sa , Sb , Sc ? 0 ,则 S ? 0 ;

(55 )

⑵ 若 a ? b ? c 或 a ? b ? c ,且 Sb , Sb ? Sa , Sb ? Sc ? 0 ,则 S ? 0 ; ⑶ 若 a ? b ? c 或 a ? b ? c ,且 Sa , Sc , Sa ? 2Sb , Sc ? 2Sb ? 0 ,则 S ? 0 ; ⑷ 若 a ? b ? c ,且 Sb , Sc , a 2 Sb ? b 2 Sa ? 0 ,则 S ? 0 ; ⑸ 若 Sa ? Sb ? 0 或 Sb ? Sc ? 0 或 Sc ? Sa ? 0 ,且 Sa Sb ? Sb Sc ? Sc Sa ? 0 ,则 S ? 0 . 23.3 常用的形式 ⑴

? a 2 ? ? ab ? 2 ? (a ? b)2
cyc cyc cyc

1



? a 3 ? 3abc ? 2 ? a ? ? (a ? b)2
cyc cyc cyc

1



? a 2b ? ? ab2 ? 3 ? (a ? b)3
cyc cyc cyc

1



? a 3 ? ? a 2b ? 3 ? ( 2a ? b)(a ? b)2
cyc cyc cyc

1

⑸ ⑹

? a 3b ? ? ab3 ? 3 ? a ? ? (b ? a )3
cyc cyc cyc cyc

1

? a 4 ? ? a 2 b 2 ? 2 ? (a ? b )2 (a ? b )2
cyc cyc cyc

Ch24. SMV 法 24.1 SMV 法即 Strong Mixing Variables Method 本法对多于 2 个变量的对称不等式非常有用. 24.2 设 ( x1 , x2 ,..., xn ) 为任意实数序列,
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⑴ 选择 i , j ? {1, 2, ..., n} 使 xi ? min{ x1 , x2 ,..., xn } , x j ? max{ x1 , x2 ,..., xn } ; ⑵ 用其平均数 的极限 x ?
xi ? x j 2

代替 xi 和 x j ,经过多次代换后各项 xi ( i ? 1, 2, ..., n )都趋于相同

x1 ? x2 ? ... ? xn . n

24.3 设实数空间的函数 F 是一个对称的连续函数,满足

F (a1 , a2 ,..., an ) ? F (b1 , b2 ,..., bn )

(56 )

其中, (b1 , b2 ,..., bn ) 序列是由 (a1 , a2 ,..., an ) 序列经过预定义变换而得到的. 预定义变换可根据当前的题目灵活采用,如 24.4 例题说明 例题:设实数 a, b, c ? 0 ,证明: 解析:采用 SMV 法. 设: f (a , b, c ) ? 则: f ( t , t , c ) ? 其中, t ?
a b c ? ? b?c c?a a?b
a b c 3 ? ? ? . b?c c?a a?b 2

a?b a 2 ? b2 , ab , 等等. 2 2

① ②

t t c 2t c ? ? ? ? t ? c c ? t t ? t t ? c 2t

a?b . 2

由②得: f ( t , t , c ) ?

2t c 1 1 2t c?t 1 1 3 ?( ? )? ? ( ? )? ? 2? ? t ? c 2t 2 2 t?c 2t 2 2 2
3 证毕. 2

由 (56 ) 式得: f (a , b, c ) ? f ( t , t , c ) ? Ch25.拉格朗日乘数法

25.1 设函数 f ( x1 , x2 ,..., xn ) 在实数空间的 I ? R 连续可导,且 gi ( x1 , x2 ,..., xn ) ? 0 ,其中 ( i ? 1, 2, ....k ) ,即有 k 个约束条件,则 f ( x1 , x2 ,..., xn ) 的极值出现在 I 区间的边界 或偏导数(函数为 L ? f ? ? ?i gi )全部为零的点上.
i ?1 k

这就是拉格朗日乘数法. Ch26.三角不等式 26.1 设 ? , ? , ? ? (0, ? ) ,且 ? ? ? ? ? ? ? ,则 ? , ? , ? 就是同一个三角形的内角.
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26.2 若 ? , ? , ? 为同一个三角形的内角,则有下列不等式: ⑴ sin ? ? sin ? ? sin ? ? ⑵ cos ? ? cos ? ? cos ? ? ⑶ sin ? sin ? sin ? ? ⑷ cos ? cos ? cos ? ?
3 3 ; 2
3 ; 2

3 3 ; 8
1 ; 8

⑸ sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? ⑹ cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ?

9 ; 4
3 ; 4

⑺ tan? ? tan ? ? tan ? ? 3 3 (锐角三角形) ; ⑻ cot ? ? cot ? ? cot ? ? 3 ; ⑼ sin ⑽ cos ⑾ sin ⑿ cos

?
2

? sin

?
2

? sin

?
2

?

3 ; 2

?
2

? cos
sin

?
2

? cos

?
2

?

3 3 ; 2

?
2

?
2

sin

?
2

?

1 ; 8

?
2

cos

?
2

cos

?
2

?

3 3 ; 8

⒀ sin 2 ⒁ cos 2 ⒂ tan ⒃ cot Ch27.习题

?
2

? sin 2
? cos 2

?
2

? sin 2

?
2

?
?

3 ; 4
9 ; 4

?
2

?
2

? cos 2

?
2

?
2

? tan
? cot

?
2
2

? tan
? cot

?
2

? 3;

?
2

?

?
2

?3 3.

27.1 设 x1 , x2 ,..., xn ? (0, 1] ,求证: ( 1 ? x1 ) ( 1 ? x2 ) ...( 1 ? xn )
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1 x2

1 x3

1 x1

? 2n .

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27.2 设 x1 , x2 ,..., xn ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ... ? xn ?

1 1 ,求证: ( 1 ? x1 )( 1 ? x2 )...( 1 ? xn ) ? . 2 2

27.3 设 a1 , a2 , ..., an ? R? ,且 a1a2 ...an ? 1 ,求证: a1 ? a2 ? ... ? an ? a1 ? a2 ? ... ? an . 27.4 设 a, b, c ? 0 ,且 abc ? 1 ,求证: a3 ? b3 ? c 3 ? ab ? bc ? ca . 27.5 设 a, b, c , d ? 0 ,求证: 27.6 设 a, b, c ? 0 ,求证:
a b c d 2 ? ? ? ? . b ? 2c ? 3d c ? 2d ? 3a d ? 2a ? 3b a ? 2b ? 3c 3

a 2 ? bc b 2 ? ca c 2 ? ab ? ? ? a?b?c. b?c c?a a?b

a b 27.7 设 a, b ? 0 , n ? N ,求证: ( 1 ? ) n ? ( 1 ? ) n ? 2 n? 1 . b a

27.8 设 x1 , x2 , ..., xn ? R? ,且 x12 ? x2 2 ? ... ? xn2 ? 1 ,若 n ? N , n ? 2 ,求
f ( x1 , x2 , ..., xn ) ?
n

x15

?

( ? x i ) ? x1
i ?1

( ? xi ) ? x 2
i ?1

n

x2 5

? ... ?

( ? xi ) ? xn
i ?1

n

xn5

的最小值. 27.9 设 a, b, c ? R? ,且 a ? b ? c ? abc ,求证:

1 1 ? a2

?

1 1 ? b2

?

1 1 ? c2

?

3 . 2

27.10 设 a, b, c ? R ,求证: a 2 ? (1 ? b)2 ? b 2 ? (1 ? c )2 ? c 2 ? (1 ? a )2 ? 27.11 设 a, b, c ? R? ,且 ab ? bc ? ca ? 3 ,求证: (1 ? a2 )(1 ? b2 )(1 ? c 2 ) ? 8 .

3 2 . 2

27.12 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: 6(a3 ? b3 ? c 3 ) ? 1 ? 5(a2 ? b2 ? c 2 ) . 27.13 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 2 ,求证: a4 ? b4 ? c 4 ? abc ? a3 ? b3 ? c 3 . 27.14 设 a, b, c ? 0 ,求证: 8(a3 ? b3 ? c 3 ) ? (a ? b)3 ? (b ? c )3 ? (c ? a)3 . 27.15 设 a, b, c ? 0 ,求证: a 3 ? b 3 ? c 3 ? abc ?
1 (a ? b ? c )3 . 7

27.16 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3abc ? 27.17 设 a1 , a2 ,..., an ? 0 ,求证: (1 ? a1 )(1 ? a2 )...(1 ? an ) ? (1 ? 27.18 设 a , b, c, d ? 0 ,且 abcd ? 1 ,求证:

4 . 9

a 2 a12 a 2 )(1 ? 2 )...(1 ? n ) . a2 a3 a1
1 (1 ? c )
2

1 (1 ? a )
2

?

1 (1 ? b)
2

?

?

1 (1 ? d ) 2

? 1.

27.19 设 a , b, c, d ? 0 ,且 a ? b ? c ? d ? 4 ,求证:
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abc ? bcd ? cda ? dab ? (abc)2 ? (bcd )2 ? (cda)2 ? (dab)2 ? 8 .
27.20 设 a, b, c ? 0 ,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 ,求证: a 2b2 ? b2c 2 ? c 2d 2 ? a ? b ? c . 27.21 设 a , b, c ? R ,求证: 3(a 2 ? ab ? b2 )(b2 ? bc ? c 2 )(c 2 ? ca ? a 2 ) ? a 3b3 ? b3c 3 ? c 3a 3 . 27.22 设 a , b, c, d ? 0 ,且 a ? b ? c ? d ? abcd ? 5 ,求证: 27.23 设不等式:
ab(a 2 ? b 2 ) ? bc(b 2 ? c 2 ) ? ca(c 2 ? a 2 ) ? M (a 2 ? b 2 ? c 2 )2
1 1 1 1 ? ? ? ? 4. a b c d

对一切实数 a, b, c 都成立,求 M 的最小值. 27.24 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 3 ,求证: (a 2b ? b2c ? c 2a)(ab ? bc ? ca) ? 9 .

Ch27.习题解析 27.1 设 x1 , x2 ,..., xn ? (0, 1] ,求证: ( 1 ? x1 ) ( 1 ? x2 ) ...( 1 ? xn ) 解析:设: xn?1 ? x1 ,则:因为 xi ? (0, 1] ,所以
1 x2 1 x3 1 x1

? 2n .

1 ? [1, ?? ) ( i ? 1, 2, ..., n ) xi


由伯努利不等式 ( 2 ) :当 xi ? ?1 且 ? i ? [1, ??) 时, (1 ? xi )?i ? 1 ? ?i xi
iff

xi ? 0 或 ? i ? 1 时,①式等号成立.


由均值不等式 ( 3 ) : 1 ? ? i xi ? 2 ? i xi
iff ? i xi ? 1 时,②式等号成立.

由①②式得: (1 ? xi )?i ? 2 ? i xi



iff ?i ? xi ? 1 时, ③式等号成立.

xi 1 设: ? i ? ,则由③式得: (1 ? xi ) xi ?1 ? 2 xi ? 1 xi ? 1

1


1

则: (1 ? x1 )

1 x2

x x x ? 2 1 ; (1 ? x2 ) x3 ? 2 2 ;…; (1 ? xn ) x1 ? 2 n . x2 x1 x3

1

上面各式相乘得:
(1 ? x1 ) (1 ? x2 ) ...(1 ? xn )
1 x2 1 x3 1 x1

? 2n

x x1 x2 ? ? ... ? n ? 2 n . x2 x3 x1

证毕.
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27.2 设 x1 , x2 ,..., xn ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ... ? xn ? 解析:因为 xi ? 0 , ? xi ?
i ?1 n

1 1 ,求证: ( 1 ? x1 )( 1 ? x2 )...( 1 ? xn ) ? . 2 2

1 1 ,所以 xi ? [0 , ] 2 2

1 设 yi ? ? xi ,则 yi ? [? , 0 ] ? ?1 2

由伯努利不等式 ( 1) : (1 ? y1 )(1 ? y2 )...(1 ? yn ) ? 1 ? ( y1 ? y2 ? ... ? yn ) 将 yi ? ? xi 代入①式,并代入 x1 ? x2 ? ... ? xn ?
1 得: 2



(1 ? x1 )(1 ? x2 )...(1 ? xn ) ? 1 ? ( x1 ? x2 ? ... ? xn ) ? 1 ?

1 1 ? . 2 2

证毕. 27.3 设 a1 , a2 ,..., an ? 0 ,且 a1a2 ...an ? 1 ,求证: a1 ? a2 ? ... ? an ? a1 ? a2 ? ... ? an . 解析:因为 a1 , a2 ,..., an ? 0 ,且 a1a2 ...an ? 1 , 所以由均值不等式 ( 3 ) : a1 ? a2 ? ... ? an ? nn a1 ? a2 ? ... ? an ? n 即:
iff

a1 ? a2 ? ... ? an n

?1



a1 ? a2 ? ... ? an ? 1 时,①式等号成立.

由柯西不等式 ( 8 ) :

[( a1 )2 ? ( a2 )2 ? ... ? ( an )2 ](12 ? 12 ? ... ? 12 ) ? ( a1 ? a2 ? ... ? an )2
即: (a1 ? a2 ? ... ? an ) ? n ? ( a1 ? a2 ? ... ? an )2 即: (a1 ? a2 ? ... ? an ) ?
iff

( a1 ? a2 ? ... ? an ) n

( a1 ? a2 ? ... ? an )



a1 ? a2 ? ... ? an ? 1 时,②式等号成立.


将①式代入②式得: a1 ? a2 ? ... ? an ? a1 ? a2 ? ... ? an
iff

a1 ? a2 ? ... ? an ? 1 时, ③式等号成立. 证毕.

27.4 设 a, b, c ? 0 ,且 abc ? 1 ,求证: a3 ? b3 ? c 3 ? ab ? bc ? ca . 解析:因为 a, b, c ? 0 ,且 abc ? 1 ,
a 2 ? b2 b2 ? c 2 c 2 ? a 2 ? ? ? ab ? bc ? ca 所以由均值不等式 ( 3 ) : a ? b ? c ? 2 2 2
2 2 2



iff

a ? b ? c ? 1 时,①式等号成立.
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由均值不等式 ( 3 ) : a ? b ? c ? 3 3 abc ? 3 ,即:
iff
a ? b ? c ? 1 时,②式等号成立.

a?b?c ?1 3



WLOG ,设 a ? b ? c ,则因为 a, b, c ? 0 ,所以 a 2 ? b 2 ? c 2

由切比雪夫不等式 (14 ) : (a ? b ? c)(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 3(a ? a 2 ? b ? b2 ? c ? c 2 ) 即: a 3 ? b 3 ? c 3 ?
iff

a?b?c ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 3



a ? b ? c ? 1 时,③式等号成立.

将①②代入③式得: a 3 ? b3 ? c 3 ? ab ? bc ? ca
iff
a ? b ? c ? 1 时, ④式等号成立. 证毕.



27.5 设 a, b, c , d ? 0 ,求证:

a b c d 2 ? ? ? ? . b ? 2c ? 3d c ? 2d ? 3a d ? 2a ? 3b a ? 2b ? 3c 3

解析:记 A ? b ? 2c ? 3d , B ? c ? 2d ? 3a , C ? d ? 2a ? 3b , D ? a ? 2b ? 3c 则: aA ? bB ? cC ? dD ? 4(ab ? ac ? ad ? bc ? bd ? cd ) 待证式为:
a b c d 2 ? ? ? ? A B C D 3





由柯西不等式 ( 8 ) : ( 即:

a b c d ? ? ? )(aA ? bB ? cC ? dD ) ? (a ? b ? c ? d )2 A B C D

a b c d (a ? b ? c ? d ) 2 ? ? ? ? A B C D aA ? bB ? cC ? dD



由②③式,只需证明

(a ? b ? c ? d )2 2 ? aA ? bB ? cC ? dD 3



设多项式: P( x ) ? ( x ? a )( x ? b)( x ? c )( x ? d )

? c0 x4 ? c1 x 3 ? c2 x 2 ? c3 x ? c4
则: c1 ? a ? b ? c ? d ⑤

c2 ? ab ? ac ? ad ? bc ? bd ? cd
代入①式得: aA ? bB ? cC ? dD ? 4c2 根据定义 ( 38 ) : pk ? 得: p1 ? ⑥

ck k Cn

c1 c1 c c ? ,即: c1 ? 4 p1 ; p2 ? 22 ? 2 ,即: c2 ? 6 p2 1 C4 4 C4 6



21



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则:

c12 16 p12 2 p12 (a ? b ? c ? d ) ? ? ? ? aA ? bB ? cC ? dD 4c2 4 ? 6 p2 3 p2
2
1 2



p12 由麦克劳林不等式 ( 40 ) : p1 ? p2 ,即: ?1 p2
(a ? b ? c ? d )2 2 ? ,④式得证. 代入⑦式得: aA ? bB ? cC ? dD 3
iff
a ? b ? c ? d 时,等号成立. 证毕.

27.6 设 a, b, c ? 0 ,求证:

a 2 ? bc b 2 ? ca c 2 ? ab ? ? ? a?b?c. b?c c?a a?b

a2 bc b2 ca c2 ab 解析:不等式左边= ? ? ? ? ? b?c b?c c?a c?a a?b a?b

不等式右边= a ? b ? c ?

a( c ? a ) b( a ? b ) c ( b ? c ) ? ? c?a a?b b?c

ac a2 ab b2 cb c2 ? ? ? ? ? ? c?a c?a a?b a?b b?c b?c

则不等式其实就是:

a2 b2 c2 c2 a2 b2 ? ? ? ? ? b?c c?a a?b b?c c?a a?b

① ②

由于是对称不等式, WLOG ,假设 a ? b ? c ,则 a2 ? b2 ? c 2 且 b ? c ? a ? c ? a ? b ,即: 则有排序不等式 ( 18 ) : 其中,
iff
1 1 1 ? ? b?c c?a a?b



a2 b2 c2 c2 a2 b2 ? ? ? ? ? b?c c?a a?b b?c c?a a?b

a2 b2 c2 c2 a2 b2 为正序和; 为乱序和. ? ? ? ? b?c c?a a?b b?c c?a a?b

a ? b ? c 时,等号成立. 证毕.

a b 27.7 设 a, b ? 0 , n ? N 证: ( 1 ? ) n ? ( 1 ? ) n ? 2 n? 1 . b a a b 解析:当 n ? 0 时, ( 1 ? )0 ? ( 1 ? )0 ? 2 , 20 ? 1 ? 2 ,不等式成立; b a

a b a b 当 n ? 1 时, ( 1 ? )1 ? ( 1 ? )1 ? 2 ? ? ? 4 , 2 1? 1 ? 4 ,不等式成立; b a b a

当 n ? 2 时,构建函数 f ( x ) ? x n . 则函数的导数 f '( x) ? nxn?1 ; 二次导数 f ''( x) ? n(n ? 1) x n? 2 ? 0 ,故在 x ? 0 时函数为向下凸函数.
第 22 页

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由琴生不等式 ( 20 ) :

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 2 2



a b 将 f ( x1 ) ? ( 1 ? ) n , f ( x 2 ) ? ( 1 ? ) n , b a

b a (1 ? ) ? (1 ? ) x ? x2 a b ]n ? [1 ? 1 ( b ? a )]n ? 2 n f( 1 ) ?[ 2 2 2 a b
a b (1 ? )n ? (1 ? )n b a ? 2 n ,即: ( 1 ? a ) n ? ( 1 ? b ) n ? 2 n ? 1 带入①式得: b a 2
a b 综上,当 n ? 0 、 n ? 1 和 n ? 2 时, ( 1 ? ) n ? ( 1 ? ) n ? 2 n? 1 都成立, b a
a b 即 n ? N 时, ( 1 ? ) n ? ( 1 ? ) n ? 2 n? 1 成立. b a

证毕.

27.8 设 x1 , x2 , ..., xn ? R? ,且 x12 ? x2 2 ? ... ? xn2 ? 1 ,若 n ? N , n ? 2 ,求
f ( x1 , x2 , ..., xn ) ?
n

x15

?

( ? x i ) ? x1
i ?1

( ? xi ) ? x 2
i ?1

n

x2 5

? ... ?

( ? xi ) ? xn
i ?1

n

xn5

的最小值. 解析:记 S ? ? xi , ( i ? 1, 2, ..., n ).
i ?1 n

则 f ( x1 , x2 , ..., xn ) ?

x 5 x15 x 5 ? 2 ? ... ? n S ? x1 S ? x2 S ? xn

① ②

WLOG 假设 x1 ? x2 ? ... ? xn ,则 x14 ? x2 4 ? ... ? xn4

由于 S ? ? xi ,所以 S ? xk ? (? xi ) ? xk 与 xk 无关,则
i ?1 i ?1

n

n

xk 与 xk 同单调性. S ? xk

即:

xn x1 x2 ? ? ... ? S ? x1 S ? x2 S ? xn



由切比雪夫不等式 (14 ) :若 (a1 , a2 ,..., an ) 与 (b1 , b2 ,..., bn ) 同单调性,则有:

(a1 ? a2 ? ... ? an )(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n(a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )
设: ai ? xi 4 , bi ? 代入④式得:



xn , ( i ? 1, 2, ..., n ) ,则满足 {ai } 与 {bi } 同单调性. S ? xn



23



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( x14 ? ... ? xn 4 )(
即: f ?

xn xn x1 x1 ? ... ? ) ? n( x14 ? ? ... ? xn 4 ? ) S ? x1 S ? xn S ? x1 S ? xn


x5 x 4 ? ... ? xn 4 xn x15 x ? ... ? n ? ( 1 ) ? ( 1 ? ... ? ) S ? x1 S ? xn n S ? x1 S ? xn

x14 ? ... ? xn 4 x12 ? ... ? xn 2 1 由均值不等式 ( 3 ) : Qn ? An ,即: ? ? n n n
故: x1 4 ? ... ? xn 4 ? 构建函数: g( x ) ?
1 n

⑥ ⑦

x S?x

则导函数: g '( x ) ?

2S S , g ''( x ) ? ?0 2 ( S ? x )3 ( S ? x)

故 g ( x ) 为向下凸函数. 由琴生不等式 ( 21) : g(?1 x1 ? ?2 x2 ? ... ? ?n xn ) ? ?1 g( x1 ) ? ?2 g( x2 ) ? ... ? ?n g( xn ) 取加权 ? i ?
g( 1 ( i ? 1, 2, ..., n )时,上式变为: n

x1 ? x2 ? ... ? xn g( x1 ) ? g( x2 ) ? ... ? g( xn ) )? n n



即: g( x1 ) ? g( x2 ) ? ... ? g( xn ) ? n ? g(

x1 ? x2 ? ... ? xn ) n

xn x1 即: ? ... ? ? n? S ? x1 S ? xn
将⑥和⑨式代入⑤式得:

x1 ? x2 ? ... ? xn S n n ? n? n ? x ? x2 ? ... ? xn S n?1 S? S? 1 n n



f ?

x5 x15 1 1 n 1 ? ... ? n ? ? ? ? S ? x1 S ? xn n n n ? 1 n(n ? 1)
1 . n( n ? 1)

故: f ( x1 , x2 ,..., xn ) 的最小值是

27.9 设 a, b, c ? R? ,且 a ? b ? c ? abc ,求证:
x2 a2 y2 b2

1 1 ? a2

?

1 1 ? b2

?

1 1 ? c2

?

3 . 2

解析:在圆锥曲线里,椭圆方程为:

?

? 1 时,常常采用的参数方程是:

x ? a cos ? , y ? b sin ? ,因为将它带入方程时满足 cos2 ? ? sin2 ? ? 1 ,这个三角函数
第 24 页

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的 基 本 关 系 . 对 于 三 角 形 的 内 角 A, B, C , 同 样 有 关 系 A ? B ? C ? ? 和
tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C . 而本题初始条件 a ? b ? c ? abc .

? 设 a ? tan A . b ? tan B , c ? tan C ,因为 a, b, c ? R? ,所以 A, B, C ? (0 , ) 2
则当 A, B, C 为三角形的内角时, A ? B ? C ? ? ,
tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 满足条件.



带入不等式左边得:

1 1 ? a2 ?

? 1

1 1 ? b2 ?

?

1 1 ? c2 1 ?


1 1 ? tan2 C

1 ? tan2 A

1 ? tan2 B

? cos A ? cos B ? cosC

? 构建函数 f ( x ) ? ? cos x ,则在 x ? (0 , ) 区间函数 f ( x ) 为向下凸函数, 2
故由琴生不等式 ( 21) 得:函数值的均值不小于均值的函数值.

f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ... ? ?n xn ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ... ? ?n f ( xn )
当加权 ? 1 ? ? 2 ? ... ? ? n ?
1 时,③式变为: n



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xn ) x ? x2 ? ... ? xn ? f( 1 ) n n

即:

f ( A) ? f ( B ) ? f ( C ) A? B?C ? f( ) 3 3



即: ?

cos A ? cos B ? cos C A? B?C ? 1 ? ? cos( ) ? ? cos ? ? 3 3 3 2

即: cos A ? cos B ? cos C ? 将⑤式带入②式得:

3 2
2



1 1? a

?

1 1? b
2

?

1 1?c
2

?

3 . 2

证毕.
3 2 . 2

27.10 设 a, b, c ? R ,求证: a 2 ? ( 1 ? b) 2 ? b 2 ? ( 1 ? c ) 2 ? c 2 ? ( 1 ? a) 2 ? 解析:因为 a, b, c ? R ,由柯西不等式 (12 ) 式
a12 ? b12 ? ... ? an 2 ? bn 2 ? ( a12 ? ... ? an 2 ) ? ( b12 ? ... ? bn 2 )

则: a 2 ? ( 1 ? b) 2 ? b 2 ? ( 1 ? c ) 2 ? c 2 ? ( 1 ? a ) 2
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?

a 2 ? ( 1 ? b) 2 ? ( 1 ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ? ( 1 ? c ) 2 ? ( 1 ? c ) 2 ? b 2 2

?
?

c 2 ? ( 1 ? a) 2 ? ( 1 ? a) 2 ? c 2 2

1 [a ? ( 1 ? b ) ? b ? ( 1 ? c ) ? c ? ( 1 ? a )]2 ? [( 1 ? b) ? a ? ( 1 ? c ) ? b ? ( 1 ? a) ? c )]2 2

?

1 2 3 2 3 ? 32 ? 2 2 .
3 2 . 2

即: a 2 ? ( 1 ? b) 2 ? b 2 ? ( 1 ? c ) 2 ? c 2 ? ( 1 ? a) 2 ?

证毕.

27.11 设 a, b, c ? R? ,且 ab ? bc ? ca ? 3 ,求证: (1 ? a2 )(1 ? b2 )(1 ? c 2 ) ? 8 . 解析:对赫尔德不等式 ( 32 ) :

? (? a
i ?1 j ?1

m

n

?j
ij

) ? ? (? aij )
j ?1 i ?1

n

m

?j

( 32 )

当 n ? 4 , m ? 4 , ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ?4 ?
1 1

1 时, ( 32 ) 式为: 4
1 1

(a11a12 a13a14 ) 4 ? (a21a22a23a24 ) 4 ? (a31a32a33a34 ) 4 ? (a41a42a43a44 ) 4

? [(a11 ? a21 ? a31 ? a41 )(a12 ? a22 ? a32 ? a42 )(a13 ? a23 ? a33 ? a43 )(a14 ? a24 ? a34 ? a44 )]4
即: (a11 ? a21 ? a31 ? a41 )(a12 ? a22 ? a32 ? a42 )(a13 ? a23 ? a33 ? a43 )(a14 ? a24 ? a34 ? a44 )

1

? [(a11a12 a13a14 ) 4 ? (a21a22 a23a24 ) 4 ? (a31a32 a33a34 ) 4 ? (a41a42 a43a44 ) 4 ]4
设: a11 ? 1 , a21 ? a 2 , a31 ? b2 , a41 ? a 2 b2 ;

1

1

1

1



a12 ? 1 , a22 ? c 2 a 2 , a32 ? c 2 , a42 ? a 2 ; a13 ? 1 , a23 ? c 2 , a33 ? b2c 2 , a43 ? b2 ; a14 ? 1 , a24 ? 1 , a34 ? 1 , a44 ? 1 .
代入①式得:

(1 ? a 2 ? b2 ? a2b2 ) ? (1 ? c 2a 2 ? c 2 ? a 2 ) ? (1 ? c 2 ? b2c 2 ? b2 ) ? (1 ? 1 ? 1 ? 1)
? [(1 ? 1 ? 1 ? 1) 4 ? (a 2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? 1) 4 ? (b 2 ? c 2 ? b 2c 2 ? 1) 4 ? (a 2b 2 ? a 2 ? b 2 ? 1) 4 ]4
1 1 1 1

? (1 ? ac ? bc ? ab)4
②式就是赫尔德不等式.





26



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(1 ? a ) (1 ? b ) (1 ? c )

2 2

2 2

2 2

? (1 ? a2 )(1 ? b2 ) ? (1 ? c2 )(1 ? a2 ) ? (1 ? b2 )(1 ? c2 ) ? (1 ? a 2 ? b2 ? a2b2 ) ? (1 ? c2 ? a2 ? c2a2 ) ? (1 ? b2 ? c2 ? b2c2 )
? 1 ( 1 ? a 2 ? b 2 ? a 2 b 2 ) ? ( 1 ? c 2 ? a 2 ? c 2 a 2 ) ? ( 1 ? b 2 ? c 2 ? b 2 c 2 ) ? (12 ? 12 ? 12 ? 12 ) 4

?

1 ( 1 ? a 2 ? b 2 ? a 2 b 2 ) ? ( 1 ? c 2 a 2 ? c 2 ? a 2 ) ? ( 1 ? c 2 ? b 2 c 2 ? b 2 ) ? (12 ? 12 ? 12 ? 12 ) 4

将②式代入上式得:
(1 ? a 2 )2 (1 ? b 2 )2 (1 ? c 2 )2 ? 1 (1 ? ac ? bc ? ab)4 4 1 (1 ? ac ? bc ? ab)2 2

开方出来即: (1 ? a 2 )(1 ? b 2 )(1 ? c 2 ) ?



将 ab ? bc ? ca ? 3 代入③式得: (1 ? a 2 )(1 ? b 2 )(1 ? c 2 ) ?
iff a ? b ? c ? 1 时等号成立.

1 (1 ? 3)2 ? 8 . 2

证毕.

27.12 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: 6(a3 ? b3 ? c 3 ) ? 1 ? 5(a2 ? b2 ? c 2 ) . 解析:采用 pqr 法. 设: p ? a ? b ? c , q ? ab ? bc ? ca , r ? abc ,则: p ? 1 在 20.2 常用的代换如下: ⑴

? x 2 ? p2 ? 2q
cyc





? x 3 ? p( p2 ? 3q ) ? 3r
cyc

则: a2 ? b2 ? c2 ? p2 ? 2q ;
a3 ? b3 ? c3 ? p( p2 ? 3q) ? 3r ? 1 ? 3q ? 3r

于是,待证式变为: 6(1 ? 3q ? 3r ) ? 1 ? 5( p2 ? 2q) 即: 2 ? 8q ? 18r ? 0 ,即: 1 ? 4q ? 9r ? 0 ,即: p3 ? 4 pq ? 9r ? 0 在 20.3 常用的 pqr 法的不等式 ⑴ p3 ? qr ? 4 pq ,即: p3 ? 4 pq ? 9r ? 0 故:①式成立,即待证式成立. 证毕. 27.13 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 2 ,求证: a4 ? b4 ? c 4 ? abc ? a3 ? b3 ? c 3 . 解析:由舒尔不等式 ( 43) :
第 27 页



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x ( x ? y)( x ? z) ? y ( y ? z)( y ? x) ? z t ( z ? x)( z ? y) ? 0

t

t



即: xt ( x2 ? xy ? xz ? yz) ? yt ( y2 ? yz ? xy ? zx) ? z t ( z 2 ? zx ? yz ? xy) ? 0 即: xt ( x2 ? yz) ? yt ( y2 ? zx) ? z t ( z 2 ? xy) ? xt ?1 ( y ? z ) ? yt ?1 ( z ? x) ? z t ?1 ( x ? y) 即: xt ? 2 ? xt yz ? yt ? 2 ? xyt z ? z t ? 2 ? xyz t ? xt ?1 ( y ? z ) ? yt ?1 (z ? x) ? z t ?1 ( x ? y) 即: xt ? 2 ? yt ?2 ? zt ?2 ? ( xt ?1 ? yt ?1 ? zt ?1 ) xyz ? xt ?1 ( y ? z ) ? yt ?1 ( z ? x) ? zt ?1 ( x ? y) 两边都加 xt ? 2 ? yt ? 2 ? z t ? 2 得:

2( xt ?2 ? yt ?2 ? z t ?2 ) ? ( xt ?1 ? yt ?1 ? zt ?1 ) xyz ? ( xt ?1 ? yt ?1 ? zt ?1 )( x ? y ? z )
②式就是舒尔不等式. 设 t ? 2 ,代入②式得: 2( x4 ? y4 ? z 4 ) ? ( x ? y ? z) xyz ? ( x 3 ? y 3 ? z 3 )( x ? y ? z ) 将 a ? b ? c ? 2 代入上式得: 2( x4 ? y4 ? z 4 ) ? 2xyz ? 2( x 3 ? y 3 ? z 3 ) 即: a4 ? b4 ? c 4 ? abc ? a3 ? b3 ? c 3 ③式就是我们要证明的不等式. ③



证毕.

27.14 设 a, b, c ? 0 ,求证: 8(a3 ? b3 ? c 3 ) ? (a ? b)3 ? (b ? c )3 ? (c ? a)3 . 解析:待证式化为: 8(a3 ? b3 ? c 3 ) ? 2(a3 ? b3 ? c 3 ) ? 3(a2b ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? c 2a ? ca2 ) 即: 2(a3 ? b3 ? c 3 ) ? a2b ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? c 2a ? ca2 解析 1:缪尔海德不等式 ( 48 ) : T[? i ] ? T[?i ]
iff ( 48 )



(?i ) ? ( ? i ) 或 x1 ? x2 ? ... ? xn 时,等号成立.

由于 T[3, 0, 0] ? 2(a3 ? b3 ? c 3 ) , T[2, 1, 0] ? a2b ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? c 2a ? ca2 满足缪尔海德不等式的条件,即:

(b1 , b2 , b3 ) ? ( 2, 1, 0 ) , (a1 , a2 , a3 ) ? ( 3, 0, 0 ) ,故满足序列 (b1 , b2 , b3 ) ? (a1 , a2 , a3 ) .
则: T[2, 1, 0] ? T[3, 0, 0] ,即:①式成立. 解析 2:采用 pqr 法. 设: p ? a ? b ? c , q ? ab ? bc ? ca , r ? abc . 在 20.2 常用的代换如下: ⑵ 证毕.

? x 3 ? p( p2 ? 3q ) ? 3r ,
cyc cyc cyc

⑼ ? x 2 ( y ? z ) ? ? xy( x ? y ) ? pq ? 3r
cyc cyc

即①式等价于: 2 ? x 3 ? ? x 2 ( y ? z )
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即: 2[ p( p ? 3q) ? 3r] ? pq ? 3r ,即: 2 p3 ? 6 pq ? 6r ? pq ? 3r 即: 2 p3 ? 9r ? 7 pq ②式是与①式等价的. 在 20.3 常用的 pqr 法的不等式:⑺ 2 p3 ? 9r ? 7 pq 是成立的,故②式成立. 证毕. 解析 3:采用琴生不等式. 构建函数 f ( x ) ? x 3 则 f ( x ) 为向下凸函数. 采用琴生不等式 ( 21) 式: 则:
f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 2 2

2





f (a) ? f ( b) a?b f (b) ? f (c ) b?c f (c ) ? f ( a) c?a ? f( ); ? f( ); ? f( ) 2 2 2 2 2 2

上面三式相加得: f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? f ( 将③带入④得: a 3 ? b 3 ? c 3 ? (

a?b b?c c?a )? f( )? f( ) 2 2 2



a?b 3 b?c 3 c?a 3 ) ?( ) ?( ) 2 2 2

即: 8(a3 ? b3 ? c 3 ) ? (a ? b)3 ? (b ? c )3 ? (c ? a)3 . 证毕. 27.15 设 a, b, c ? 0 ,求证: a 3 ? b 3 ? c 3 ? abc ?
1 (a ? b ? c )3 . 7

解析:待证式: 7 (a3 ? b3 ? c 3 ) ? 7abc ? (a ? b ? c )3



即: 7 ? a 3 ? 7 abc ? ( a ? b ? c ) 3 ? ? a 3 ? 3 ? a 2b ? 6abc
cyc cyc sym

1 即: 6 ? a 3 ? abc ? 3 ? a 2 b ,即: 2? a 3 ? abc ? ? a 2b 3 cyc sym cyc sym
由排序不等式 (17 ) 得: 2 ? a 3 ?
cyc



sym

? a 2b

1 所以: 2? a3 ? abc ? 2? a3 ? ? a2b 3 cyc cyc sym
②式得证. 证毕.
4 . 9

27.16 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3abc ? 解析:待证式: 9(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 27abc ? 4 ①

将①式齐次化: 9(a 2 ? b2 ? c 2 )(a ? b ? c) ? 27abc ? 4(a ? b ? c)3
第 29 页



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化简②式:

(a2 ? b2 ? c2 )(a ? b ? c) ? a 3 ? ab2 ? ac 2 ? a 2b ? b3 ? bc 2 ? ca 2 ? b2c ? c 3
? a 3 ? b3 ? c 3 ? ab2 ? ac 2 ? a 2b ? bc 2 ? ca 2 ? b2c
? ? a3 ?
cyc

sym

? a 2b



(a ? b ? c )3 ? ? a 3 ? 3 ? a 2 b ? 6abc
cyc sym



将③④式代入②式:
? ? ? ? 9 ? ? a 3 ? ? a 2 b ? ? 27abc ? 4 ? ? a 3 ? 3 ? a 2b ? 6abc ? ? cyc ? ? cyc ? sym sym ? ? ? ?

即待证式为: 5 ? a 3 ? 3abc ? 3 ? a 2 b
cyc sym



由舒尔不等式 ( 43) :
a(a ? b)(a ? c ) ? b(b ? c )(b ? a ) ? c(c ? a )(c ? b) ? 0

即: a(a 2 ? bc) ? b(b2 ? ca) ? c(c 2 ? ab) ? a 2 (b ? c) ? b2 (c ? a) ? c 2 (a ? b) 即: ? a 3 ? 3abc ?
cyc

sym

? a 2b



由缪尔海德不等式 ( 47 ) :

sym

? xa ya za
1 2

3

?

sym

? xb yb zb
1 2

3

( 49 )

取: 2(a 3b0c0 ? a0b3c0 ? a0b0c 3 )

? a 2b1c0 ? a 2b0c1 ? a1b2c0 ? a0b2c1 ? a0b1c 2 ? a1b0c 2
即: 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? a 2b ? a 2c ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? ac 2 即: 2 ? a 3 ?
cyc

sym

? a 2b

⑦ ⑧

由⑥+2×⑦两式相加得: 5 ? a 3 ? 3abc ? 3 ? a 2 b
cyc sym

⑧式是由舒尔不等式和缪尔海德不等式相加得到的结果,而⑧式就是待证式⑤, 这证明,⑤式即①式是成立的. 证毕.



30



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an 2 a12 a2 2 27.17 设 a1 , a2 ,..., an ? 0 ,求证: (1 ? a1 )(1 ? a2 )...(1 ? an ) ? (1 ? )(1 ? )...(1 ? ). a2 a3 a1
解析:因为 a1 , a2 ,..., an ? 0 ,所以设 ai ? e xi ( i ? 1, 2, ..., n ) 待证式变为: (1 ? e x1 )(1 ? e x2 )...(1 ? e xn ) ? (1 ? e 2x1 ? x2 )(1 ? e 2x2 ? x3 )...(1 ? e 2xn ? x1 ) 因为待证式两边都是正数,所以取对数后为:

ln(1 ? e x1 ) ? ... ? ln(1 ? e xn ) ? ln(1 ? e 2x1 ? x2 ) ? ... ? ln(1 ? e 2xn ? x1 )
WLOG ,假设 2x1 ? x2 ? 2x2 ? x3 ? ... ? 2xn ? x1 ,且 x1 ? x2 ? ... ? xn

① ②

设 xn?1 ? x1 ,则: ? ( 2 xk ? xk ? 1 ) ? 2 ? xk ? ? xk ?
k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

k ?1

? xk


n



而且 2xk ? xk ?1 ? xk ? ( xk ? xk ?1 ) ? xk ( k ? 1, 2, ..., n ,)

n n 由②③④,根据 Ch16. 定义序列,则: ( xk )k ? 1 就是 ( 2xk ? xk ? 1 )k ? 1 的优化值,

于是序列 ( xk ) ? ( 2xk ? xk ?1 ) 构建函数: f ( x) ? ln(1 ? e x ) 函数的导函数为: f '( x ) ?

⑤ ⑥

ex 1? ex

,其二次导函数为: f ''( x ) ?

ex (1 ? e x )2

?0



由⑦式,函数 f ( x) ? ln(1 ? e x ) 是向下凸函数,对于两个序列 ( xk ) 和 ( 2xk ? xk ?1 ) 由卡拉玛塔不等式 (50 ) 得:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xn ) ? f ( 2x1 ? x2 ) ? f ( 2x2 ? x3 ) ? ... ? f ( 2xn ? x1 )
将⑥带入⑧得:



ln(1 ? e x1 ) ? ... ? ln(1 ? e xn ) ? ln(1 ? e 2x1 ? x2 ) ? ... ? ln(1 ? e 2xn ? x1 )
而这正是待证式①式. 证毕. 27.18 设 a , b, c, d ? 0 ,且 abcd ? 1 ,求证: 解析:先介绍一个不等式: 若 x , y ? R ,则 证明如下:

1 (1 ? a )2

?

1 (1 ? b) 2

?

1 (1 ? c ) 2

?

1 (1 ? d ) 2

? 1.

1 (1 ? x )
2

?

1 ( 1 ? y)
2

?

1 1 ? xy



1 (1 ? x )2

?

1 ( 1 ? y) 2

?

1 [( 1 ? x ) 2 ? ( 1 ? y) 2 ]( 1 ? xy) ? ( 1 ? x ) 2 ( 1 ? y) 2 ? 1 ? xy ( 1 ? x ) 2 ( 1 ? y) 2 ( 1 ? xy)
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②式得分子为:

[2 ? 2( x ? y) ? ( x2 ? y2 )](1 ? xy) ? (1 ? 2x ? x 2 )(1 ? 2 y ? y2 ) ? [2 ? 2( x ? y) ? ( x 2 ? y2 )] ? [2xy ? 2xy( x ? y) ? xy( x 2 ? y2 )]
?[(1 ? 2x ? x2 ) ? 2 y(1 ? 2x ? x 2 ) ? y2 (1 ? 2x ? x 2 )]

? [2 ? 2x ? 2 y ? x2 ? y2 ? 2 xy ? 2x2 y ? 2xy2 ? x3 y ? xy 3 ] ?[1 ? 2x ? x2 ? 2 y ? 4xy ? 2 x2 y ? y2 ? 2 xy2 ? x2 y2 ]
? 1 ? 2xy ? x 3 y ? xy3 ? x 2 y2

? (1 ? 2xy ? x 2 y2 ) ? ( x 3 y ? xy3 ? 2x 2 y2 ) ? (1 ? xy)2 ? xy( x2 ? y2 ? 2xy) ? (1 ? xy)2 ? xy( x ? y)2 ? 0
带入②式得:

1 (1 ? x ) 1
2 2

?

1 ( 1 ? y) 1
2 2

?

1 ? 0 ,则:①式成立. 1 ? xy


由①式得:

(1 ? a)

?

(1 ? b)

?

1 1 1 1 ; ? ? 2 2 1 ? ab ( 1 ? c ) 1 ? cd (1 ? c )


而:

1 1 1 1 1 ab ? ? ? ? ? ?1 1 1 ? ab 1 ? cd 1 ? ab 1 ? 1 ? ab ab ? 1 ab
1 ( 1 ? a)
2

故由③④:

?

1 ( 1 ? b)
2

?

1 (1 ? c )
2

?

1 (1 ? d )
2

?

1 1 ? ?1 1 ? ab 1 ? cd

iff a ? b ? c ? d ? 1 时等号成立. 证毕.

27.19 设 a , b, c, d ? 0 ,且 a ? b ? c ? d ? 4 ,求证:

abc ? bcd ? cda ? dab ? (abc)2 ? (bcd )2 ? (cda)2 ? (dab)2 ? 8 .
解析:采用 SMV 法 ⑴ 设: f (a, b, c, d ) ? abc ? bcd ? cda ? dab ? (abc)2 ? (bcd )2 ? (cda)2 ? (dab)2 设: t ?
4?d 4 a?b?c ? [0 , ] ,则: d ? 4 ? 3t , t ? 3 3 3

f (t , t , t , d ) ? t 3 ? t 2d ? t 2d ? t 2d ? t 6 ? t 4d 2 ? t 4d 2 ? t 4d 2 ? t 3 ? 3t 2 (4 ? 3t ) ? t 6 ? 3t 4 (4 ? 3t )2
? t 3 ? 12t 2 ? 9t 3 ? t 6 ? 3t 4 (16 ? 24t ? 9t 2 )
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? 12t ? 8t ? t ? 48t 4 ? 72t 5 ? 27t 6

2

3

6

? 4(7t 6 ? 18t 5 ? 12t 4 ? 2t 3 ? 3t 2 )
⑵ 采用导数法求①的极值点.



由①式的导数为零得: 42t 5 ? 90t 4 ? 48t 3 ? 6t 2 ? 6t ? 0 即: t (7t 4 ? 15t 3 ? 8t 2 ? t ? 1) ? 0 即: t (7t 4 ? 7t 3 ? 8t 3 ? 8t 2 ? t ? 1) ? 0 即: t (t ? 1)(7t 3 ? 8t 2 ? 1) ? 0 ②

则极值点为: t1 ? 0 , t2 ? 1 , t3 ? 1.236320209 其中, 7t 3 ? 8t 2 ? 1 ? 0 采用盛金公式求③式得. 盛金公式: a ? 7 , b ? ?8, c ? 0, d ? ?1 ; ③

A ? b2 ? 3ac ? 64 , B ? bc ? 9ad ? 63 , C ? c 2 ? 3bd ? ?24
判别式: ? ? B2 ? 4 AC ? 632 ? 4 ? 64 ? 24 ? 10113 ? 0

Y1 ? Ab ? 3a ?
Y2 ? Ab ? 3a ?

?B ? ? ? ?117.5841653 ; 2
?B ? ? ? ?2229.415835 . 2

③式得实数解为: t 3 ?

?b ? 3 Y1 ? 3 Y2 3a

? 1.236320209 .

代入①式得到这些极值点的函数值:

f (t1 ) ? 0 ; f (t2 ) ? 8 ; f (t3 ) ? 7.38889
在边界点的函数值为:
4 4 4 f (0 ) ? 0 ; f ( ) ? ( )3 ? ( )6 ? 7.989023063 3 3 3

故: f (t , t , t , d ) ? 8



⑶ 由于 f (t , t , t , d ) ? f (a, b, c, d )
? [( a?b?c 3 a?b?c 2 ) ? abc] ? d [ 3( ) ? (ab ? bc ? ca )] 3 3 a?b?c 6 a?b?c 4 ) ? (abc )2 ] ? d[ 3( ) ? (a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 )] ? 0 3 3
第 33 页

?[(

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即: f (t , t , t , d ) ? f (a, b, c, d ) 其中:由 An ? Gn 得到: (



a?b?c 3 ) ? abc ? 0 ; 3

由 (a ? b ? c)2 ? 3(ab ? bc ? ca) 得到: 3( 由 An 2 ? Gn 2 得到: (

a?b?c 2 ) ? (ab ? bc ? ca ) ? 0 ; 3

a?b?c 6 ) ? (abc )2 ; 3

由琴生不等式得到: 3( ⑷ 构建函数 g( x ) ? x 4

a?b?c 4 ) ? (a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ) ? 0 3



显然 g( x ) ? x 4 为向下凸函数,故函数的均值不小于均值的函数值.

a?b b?c c?a a?b b?c c?a ? ? g( ) ? g( ) ? g( ) a?b?c 2 2 )? 2 2 2 即: g( ) ? g( 2 3 3 3
即: (
a?b?c 4 1 a?b 4 b?c 4 c?a 4 ) ? [( ) ?( ) ?( ) ] 3 3 2 2 2



再由 An ? Gn 得到: 代入⑦式得: ( 即: 3(

a?b b?c c?a ? ab , ? bc , ? ca 2 2 2

a?b?c 4 1 2 2 ) ? [a b ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ] 3 3

a?b?c 4 ) ? (a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ) ? 0 ,⑥式得证. 3

⑸ 故由④⑤式: f (a, b, c, d ) ? f ( t , t , t , d ) ? 8 .
iff a ? b ? c ? d ? 1 时等号成立.

证毕.

27.20 设 a, b, c ? 0 ,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 ,求证: a 2b2 ? b2c 2 ? c 2d 2 ? a ? b ? c . 解析:采用 SMV 法.
WLOG ,假设 a ? b ? c ,则: a 2 ? 1 , b2 ? c 2 ? 2

故: a ? 1 , b ? c ? b 2 ? c 2 ? 2 设: f (a, b, c) ? (a ? b ? c) ? (a 2b2 ? b2c 2 ? c 2a 2 ) 设: t ? ① ②

b2 ? c 2 ,则: f (a, t , t ) ? (a ? 2t ) ? ( 2a 2 t 2 ? t 4 ) 2
2

则: a ? 2t ? 3 ,即: t ?
2

3 ? a2 2
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故: f (a, b, c ) ? f (a, t , t )

? (b ? c ? 2t ) ? a 2 (b2 ? c 2 ? 2t 2 ) ? (b2c 2 ? t 4 )

b2 ? c 2 b2 ? c 2 b2 ? c 2 2 2 2 2 2 2 ? (b ? c ? 2 ) ? a (b ? c ? 2 ? ) ? [b c ? ( ) ] 2 2 2
?( ?
?

b2 ? c 2 2 ) ? b 2 c 2 ? b ? c ? 2(b 2 ? c 2 ) 2

(b 2 ? c 2 )2 ? b ? c ? 2( b 2 ? c 2 ) 4
( b ? c ) 2 ( b ? c ) 2 ( b ? c ) 2 ? 2( b 2 ? c 2 ) ? 4 b ? c ? 2(b 2 ? c 2 ) (b ? c )2 (b ? c )2 (b ? c )2 ? 4 b ? c ? 2( b 2 ? c 2 ) (b 2 ? c 2 ) 1 ? ] 4 b ? c ? 2( b 2 ? c 2 )

?

? (b ? c )2 [



将 b2 ? c 2 ? 2 , b ? c ? 2 代入③式得:

2 1 f ( a , b, c ) ? f ( a , t , t ) ? ( b ? c ) 2 [ ? ] 4 2 ? 2?2
1 1 ? (b ? c )2 [ ? ]? 0 2 2? 2

即: f (a, b, c ) ? f (a, t , t )



下面只需证明 f (a, t , t ) ? 0 即可. 将t ?

3 ? a2 代入②式: f (a, t , t ) ? (a ? 2t ) ? ( 2a 2 t 2 ? t 4 ) 2
2

3 ? a2 3 ? a2 2 f ( a , t , t ) ? a ? 2( 3 ? a ) ? ( )( 2a ? ) 2 2
? a ? 2( 3 ? a 2 ) ? 3 ( 3 ? a 2 )(1 ? a 2 ) 4

3(a 4 ? 2a 2 ? 1) ? ? [( 3 ? a ) ? 2( 3 ? a 2 )] 4

3(a 2 ? 1)2 [( 3 ? a ) ? 2( 3 ? a 2 )][( 3 ? a ) ? 2( 3 ? a 2 )] ? ? 4 ( 3 ? a ) ? 2( 3 ? a 2 )



35



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?

3(a ? 1) (a ? 1) ( 3 ? a ) 2 ? 2( 3 ? a 2 ) ? 4 ( 3 ? a ) ? 2( 3 ? a 2 )
2 2

?

3(a ? 1)2 (a ? 1)2 3a 2 ? 6a ? 3 ? 4 3 ? a ? 2( 3 ? a 2 )

?

? ? 3 4 ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ? 4 ? ? 3 ? a ? 2( 3 ? a 2 ) ? ?



由于: a ? [0 , 1] ,所以:

4 3 ? 0 ? 2( 3 ? 0 )
2

? 4

4 3 ? a ? 2( 3 ? a )
2

?

4 3 ? 1 ? 2( 3 ? 12 )

即:

4 3? 6

?

3 ? a ? 2( 3 ? a 2 )

?1

代入⑤式得: f (a, t , t ) ? 0 ,即: f (a, b, c ) ? f (a, t , t ) ? 0 由①式得: f (a, b, c) ? (a ? b ? c) ? (a 2b2 ? b2c 2 ? c 2a 2 ) ? 0 即: a 2b2 ? b2c 2 ? c 2d 2 ? a ? b ? c . 证毕.

27.21 设 a , b, c ? R ,求证: 3(a 2 ? ab ? b2 )(b2 ? bc ? c 2 )(c 2 ? ca ? a 2 ) ? a 3b3 ? b3c 3 ? c 3a 3 . 解析:不等式即: 3(a 2 ? ab ? b2 )(b2 ? bc ? c 2 )(c 2 ? ca ? a 2 ) ? a 3b3 ? b3c 3 ? c 3a 3 ? 0 设: f (a, b, c) ? 3(a 2 ? ab ? b2 )(b2 ? bc ? c 2 )(c 2 ? ca ? a 2 ) ? a 3b3 ? b3c 3 ? c 3a 3 ①

则对于对称类不等式,当 a ? b ? k 时,若 (c ? k )2 是上式的因子,则可用 SOS 法. 即若

f (k , k , c ) (c ? k )2

? g( k , c ) ,则可采用 SOS 法.

⑴ f (k , k , c) ? 3k 2 (k 2 ? kc ? c 2 )2 ? k 6 ? 2k 3c 3

? 3k 2 (k 4 ? k 2c2 ? c4 ? 2k 3c ? 2k 2c 2 ? 2kc 3 ) ? k6 ? 2k 3c 3 ? k 2 (3k 4 ? 3k 2c 2 ? 3c4 ? 6k 3c ? 6k 2c 2 ? 6kc 3 ? k 4 ? 2kc 3 ) ? k 2 (2k 4 ? 6k 3c ? 9k 2c 2 ? 8kc 3 ? 3c4 )


⑵ 采用长除法分解因式 2k 4 ? 6k 3c ? 9k 2c 2 ? 8kc 3 ? 3c 4



36



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2k 2 ? 2kc ? 3c 2 ( k 2 ? 2kc ? c 2 ) 2k 4 ? 6k 3 c ? 9k 2 c 2 ? 8kc 3 ? 3c 4 ? ) 2k 4 ? 4k 3 c ? 2k 2 c 2 ? 2k 3 c ? 7 k 2 c 2 ? 8kc 3 ?2k 3 c ? 4k 2 c 2 ? 2kc 3 ? 3k 2 c 2 ? 6kc 3 ? 3c 4 ?3k 2 c 2 ? 6kc 3 ? 3c 4 ?0

故: 2k 4 ? 6k 3c ? 9k 2c 2 ? 8kc 3 ? 3c4 ? (c ? k )2 (2k 2 ? 2kc ? 3c 2 ) 由③式表明,本题可以采用 SOS 法 ⑶ 采用 SOS 法,就是将不等式改写成:



g(a, b, c ) ? Sa (b ? c )2 ? Sb (c ? a )2 ? Sc (a ? b)2
其中 Sa , Sb , Sc 分别都是关于 a, b, c 的函数. 将①式展开化简后得:



f (a , b, c ) ? 3? (a 4 b 2 ? a 2 b 4 ) ? 4 ? a 3b 3 ? 3? a 4 bc ? 3a 2 b 2 c 2
cyc cyc cyc



由于 a, b, c 对称, cyc 轮换求和后扩展项数是 3 倍,故由⑤式简化为:

f ( a , b, c ) ?
⑷ 根据 SOS 法

1 [ 2c 4 ? 4a 2 b 2 ? abc(a ? b ? c )](a ? b)2 ? 2 cyc



Sc ? 2c 4 ? 4a 2b2 ? abc(a ? b ? c ) ;
同理: Sa ? 2a 4 ? 4b2c 2 ? abc(a ? b ? c ) ;

Sb ? 2b4 ? 4c 2a 2 ? abc(a ? b ? c ) .
由于 ? S? 前两项为偶次项,所以当 a, b, c 有任何负值时,最后一项 ?abc(a ? b ? c ) 显然不 小于 a, b, c 为正值的值. 故我们设 a, b, c ? 0 . 当 a ? b ? c ? 0 时:

Sc ? 2c 4 ? 4a 2b2 ? abc(a ? b ? c ) ? 3a 2b 2 ? abc(a ? b ? c ) ? 0 ; Sc ? 2Sb ? 2c 4 ? 4a 2b2 ? 4b4 ? 8c 2a 2 ? 3abc(a ? b ? c )
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? 3a b ? (a b ? 4c2a2 ) ? (4b4 ? 4c2a2 ) ? 3abc(a ? b ? c) ? 0

2 2

2 2

Sa ? 2a 4 ? 4b2c 2 ? abc(a ? b ? c ) ? a 4 ? (a 4 ? b2c 2 ) ? abc(a ? b ? c )
? a 4 ? 2 a 4 b 2 c 2 ? abc(a ? b ? c ) ? a 4 ? 2a 2 bc ? abc(a ? b ? c ) ? 0

Sa ? 2Sb ? 2a 4 ? 4b2c 2 ? 4b4 ? 8c 2a 2 ? 3abc(a ? b ? c )
? (a4 ? 4b2c2 ) ? (4b4 ? 4c2a2 ) ? (a4 ? 4c2a2 ) ? 3abc(a ? b ? c) ? 0
即:当 a ? b ? c 时, Sa ? 0 , Sc ? 0 , Sa ? 2Sb ? 0 , Sc ? 2Sb ? 0 ; 根据 23.2 SOS 法第⑶条: S ? 0 . 证毕. 27.22 设 a , b, c, d ? 0 ,且 a ? b ? c ? d ? abcd ? 5 ,求证: 解析:本题采用琴生不等式. 构建函数: f ( x ) ?
1 ,在 x ? 0 区间, f ( x ) 为向下凸函数. x
1 1 1 1 ? ? ? ? 4. a b c d

根据琴生不等式 ( 21) :对于向下凸函数,均值的函数值不大于函数的均值 即:
f (a ) ? f (b ) ? f (c ) ? f (d ) a?b?c?d ? f( ) 4 4
a?b?c?d ) 4

即: f (a ) ? f (b) ? f (c ) ? f (d ) ? 4 f ( 将 f ( x) ?



1 及 a ? b ? c ? d ? 5 ? abcd 代入①式得: x

1 1 1 1 4 16 ? ? ? ? 4? ? a b c d a ? b ? c ? d 5 ? abcd

② ③

由均值不等式: 5 ? abcd ? a ? b ? c ? d ? 4 4 abcd

设: t ? 4 abcd ? 0 ,则③式为: 5 ? t 4 ? 4t ,即: t 4 ? 4t ? 5 ? 0 即: (t ? 1)(t 3 ? t 2 ? t ? 5) ? 0 ④

因为 t ? 0 ,所以 t 3 ? t 2 ? t ? 5 ? 0 则由④式得: t ? 1 ,故: t ? (0 , 1] ⑤

1 1 1 1 16 ? 4 . 证毕. 将⑤式代入②式得: ? ? ? ? a b c d 5?1

另:采用拉格朗日乘数法. 设: f (a , b, c , d ) ?
1 1 1 1 ? ? ? , g(a, b, c, d ) ? a ? b ? c ? d ? abcd ? 5 a b c d
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则:拉氏函数: L ? f ? ? g 偏导数: 同理:
1

?L ?f ?g 1 1 1 ? ?? ? ? 2 ? ? (a ? abcd ) ? 0 ,即: ? ? a(a ? abcd ) ? ?a ?a ?a a a
? ? b(b ? abcd ) ; 1

?

?

? ? c(c ? abcd ) ;

1

?

? ? d (d ? abcd ) .

则: a(a ? abcd ) ? b(b ? abcd ) ,即: a 2 ? b2 ? (a ? b)abcd 即: (a ? b)(a ? b ? abcd ) ? 0 故: a ? b 或 a ? b ? abcd ? 0 . 同理可得: a ? b ? c ? d . 而由 a ? b ? abcd ? 0 , b ? c ? abcd ? 0 ,…,同样得到: a ? b ? c ? d 故极值点: a ? b ? c ? d ? 1 . 即 f ( a , b, c , d ) ? 27.23 设不等式:
ab(a 2 ? b 2 ) ? bc(b 2 ? c 2 ) ? ca(c 2 ? a 2 ) ? M (a 2 ? b 2 ? c 2 )2
1 1 1 1 ? ? ? 的极小值为 4 . a b c d



对一切实数 a, b, c 都成立,求 M 的最小值. 解析:注意到 ab(a 2 ? b2 ) ? bc(b2 ? c2 ) ? ca(c 2 ? a 2 ) ? (a ? b)(b ? c)(a ? c)(a ? b ? c) 则不等式 ab(a 2 ? b 2 ) ? bc(b 2 ? c 2 ) ? ca(c 2 ? a 2 ) ? M (a 2 ? b 2 ? c 2 )2 变为 (a ? b)(b ? c )(c ? a )(a ? b ? c ) ? M (a 2 ? b 2 ? c 2 )2 ① ②

⑴ 设: x ? a ? b ; y ? b ? c ; z ? c ? a ; s ? a ? b ? c ,则: x ? y ? z ? 0

1 1 及: a 2 ? b 2 ? c 2 ? [(a ? b ? c )2 ? (a ? b)2 ? (b ? c )2 ? (c ? a )2 ] ? ( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ) 3 3

代入①式: sxyz ?

1 M ( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 9

即: 9 sxyz ? M ( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 其中, x, y, z, s ? R



⑵ ③式两边 xyz 与 x 2 ? y 2 ? z 2 之间的关系由②式限制. 由于 x ? y ? z ? 0 , 3 个变量 x , y , z 中有两个的符号相同,不妨设为 x, y ? 0 . 因为 x , y ? 0 时, a ? b ? c ,①式只要 M ? 0 即可.
第 39 页

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当 x, y ? 0 时, z ? ?( x ? y ) ,设 t ? x ? y ? ? z ,由均值不等式 xy ?

( x ? y )2 得: 4

sxyz ? sxy( x ? y ) ? s ?

( x ? y )3 t3 ? s? 4 4



当 x ? y 时,④式得等号成立. ⑶ 由均值不等式得:
? 2s 2 ? t 2 ? t 2 ? t 2 ? ? 2s 2 ? 3t 2 ? 2s t ? 2s ? t ? t ? t ? ? ? ?? ? 4 4 ? ? ? ?
2 6 2 2 2 2
2 3

4

4

? 2s 2 ? 3t 2 ? 1 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 即: 2 s t ? ? ? ? (s ? t ) ? (s ? x ? y ? z ) 4 4 2 4 ? ?

即: 4 2 s t 3 ? ( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2



上面用到了: 3t 2 ? t 2 ? 2t 2 ? ( x ? y )2 ? 2z 2 ? 2x 2 ? 2 y 2 ? 2z 2 ⑷ 由⑤式得:
1 1 s t3 ? ( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 4 16 2



将⑥式代入④式得: sxyz ? 于是: 9 sxyz ?

1 16 2

( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 ?

2 2 ( s ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 32

9 2 2 ( s ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 32



比较③⑦两式得: M ?

9 2 9 2 . 故: M 的最小值为 . 32 32

27.24 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 3 ,求证: (a 2b ? b2c ? c 2a)(ab ? bc ? ca) ? 9 . 解析:采用 uvw 法. ⑴ 齐次化: 27 (a 2b ? b2c ? c 2a)(ab ? bc ? ca) ? (a ? b ? c)5 ⑵ 设: 3u ? a ? b ? c , 3v 2 ? ab ? bc ? ca , w 3 ? abc 则①式变为: 27 (a 2b ? b2c ? c 2a) ? 3v 2 ? 35 u5 即: (a 2b ? b2c ? c 2a)v 2 ? 3u5 即: 6u5 ? 2(a 2 b ? b 2 c ? c 2 a )v 2 ? 2v 2 ? (a 2b )
cyc



即: 6u5 ? v 2 ? (a 2 b) ? v 2 ? (a 2 c ) ? v 2 ? (a 2 b) ? v 2 ? (a 2 c )
cyc cyc cyc cyc



40



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即: 6u ? v

5

2

? (a
cyc

2

b ? a c ) ? v 2 ? (a 2 b ? a 2 c )
2 cyc



⑶ 下列常用式:

9uv 2 ? 3w 3 ? 3u ? 3v 2 ? 3w 3 ? (a ? b ? c )(ab ? bc ? ca ) ? 3abc ? (a 2b ? abc ? ca 2 ) ? (ab2 ? b2 c ? abc) ? (abc ? bc 2 ? c 2 a) ? 3abc

? a 2 b ? ca 2 ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? c 2a ? ? (a 2b ? a 2c )
cyc

即: ? (a 2 b ? a 2 c ) ? 9uv 2 ? 3w 3
cyc



(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? (ab ? ac ? b2 ? bc)(c ? a )
? abc ? ac 2 ? b2 c ? bc 2 ? a 2b ? a 2c ? ab 2 ? abc

? ?(ac 2 ? b2c ? bc 2 ? a 2b ? a 2c ? ab2 )

? ?(a 2 b ? a 2c ? b2c ? b2a ? c 2a ? c 2b) ? ?? (a 2b ? a 2c )
cyc

即: ? (a 2 b ? a 2c) ? ?(a ? b)(b ? c)(c ? a )
cyc



将③④代入②得:

6u5 ? 9uv 4 ? 3w3v 2 ? ?v 2 (a ? b)(b ? c)(c ? a)
1 即: 2u5 ? 3uv 4 ? w 3v 2 ? ? v 2 (a ? b )(b ? c )(c ? a ) ? 0 3



⑷ 采用 uvw 法必须牢记的几个不等式: A> (a ? b)(b ? c )(c ? a ) ? ? (a 2c ? a 2b)
cyc

B> C> D> E>

?a
cyc cyc

2

? 9u2 ? 6v 2 ? 9u4 ? 6uw 3

?a b ?a
cyc 3

2 2

? 27u3 ? 27uv 2 ? 3w 3 ? (9u2 ? 6v 2 )2 ? 2(9v 4 ? 6uw 3 )

?a
cyc

4

F> (a ? b)2 (b ? c)2 (c ? a)2 ? 27[?( w 3 ? 3uv 2 ? 2u3 )2 ? 4(u2 ? v 2 )3 ] G> w 3 ? 3u3 ? 4uv 2 即舒尔不等式 ⑸ 因为 a, b, c ? 0 ,所以根据傻瓜不等式 (53) : u ? v ? w 故由⑷F>可得: ?( w 3 ? 3uv 2 ? 2u3 )2 ? 4(u2 ? v 2 )3 ? 0
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不等式高级水平必备----tobeenough

即: 4(u2 ? v 2 )3 ? ( w 3 ? 3uv 2 ? 2u3 )2 ,即: 2 ( u 2 ? v 2 )3 ? ?( w 3 ? 3uv 2 ? 2u 3 ) 即: w 3 ? 3uv 2 ? 2u 3 ? 2 ( u 2 ? v 2 )3 ⑦

这与 24.1 中 uvw 定理的 w 3 取值要求一致. ⑺ 将⑦代入⑤
2u5 ? 3uv 4 ? w 3v 2 ? 2u5 ? 3uv 4 ? v 2 [3uv 2 ? 2u 3 ? 2 (u 2 ? v 2 )3 ]

只要 2u5 ? 3uv 4 ? v 2 [3uv 2 ? 2u3 ? 2 (u 2 ? v 2 )3 ] ? 0 则满足⑤式要求. ⑧式即: 2u5 ? 2u3v 2 ? 2v 2 (u2 ? v 2 )3 ? 0 即: u5 ? u3v 2 ? v 2 ( u2 ? v 2 )3 ? 0



⑻ 设 u ? tv ,则由傻瓜不等式得 t ? 1 ,代入⑧式得: t 5 ? t 3 ? ( t 2 ? 1)3 ? 0 即: t 5 ? t 3 ? ( t 2 ? 1)3 ,即: t 3 ( t 2 ? 1) ? ( t 2 ? 1) t 2 ? 1 即: t 3 ? t 2 ? 1 ,即: t 6 ? t 2 ? 1 ? 0 在 t ? 1 是⑨式恒成立. 这样,⑧式成立,倒退回去则①式成立. 此题不好. 将此题展开来,则是求证: 证毕. ⑨

?a
cyc

5

? 5? (a 4 b ? ab4 ) ? 10? a 2b3 ? 3? a 2b2c ? 17 ? a 3b2 ? 7 ? a 3bc
cyc cyc cyc cyc cyc



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