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高中文科数学重要公式及知识点速记 (1)


高中数学公式及知识点总结
一,集合和逻辑 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 空集的补集是全集 集合的性质: 1、①任何一个集合是它本身的子集,记为 A ? A ; ②空集是任何集合的子集,记为 ? ? A ; ③空集是任何非空集合的真子集; 2、如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B. 如果 A ? B,B ? C,那么A ? C . ①{(x

,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R

? 二、四象限的点集.

③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集.
?x ? y ? 3 ? 2x ? 3y ? 1 例: ?

解的集合{(2,1)}.

点集与数集的交集是 ? . (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ? ) 3. ①n 个元素的子集有 2 个. ②n 个元素的真子集有 2 -1 个. 个.
n n

③n 个元素的非空真子集有 2 -2

n

4. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 ? 逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 ? 逆否命题. 5、小范围推出大范围;大范围推不出小范围.
? x ? 5或x ? 2 . 例:若 x ? 5,

6、集合运算:交、并、补.

交:A B ? {x | x ? A, 且x ? B} 并:A B ? {x | x ? A或x ? B} 补:C U A ? {x ?U , 且x ? A}
关系:
A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C; A B ? A, A B ? B; A B ? A, A B ? B.

等价关系:

A ? B ? A B ? A ? A B ? B ? CU A B ? U
7、集合的运算律:
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交换律: A ? B ? B ? A; A ? B ? B ? A. 结合: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) 分配 A ? ( B ? C) ? ( A ? B) ? ( A ? C); A ? ( B ? C) ? ( A ? B) ? ( A ? C)

逻辑:1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、原命题: “若 p ,则 q ” 否命题: “若 ? p ,则 ? q ” 逆否命题: “若 ? q ,则 ? p ” 4、四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 利用集合间的包含关系: 例如: 若 A? B, 则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件; 若 A=B, 则 A 是 B 的充要条件; 6、逻辑联结词:⑴且 :命题形式 p ? q ;⑵或:命题形式 p ? q ; ⑶非:命题形式 ? p . 逆命题: “若 q ,则 p ”

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p?q
真 假 假 假

p?q
真 真 真 假

?p
假 假 真 真

7、⑴全称量词——“所有的” 、 “任意一个”等,用“ ? ”表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词——“存在一个” 、 “至少有一个”等,用“ ? ”表示; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x)

二、函数、导数
1、函数的单调性 (1)设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么

loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb a

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数. (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数.
2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? f ( x) , 则 f ( x) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,

loga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log a N ? N 换底公式: loga N ?

推论: loga b ? logb c ? logc a ? 1 ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an

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则 f ( x) 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 3、函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切 线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 4、几种常见函数的导数
' ① C ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ;

③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑦ (log a x ) ?
'

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; 5、导数的运算法则

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

u ' u 'v ? uv ' (v ? 0) . (1) (u ? v) ? u ? v . (2) (uv) ? u v ? uv . (3) ( ) ? v v2
' ' ' ' ' '

6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.

三、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =

sin ? . cos ?

9、正弦、余弦的诱导公式 k? ? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的同名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号;

k? ?

?

2

? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的余名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号。

10、和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 tan ? tan ?

11、二倍角公式

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ? ; 2 公式变形: 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2

12、三角函数的周期 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的
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周期 T ? 期T ?

2?

? . ? 13、 函数 y ? sin(? x ? ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换
14、辅助角公式

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) 其中 tan ? ?
15、正弦定理

b a

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
16、余弦定理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
17、三角形面积公式

S?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2

18、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 19、 a 与 b 的数量积(或内积)

a ? b ?| a | ? | b | cos?
20、平面向量的坐标运算 (1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 ? y1 y 2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则 a ? 21、两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则

x2 ? y2

cos? ?

a ?b ab

?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

22、向量的平行与垂直

a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点
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四、数列
23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? an ? ? s ? s , n ? 2 ? n n?1
24、等差数列的通项公式

? an ).

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
25、等差数列其前 n 项和公式为

sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2

26、等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

27、等比数列前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1

五、不等式
x? y ? xy ,当 x ? y 时等号成立。 2 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; 1 2 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s . 4 六、解析几何
28、已知 x, y 都是正数,则有 29、直线的五种方程 k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 30、两条直线的平行和垂直 若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . 31、平面两点间的距离公式

d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
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32、点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

33、 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ? 34、直线与圆的位置关系

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 弦长= 2 r 2 ? d 2 Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

? x ? a cos? c x2 y 2 2 2 2 椭圆: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a ? c ? b ,离心率 e ? ? 1,参数方程是 ? . a a b ? y ? b sin ?
c x2 y2 b 2 2 2 双曲线: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), c ? a ? b ,离心率 e ? ? 1 ,渐近线方程是 y ? ? x . a a a b p p 2 抛物线: y ? 2 px ,焦点 ( ,0) ,准线 x ? ? 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离. 2 2
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? ?0? y?? x. 渐近线方程: ? a a 2 b2 a2 b2 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y ? ? 0, (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线, 可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0, 焦点在 x 轴上, a b a b
2

焦点在 y 轴上). 37、抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式
2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 | PF |? x 0 ?

p . (抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距 2

离。 ) 38、过抛物线焦点的弦长 AB ? x1 ?

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2

七、立体几何
39、证明直线与直线平行的方法 (1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等) 40、证明直线与平面平行的方法 (1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行)
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(2)先证面面平行 41、证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交 直线分别与另一平面平行) .... 42、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 43、证明直线与平面垂直的方法 (1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交 直线垂直) .... (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面) 44、证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直) 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2?rl ,表面积= 2?rl ? 2?r 圆椎侧面积= ?rl ,表面积= ?rl ? ?r
2

2

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 4 3 2 球的半径是 R ,则其体积 V ? ? R ,其表面积 S ? 4? R . 3
46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法) 48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。 正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

八、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算

x1 ? x 2 ? ? x n 1 2 2 2 2 方差: s ? [( x1 ? x) ? ( x 2 ? x) ? ? ( x n ? x) ] n n 1 标准差: s ? [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ] n
平均数: x ? 50、回归直线方程
n n ? x ? x y ? y ? i ?? i ? ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ?b ? ? i ?1n n 2 . y ? a ? bx ,其中 ? xi 2 ? nx 2 ? xi ? x ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx n(ac ? bd) 2 2 51、独立性检验 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 2 随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱

52、古典概型的计算(必须要用列举法 、列表 法 、树状 图 的方法把所有基本事件表示出来,不重复、 ... .. . .. . 不遗漏)

九、复数
53、复数的除法运算
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a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i . ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2
54、复数 z ? a ? bi 的模 | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 .

十、参数方程、极坐标化成直角坐标 ?? 2 ? x 2 ? y 2 ?? cos? ? x ? 55、 ? ? y ?? sin ? ? y ?tan? ? ( x ? 0) x ?

56.圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ?

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? . ? x ? acos? , x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . a b ? y ? bsin?.
抛物线 y 2 ? 2 px 的参数方程可表示为 ?

? x ? 2 px 2 , ? y ? 2 pt .

(t为参数 ) .

经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ? P(x,y) /P1P2/=/t1-t2/ M0P=t t>0 时 P 在 M0 上方

? x ? x o ? tcos ? , ( t 为参数). ? y ? y o ? tsin? .

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