nbhkdz.com冰点文库

太原市2015年高三一模 试卷分析 数学(理)

时间:2015-04-27


太原市 2015 年高三年级模拟试题(一)
数学试卷(理工类)
一、选择题 1、已知 1 + i z = 2i,则复数z =() A.1 + i B.1 ? i C.?1 + i D.?1 ? i

考点:复数的运算 答案:A 2、已知全集U = R,集合M = x x ? 1 x + 3 < 0 , N = {x||x| ≤ 1},则下图阴影部分表示的 集合是() A.[-1,1) B.(-3,1? C.(-?,3)?[-1,+?) D.(-3,-1) M 考点:集合之间的简单运算 答案:D 3、在单调递减等比数列{ an }中,若 a3 ? 1, a2 ? a4 ? A.2 B.4 C. 2 D.2 2 N U

5 ,则 a1 ? () 2

考点:数列的运算 答案:B 4、已知函数 f ( x) ? log2 x ,若在 [1,8] 上任取一个实数 x0 ,则不等式 1 ? f ( x0 ) ? 2 成立的 概率是( )

A、1 4
考点:几何概型 答案: C

B、1 2

C、2 7

D、1 2

5、执行如右图所示程序框图,则输出 a ?





A 、 20

B 、 14

C 、 10

D 、7

开始

a ? 10, i ? 1



i ? 2015 ?


输出 a

结束


a ? 3a ? 1
a 是奇数


a? a 2

i ? i ?1
考点:读程序框图 答案: C 6、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |?

2 ? 个单位后得到的图像关于原点对称,则函数 f ( x) 的图像( ) 3 A 、关于直线 x ? ? 对称 B 、关于直线 x ? 5? 对称 12 12 C 、关于点 ( ? , 0) 对称 D 、关于直线 ( 5? , 0) 对称 12 12

? 的最小正周期是 ,若将其图像向右平移 ) ?

考点:三角函数图像及性质 答案: B 7、已知在圆x 2 + y 2 ? 4y + 2y = 0内,过点 E(1,0)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD, 则四边形 ABCD 的面积为 A、3 5 B、6 5 C、4 15 D、2 15

考点:圆与直线位置关系 答案:D 8、已知某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 A、16 B、32 C、32 D、48

考点:由三视图求体积 答案:C 9、已知实数 a , b 满足 2a ? 3,3b ? 2 ,则函数 f ? x ? ? a ? x ? b 的零点所在的区间是
x

A.

? ?2, ?1?

B.

? ?1,0?

C.

? 0,1?

D. ?1, 2?

考点:指数函数,函数的零点问题 答案:B

?x ? 2 ? 10、已知实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 4 若目标函数 z ? 3x ? y 的最小值为 5,其最大 ? ?2 x ? y ? c ? 0 ?
值为 A. 10 B. 12 C. 14 D. 15

考点:线性规划 答案:A 11、已知点 ? 为双曲线 C 的对称中心,过点 ? 的两条直线 l1 与 l2 的夹角为 60 ,直线 l1 与双
?

曲线 C 相交于点 A1 , B1 ,直线 l2 与双曲线 C 相交于点 A2 , B2 ,若使 A 1B 1 ? A 2 B2 成立的直 线 l1 与 l2 有且只有一对,则双曲线 C 离心率的取值范围是 A. ? ?

?2 3 ? , 2? 3 ? ?

B. ?

?2 3 ? ,2? ? 3 ? ?

C. ? ?

?2 3 ? , +? ? ? ? 3 ?

D. ?

?2 3 ? , +? ? ? ? 3 ?

考点:双曲线离心率的求解 答案:A

12、 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ?1? 则 Sn ? A. ?30 B. ?60 C. 90

n

? 2n ? 1? cos

n? ? 1? n ? N ? ? , 其前 n 项和为 Sn , 2

D. 120

考点:数列前 n 项和的求解 答案:D 二、填空题

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 a ? b a ? b ? 6 ,且 a ? 2, b ? 1 ,则 a 13.已知向量 a, b 满足 与b 的夹角为

?

??

?



答案: 120O

1 ? ? 14、已知 ? 2 x ? ? 展开式的二项式系数之和为 64,则其展开式中常数项是__________. x? ?
考点:二项式定理 答案:60 15、已知在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD, CD ? AD, AB ? 2 AD ? 2 CD ? 2 将已知在直 角梯形沿 AC 折叠成三棱锥 D ? ABC ,当三棱锥 D ? ABC 体积取最大值时其外接球的体 积为 考点:球的内切问题 答案:

n

4? 3 3 2

16、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( ? x) ? f ( x ), f (?2) ? ?3 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? ?1, Sn ? 2an ? n(n ? N * ) ,则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? 考点:构造数列和函数的对称性及周期性。 答案:3 三、解答题 17、已知 a, b, c 分别是 ?ABC的角A, B, C 所对的边,且 c ? 2, C ? (Ⅰ)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A, 求A的值。 解: (Ⅰ)? c ? 2, C ?

?
3



?
3

2 2 ,由余弦定理得 4 ? a ? b ? 2ab cos

?
3

? a 2 ? b 2 ? ab 。

1 ? ?ABC 的面积等于 3 ,? ab sin C ? 3 ,? ab ? 4 。 ??? ??? ??? 4 分 2
联立 ?

?a 2 ? b2 ? ab ? 4 ?ab ? 4

解得 a ? 2, b ? 2 。 ??? ??? ??? ??? ??? 6 分

(Ⅱ)?sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A,?sin?B ? A? ? sin(B ? A) ? 4 sin A cos A,

? sin B cos A ? 2 sin A cos A 。 ??? ??? ??? ??? ??? ??? 8 分
①当 cos A ? 0时,则 A ?

?
2

。 ??? ??? ??? ??? ??? ??? 9 分

②当 cos A ? 0时, sin B ? 2 sin A, 由正弦定理得 b ? 2a , 联立 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4 2 3 4 3 , 解得a ? ,b ? 3 3 ?b ? 2a

? b 2 ? a 2 ? c 2 ,? C ?
综上所述, A ? 18、

?
3

,? A ?

?
6

,

?
2

或A ?

?
6

。 ??? ??? ??? ??? ??? ??? 12 分

某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取 40 件产品,测量这些 产品的重量(单位:克) ,整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为

? 490, 495? , ? 495,500? , ?500,505? , ?505,510? , ?510,515? )
(I)若从这 40 件产品中任取两件,设 X 为重量超过 505 克的产品数量,求随机变量 X 的分布列; (II)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取 5 件产品,求恰有两件 产品的重量超过 505 克的概率。

解: (I) 根据频率分布直方图可知, 重量超过 505 克的产品数量为 ? ?? 0.01 ? 0.05 ? ? 5? ? ? 40 ? 12 由题意得随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2

P ? X ? 0? ?

2 1 1 2 C28 C28 C12 C12 63 28 11 , , ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 C40 130 C40 65 C40 130

? 随机变量 X 的分布列为
X P
0 1 2

63 130

28 65

11 130

(II)由题意得该流水线上产品的重量超过 505 克的概率为 0.3 设 Y 为该流水线上任取 5 件产品重量超过 505 克的产品数量,则 Y ? B ?5,0.3? 故所求概率为 P ?Y ? 2? ? C5 ? 0.3 ? 0.7 ? 0.3087
2 2 3

19、 (本小题满分 12 分) 如图,在斜三棱柱ABC ? A1 B1 C1 中,侧面AA1 B1 B ⊥底面 ABC,侧棱AA1 与底面 ABC 的所成角为60° ,AA1 = 2,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,点 G 为?ABC的重心,点 E

在BC1 上,且 BE=

1 BC1 . 3

(1)求证:GE ∥ 平面 AA1 B1 B; (2)求平面B1 GE与底面 ABC 所成锐角二面角的余弦值; 解析: (1)证明:连接B1 E,并延长交 BC 于点 F,连接AB1 , AF, ∵ ABC ? A1 B1 C1 是三棱柱, ∴ BC ∥ B1 C1 , ∴ ?EFB~?EB1 C1 , 1 BE EF BF 1 又 ∵ BE = BC1 , ∴ = = = , 3 EC1 EB1 B1 C1 2 1 ∴ BF = BC, ∴ F 是 BC 的中点。 2 ∵ 点 G 是?ABC 的重心, ∴ 点 G 在 AF 上,且 ∴ GE ∥ AB1 , ∴ GE ∥ 平面 AA1 B1 B; (2)证明:过点A1 作A1 O ⊥ AB,垂足为 O,连接 OC, ∵ 侧面 AA1 B1 B ⊥ 底面 ABC, ∴ A1 O ⊥ 底面 ABC, ∴ ∠A1 AB = 60° ∵ AA1 = 2, ∴ AO = 1, ∵ AB = 2, ∴点 O 是 AB 的中点 又 ∵ 点 G 是正三角形 ABC 的重心 ∴ 点 G 在 OC 上, ∴ OC ⊥ AB, ∵ A1 O ⊥ 底面 ABC,∴ A1 O ⊥ OB,A1 O ⊥ OC 以 O 为圆心,分别以 OC,OB,OA 为 x,y,z 轴建立如图空间直角坐标系 O-xyz,由 题意可得: A (0, -1,0) , B (0,1,0) , C ( 3, 0,0) , A1 (0,0, 3) , B1 (0,2, 3) , C1 ( 3,1, 3) , 则G 3 1 , 0,0 , ∴ BE = BC1 = 3 3 3 3 , 0, ,∴E 3 3 3 3 , 1, , 3 3 GF BF 1 = = , AG EB1 2

∴ GE = 0,1,

3 3 2 3 ,B1 E = ( , ? 1, ? ) 3 3 3

设 n=(x,y,z)是平面B1 GE的一个法向量,则 ⊥ GE, ⊥ B1 E, 3 z = 0, 3 3 2 3 x?y? z = 0, 3 3 y+



令z = 3,则x = 3,y = ?1, ∴ = ( 3, ? 1, 3) 由(1)知OA1 = (0,0, 3)是平面 ABC 的一个法向量, 设平面B1 GE与底面 ABC 所成锐二面角为θ,则有:

cos θ =

? 21 = . ? 7

20、 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点 F1 , F2 其离心率为 e ? 1 , 点 P 为椭圆上的 a 2 b2 2
4? 3

一个动点, ?PF 1F 2 内切圆面积的最大值为 (1)求 a,b 的值

(2)若 A、B、C、D 是椭圆上不重合的四个点, 且满足 F 1 A / / FC 1 ,F 1B / / F 1D, AC ? BD ? 0, 求 | AC | ? | BD | 的取值范围。 解析: (1)当 P 为椭圆上下顶点时 ?PF 1F 2 内切圆面积的最大值设 ?PF 1F 2 内切圆半径 r ,

???? ???? ???? ???? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

1 1 2 3 S?PF1F2 ? | F1F2 | ? | OP |? bc ? (| F1F2 | ? | F1P | ? | F2 P |) ? r ? ( a ? c) 2 2 3
1 ? e ? ? a ? 2c,? b ? 2 3, a ? 4 2
(2)? F 1 由(1)椭圆 1 A / / FC 1 ,F 1B / / F 1D, AC ? BD ? 0,?直线 AC,BD 垂直相交于点 F 方程

?????? ???? ???? ???? ? ??? ? ??? ?

x2 y 2 ? ? 1? F ( 0 1 -2,) 16 12

①直线 AC,BD 有一条斜率不存在时 | AC | ? | BD | =6+8=14 ②当 AC 斜率存在且不为 0 时, 设方程 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) 则 A, C 是方程组的 两组解

??? ?

??? ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 16 12 ? y ? k ( x ? 2) ?

? ?16k 2 x ? x ? 2 ? ? 1 2 3 ? 4k 2 ???? 24(k ? 1) ,| AC | ? ? 2 3 ? 4k 2 ? x x ? 16k ? 48 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?

1 BD 方程 y ? ? ( x ? 2) 同理 k

? x2 y 2 ? ? 1 ??? ? ? 24(k 2 ? 1) ? 16 12 | BD |? ? 4 ? 3k 2 ? y ? ? 1 ( x ? 2) ? k ?

???? ??? ? | AC | ? | BD | =
2

168(k 2 ? 1)2 (4 ? 3k 2 )(3 ? 4k 2 )

设 t ? k ? 1(k ? 0), t ? 1

???? ??? ? | AC | ? | BD | =

??? ? 96 168 t ? 1 1 ???? ?t ? 1?0 ? 2 ? ? | AC | ? | BD |?[ ,14] t ?1 t 4 7 12 ? 2 t
??? ?
96 ,14] 7

由①② | AC | ? | BD | 的取值范围 [

??? ?

21、已知函数 f ( x) ? x2 ? a( x ? ln x), a ? R. (I)若当 a ? ?1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (II)若 f ( x) ? 解: (I) 由题意得 x ? (0, ??) , 当 a ? ?1 时,则 f ( x) ? x ? x ? ln x,? f '( x) ?
2

1 (e ? 1)a ,求 a 的取值范围。 2

2x2 ? x ?1 , x

令 f '( x) ? 0 ,则 0 ? x ? 1; 令 f '( x) ? 0 ,则 x ? 1 ; ,单调增区间是 [1, ??) 。 ? f ( x) 的单调减区间是(0,1)
2 (II)①当 a ? 0 时, f ( x) ? x ,显然符合题意;
?1? 1 a

②当 a ? 0 时,当 0 ? x ? e

? 1 时,

1 1 f ( x) ? 1 ? a ? a ln x ? 1 ? a ? a (?1 ? ) ? 0 ? (e ? 1)a ,不符合题意; a 2
③当 a ? 0 时,则

f '( x) ?

2 x 2 ? ax ? a , x

2 令 f '( x) ? 0 ,则存在 x0 ? (0, ??) ,使得 2x0 ? ax0 ? a ? 0 ,即 f '( x0 ) ? 0 ,

令 f '( x) ? 0 ,则 0 ? x ? x0 ;令 f '( x) ? 0 ,则 x ? x0 ,
2 ? f ( x) min ? f ( x0 ) ? x0 ? a ( x0 ? ln x0 ) ?

1 a[( x0 ? 1) ? 2 ln x0 ] , 2

1 ? f ( x) ? (e ? 1)a,? x0 ? 2 ln x0 ? (e ? 2) ? 0,? 0 ? x0 ? e 2 2 2 x0 2e2 2 ? 2 x0 ? ax0 ? a ? 0, a ? ? ? (? , 0) x0 ? 1 e ?1
综上所述,实数 a 的取值范围 ( ? 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图, 已知点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点, 过 C 的直线交 AB 的延长线于 E , 交过点 A 的圆 O 的切线于点 D , BC / / OD , AD ? AB ? 2 . (1)求证:直线 DC 是圆 O 的切线; (2)求线段 EB 的长.

2e 2 , 0] e ?1

? 答案: (1)证明:连接 OC ,? AD 是圆 O 的切线,??DAO ? 90

? BC / /OD,??AOD ? ?OBC, ?DOC ? ?BCO ? OB ? OC,??OBC ? ?BCO ,

??AOD ? ?DOC ,
又? OA ? OC, OD ? OD,? ?OCD ??OAD ,

??DCO ? ?DAO ? 90? ,?OC ? DC ,
? 直线 DC 是圆 O 的切线;
(2)设 EB ? x,? BC / / OD,?

EB EC ? , BO CD

? DC 是圆 O 的切线,? DC ? DA ? 2,
? BO ? 1 AB ? 1,? EC ? 2 x , 2

由(1)得,直线 EC 是圆 O 的切线,? EC 2 ? EB ? EA ,

? 4 x 2 ? x ? x ? 2 ? ,? EB ? x ?

2 . 3

23. 选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 1 ? 3 cos ? ? ? 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 y ? 3 sin ? (其中 ? 为参数) , 点M ? ?
是曲线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上,且满足 OP ? 2OM . (1)求曲线 C2 的普通方程; (2)以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 射线 ? ? 分别交于 A 、 B 两点,求 AB .

??? ?

???? ?

?
3

与曲线 C1 、C2

??? ? ???? ? ? ? x ? 2 x' , 答案: (1)设 P ? x, y ? , M ? x , y ? ,? OP ? 2OM ,? ? ' ? ?y ? 2y ,
' '

' ? 2 ? x ? 1 ? 3 cos ? , ? ? x ' ? 1? ? y '2 ? 3 , ? 点 M 在曲线 C1 上,? ? ' ? ? y ? 3 sin ? ,
2 曲线 C2 的普通方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 12 ; 2

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2? cos? ? 2 ? 0,
2

将? ?

?
3

代入得 ? ? 2 ,? A 的极坐标为 ? 2,

? ?

??

?, 3?

曲线 C2 的极坐标方程为 将? ?

? 2 ? 4? cos? ? 8 ? 0,
? ?

?
3

代入得 ? ? 4 , ? B 的极坐标为 ? 4,

??

?, 3?

? AB ? 4 ? 2 ? 2 .
24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? 2x ?1 ? x ? a , a ? R 。

(Ⅰ)当 a ? 3 时,解不等式 f ?x ? ? 4 ; (Ⅱ)若 f ?x? ? x ?1 ? a ,求 x 的取值范围。 解(Ⅰ)当 a ? 3 时,

? ?3x ? 4, x ? 3, ? 1 ? f ?x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 3 ? ? x ? 2, ? x ? 3, ??? ??? ??? ??? ??? 2 分 2 ? 1 ? 4 ? 3 x, x ? , ? 2 ?

4?, ??? ??? 4 分 其图像如图所示,与直线 y ? 4 相交于点 A?0,4?和B?2,
? 不等式 f ?x ? ? 4 的解集为 ?x 0 ? x ? 2?, ??? ??? ??? ??? 5 分
(Ⅱ)? f ?x? ? 2x ?1 ? x ? a ? ?2x ?1? ? ?x ? a? ? x ?1 ? a ,

? f ?x? ? x ?1 ? a ? ?2x ?1??x ? a? ? 0, ??? ??? ??? ??? 7 分
①当 a ?

? 1 1? 时,x的取值范围是? x a ? x ? ?; 2 2? ?
1 ?1 ? 时,x的取值范围是? ?; 2 ?2?

②当 a ?

③当 a ?

? 1 ? 1 时,x的取值范围是 ? x ? x ? a?. ??? ??? ??? ??? 10 分 2 ? 2 ?


赞助商链接

高三数学一模试卷分析

高三数学一模试卷分析_数学_高中教育_教育专区。高三一模数学分析 高三一模数学一模试卷分析 一、试卷中反映的问题: 教的问题: 对学生解题方法与能力的培养有待...

2015年高考理科数学新课标一试卷分析

2015年高考理科数学新课标一试卷分析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 年...2015 新课标 1 卷理 17 2014 新课标 1 卷理 17 第 5 页共 7 页 2013...

高三理科数学第一次模拟考试试卷分析

高三理科数学第一次模拟考试试卷分析_数学_高中教育_教育专区。2015 届高三教学质量调研考试理科数学试卷分析一、试卷的整体情况 本次数学调研试卷,相比去年难度有所下...

2015高考数学试卷分析

2015高考数学试卷分析_高考_高中教育_教育专区。表格 1 2015 年高考新课标Ⅰ...年 2013 年 2012 年 2011 年 考情分析理 2015 年 2014 年 2013 年 2012 ...

2016高考数学(理)试卷分析

2016 高考数学山东卷(理)试卷分析 试题结构、难易与易错点分析:题 题型 号 1 复数 5分 ★ 常规题型,复数及其共轭的运算 函数的值域,一元二次不等式解法与不...

高三数学理 科试卷分析

高三数学理试卷分析_数学_高中教育_教育专区。白银市一中试卷分析报告单(2014...白银市一中试卷分析报告单(2014-2015年度第一学期期末考试) 科目 年级 试题...

高三数学第一次模拟考试试卷分析

马鞍山市高三数学第一次模拟考试试卷分析马鞍山市第一...通过“一模”测试,我们要研究以前的各项工作和措施...使学生能理清块内的知识、方法和相 关的数学思想...

2015高考理科数学全国卷(二)试卷分析

2015 高考理科数学全国卷(二)试卷分析(吉林用卷) 各题目涉及知识点及难易程度: 题号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19...

2015年高考全国Ⅰ卷数学试卷分析(含试卷及答案)

2015年高考全国Ⅰ卷数学试卷分析(含试卷及答案) - 2015 年高考全国 1 卷数学试卷分析 一.整体解读 试卷紧扣考试说明,从考生熟悉的基础知识入手,宽角度、多视点、...

2015年浙江省高考数学试卷分析(理科)

2015年浙江省高考数学试卷分析(理科)_数学_高中教育_教育专区。2015 年浙江省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 2015 ...