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河北省正定中学2013-2014学年高一下学期期末考试 数学试题 Word版含答题


高一年级第二学期期末考试 数学试题
一 、选择题。(每小题 5 分,共 60 分) 1.设全集为 R ,集合 A ? {x | x2 ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A

(CR B) ?

A.(?3, 0)

B.(?3, ?1)

C.(?3, ?1

]

D.(?3,3)

2.已知 ? 是直线 y ? 2 x 的倾斜角,则 cos ? ?

A.

?

5 5

B.

5 5

C .?

2 5 5

D.

2 5 5

3. 在等差数列 ?an ? 中, 4 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? 3? a6 ? a8 ? a14 ? a16 ? ? 36 ,那么该数列的前 14 项 和为

A .20

B . 21

C .42

D .84

4.若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直, 则 a 的值为

A .?3

B.

?

1 2

C . 0 或?

3 2

D . 1 或? 3

5. 已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB 同方向的单位向量为

4? ?3 A . ? ,- ? 5? ?5
6. 若 x ? (e
?1

3? ?4 B . ? ,- ? 5? ?5

? 3 4? ? 4 3? C .?? , ? D .?? , ? ? 5 5? ? 5 5?

,1), a ? ln x, b ? 2ln x, c ? ln 3 x 则
B.

A .a ? b ? c
7.设 x ,

c?a?b

C .b ? a ? c

D .b ? c ? a

y

? x ? y ? 1 ? 0, ? 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ?
B. 7

A .8

C .2

D .1

D 是侧面 BB1C1C 的中心, 8.在三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点
则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 ( A. 30 B. 45 C. 60 ) D. 90
w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

2 2 9. 任意的实数 k ,直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系一定是

A .相离

B .相切

C .相交但直线不过圆心

D .相交且直线过圆心

10. 已知一个实心铁质的几何体的主视图、左视图和俯视图都是半径为 3 的圆,将 6 个这样的几何体熔成一个实心正方体,则该正方体的表面积为
A . 2163 ? 2 B . 2163 ?

C . 2103 ? 2

D . 2103 ?

11. 正项等比数列 ?an ? 满足

P 1 A D

P

a3 ? a2 ? 2a1 ,若存在两项 am , an ,
使得

C

B

am ? an ? 4a1 ,
A
5 3
C .

1 4 则 ? 的最小值是 m n
A.

2 60
2

主视图 D 2

左视图

P

C 俯视图
2
3 2
D .不存在

25 6

B.

B

12. 已 知 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的 零 点 为 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) ; f ( x) 的 最 小 值

y0 ? ?x1 , x2 ? 则函数 y ? f ( f ( x)) 的零点个数是
A .2 或 3 B. 3或4

C .3

D .4

二、填空题。(每小题 5 分,共 20 分) 13. 过点 (2,3) 且垂直于直线 2 x ? y ? 6 ? 0 的直线方程是 .

14. 有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 (如图所示),

∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为__________.

15.函数 y ? sin 2 x ? 2 3sin 2 x 的最小正周期为 T 为___________. 16.设 Sn 为数列 ?an 的前 n 项和, S n ? ( ?1) an ?
n

?

1 , n ? N ? , 则 S1 ? S2 ? ??? ? S100 ? _______. n 2

三、解答题。 (共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)一个四棱锥的三视图和直观图如图所示, E 为侧棱 PD 的中点. (1)求证: PB //平面 AEC ; (2)求三棱锥 E ? ACD 的体积.

P
E

A B

D
C

18.(本小题满分 12 分)已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? 2)2 ? 4(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 3 ? 0. 当直线 l 被圆截得的弦长为 2 2 时,求: (1) a 的值; (2)求过点 (3,5) 并与圆 C 相切的切线方程.

19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c . 已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 . (1)求角 A 的大小; (2)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B 的值.

20.(本小题满分 12 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 数列 {bn } 的前 n 项和为 Rn , Rn ? 1 ?

? 4S2 , a2 n ? 2an ?1.

1 (n ? N ? ) , n 2

(1) 求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

(2) 求数列 ?an ? bn ?的前 n 项和 Tn .

21. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1C1C 是边长为 4 的正方形, 平面 ABC ⊥平面 AA1C1C , AB ? 3, BC ? 5 . (1)求证: AA1 ? 平面 ABC ; (2)求点 A1 到平面 B1 BCC1 的距离; (3)求二面角 A1 ? BC1 ? B1 的正弦值。

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x2 ,其中 a ? 0 ,区间 I ? ?x | f ( x) ? 0? (1)求区间 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ); (2)给定常数 k ? (0,1) ,当 a ? ? 1 ? k ,1 ? k ? 时,求 l 长度的最小值.

高一年级第二学期期末考试数学答案

1-12 CBBDA
16. (

CBCCA

CA

13. x ? 2 y ? 8 ? 0 ;

14. 2 +

2 2



15.

?;

1 1 ? 1) 3 2100

17.解: (1)由图形可知该四棱锥和底面 ABCD 是菱形,且有一角为 60 ,边长为 2,锥体高度为 1. 设 AC,BD 和交点为 O,连 OE,OE 为△DPB 的中位线, OE//PB,EO ? 面 EAC ,PB ? 面 EAC 内,? PB//面 AEC. (2)三棱锥 E ? ACD 底面三角形 ACD 的面积为:

1 AD ? DC ? sin120? ? 3 2
1 , 2

因为 E 是 PD 的中点,所以三棱锥 E ? ACD 高是四棱锥 P ? ABCD 高的一半,即 所以: VE ? ABCD ? 18.

1 1 3 ? 3? ? 3 2 6

19.解:(I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?
(II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

1 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , 由正弦定理得 2

sin B ?
20.

5 7 14

21. (I)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC.

因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1⊥平面 ABC.

(2)

12 5

(3)

3 41 25
2

22.解: (Ⅰ) f ( x) ? x[a ? (1 ? a ) x] ? 0 ? x ? (0, (Ⅱ) 由(Ⅰ)知, l ?

a a ) .所以区间长度为 . 2 1? a2 1? a

a ? 1? a2

1 a? 1 a
1 1 ? 1- k ? k 2 ? 0? ? 1 - k恒成立 . 1? k 1? k

已知 k ? (0,1), 0 ? 1 - k ? a ? 1 ? k .令

1 1? k 1? k ? g (a) ? a ? 在a ? 1 ? k时取最大值? 这时l ? ? 2 a 1 ? (1 ? k ) 1 ? (1 ? k ) 2
所以 当a ? 1 ? k时,l取最小值

1? k . 1 ? (1 ? k ) 2


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