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数学一轮复习专辑:§4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数


§4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数 基础知识
要点梳理
1.任意角

自主学习

(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为 正角、 负角 、 零角 . ②按终边位置不同分为 象限角 和 轴线角 (2)终边相同的角 终边与角 ? 相同的角可写成 ? ? k ? 360?(k∈Z) . .

/> (3)弧度制
①1弧度的角:_______________________________ 把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角.

②规定:正角的弧度数为正数 ,负角的弧度数为 l 负数 ,零角的弧度数为 零 ,| ? |? r ,l是以角 ?
作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比 值
l 角的大小有关 . 无关 ,仅与 与所取的r的大小 r

④弧度与角度的换算:360°= 2? 弧度;180°=

? 弧度.
⑤弧长公式:

l ?| ? | r ,

扇形面积公式:S扇形=

1 lr 2

=

1 |? | r2 2

.

2.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义 设 ? 是一个任意角,角 ? 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为r (r>0),那么角 ? 的正弦、余弦、正切分别是: ? ? sin
x r y , tan ? ? x y r ,

它们都是以角为自 , cos ? ? 变量 ,以比值为 函数值 的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全
正、二正弦、三正切、四余弦 .

3.三角函数线
设角 ? 的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重 合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x 轴于M,则点M是点P在x轴上的 正射影 .由三角 函数的定义知,点P的坐标为 (cos ? , sin ? ) ,

即 P(cos ? , sin ? ) ,其中cos ? = OM ,sin ? ? MP , 单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点
的切线与 ? 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 tan ? ? AT .我们把有向线段OM、 MP、AT叫做 ? 的 余弦线 正弦线 正切线. 、 、

三角函 数线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线

4.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 .
sin ? (2)商数关系: cos ? ? tan ? .

基础自测
1.若 ? =k·180°+45° (k∈Z),则? 在(A ) A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 解析 B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

当k=2m+1 (m∈Z)时,

为 ? =2m·180°+225°=m·360°+225°,故 ? 第三象限角;当k=2m (m∈Z)时,

? =m·360°+45°,故 ?为第一象限角.

2.角 ?终边过点(-1,2),则cos ? 等于( C)
A. 5 5 B. 2 5 5 C. ? 5 5 D. ? 2 5 5

解析

r ? (?1) 2 ? 2 2 ? 5 ,
x ?1 5 ? ?? . r 5 5

由定义 cos ? ?

3.已知角 ? 的终边经过点(
小正值是( B )
A. 2? 3 B. 11? 6

3

,-1),则角 ?的最
5? 6 3? 4

C.

D.

解析

r ? ( 3 ) 2 ? ( ?1) 2 ? 2,

x 3 则 cos ? ? ? . r 2 又由题意知?是第四象限角, 11? ??的最小正值是 . 6

4.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形
的圆心角的弧度数是( C ) A.1 解析 B.4 C.1或4 D.2或4 设此扇形的半径为r,弧长为l,

?2r ? l ? 6, ?r ? 1, ?r ? 2, ? 则? 1 解得? 或? ?l ? 4 ?l ? 2. ? 2 rl ? 2, ? l 4 l 2 从而? ? ? ? 4或? ? ? ? 1. r 1 r 2

5.已知 ? 为第四象限角,且 cos ? ? ,
1 求1 ? tan ? ? 的值. 2 tan ?
2

1 2



∵? 为第四象限角,且 cos ? ? 1 ,
2

1 3 ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? , 2 2 sin ? tan ? ? ? ? 3, cos ? ?1 ? tan 2 ? ? 1 1 ? 1 ? (? 3 ) 2 ? tan 2 ? (? 3 ) 2 1 13 ? 1? 3 ? ? . 3 3

题型分类 深度剖析
题型一 三角函数的定义 【例1】 已知角 ? 的终边在直线3x+4y=0上,求 sin ? , cos ? , tan ? 的值. 思维启迪 本题求 ? 的三角函数值.依据三角函 数的定义,可在角 ? 的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),求出r,由定义得出结论. 解 ?角?的终边在直线3x ? 4 y ? 0上,
? 在角?的终边上任取一点P(4t ,?3t )(t ? 0), 则x ? 4t , y ? ?3t , r ? x 2 ? y 2 ? (4t ) 2 ? (?3t ) 2 ? 5 | t |, 当t ? 0时, r ? 5t ,

y ? 3t 3 x 4t 4 sin ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , r 5t 5 r 5t 5 y ? 3t 3 tan ? ? ? ?? ; x 4t 4 y ? 3t 3 当t ? 0时, r ? ?5t , sin ? ? ? ? , r ? 5t 5 x 4t 4 cos ? ? ? ?? , r ? 5t 5 y ? 3t 3 tan ? ? ? ?? . x 4t 4 3 4 3 综上可知, t ? 0时, sin ? ? ? , cos ? ? , tan ? ? ? ; 5 5 4 3 4 3 t ? 0时, sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? . 5 5 4

探究提高 某角的三角函数值只与该角终边所在 位置有关,当终边确定时三角函数值就相应确定.

但若终边落在某条直线上时,这时终边实际上有 两个,因此对应的函数值有两组要分别求解. 知能迁移1 设 ? 为第四象限角,其终边上的一个
4

点是P(x,- 5 ),且 cos ? ? 2 x, 求 sin ?和 tan ? .
解 ∵ ? 为第四象限角,∴x>0,且 r ?
2 ? x, 解得 : x ? 3 , 2 4 x ?5 x
x2 ? 5,

则 cos ? ?

10 15 ? r ? 8 , 故 sin ? ? ? , tan ? ? ? . 4 3

题型二

三角函数值的符号及判定

【例2】 (1)如果点P(sin ?·cos ?,2cos ? )位 于第三象限,试判断角 ? 所在的象限.
(2)若 ? 是第二象限角,试判断 sin (cos ? ) 的符 cos(sin 2? ) 号.
思维启迪 (1)由点P所在的象限可知 sin ?、cos ? 的符号,进而判断 ? 所在的象限.

(2)由 ? 可判断 cos ?、sin 2? 的范围,把 cos ? , sin 2?
看作一个角,再判断 sin(cos? ), cos(sin 2? ) 的符号.

解 (1) 因为点P (sin ? ? cos ? ,2 cos ? )位于第三象限,
?sin ? ? 0 所以 sin ? ? cos ? ? 0,2 cos ? ? 0, 即? , ?cos ? ? 0 所以?为第二象限角.

2 ? ?1 ? cos ? ? 0,4k? ? ? ? 2? ? 4k? ? 2? ,?1 ? sin 2? ? 0, ? sin(cos? ) ? 0, cos(sin2? ) ? 0. sin(cos? ) ? ? 0. cos(sin 2 ? ) sin(cos? ) ? 的符号是负号. cos(sin 2? )

(2) ? 2k? ?

?

? ? ? 2k? ? ? (k ? Z),

探究提高 (1)熟练掌握三角函数的符号法则是 解决此类问题的关键.

(2)由三角函数符号判断角所在象限,在写角的 集合时,注意终边相同的角. 知能迁移2 若 sin ? ? cos ? ? 0, 则 且 tan ? ? cos ? ? 0,

角 ? 的终边落在 A.第一象限
C.第三象限

(C )
B.第二象限 D.第四象限

解析 ? tan ? ? cos ? ? sin ? ? 0,

又 sin ? ? cos ? ? 0,? cos ? ? 0, ? 角?的终边落在第三象限.

题型三

三角函数线及其应用

【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角 ? 的 终边的范围,并由此写出角 ? 的集合:
(1) sin ? ? 3 1 ; (2) cos ? ? ? . 2 2

作出满足 sin ? ? 3 , cos ? ? ? 1 思维启迪 2 2 的角的终边,然后根据已知条件确定角 ? 终边的 范围.

解 (1)作直线

y?

3 交单位圆于A、B 2

两点,连结OA、OB,则OA与OB围 成的区域即为角 ? 的终边的范围, 故满足条件的角 ? 的集合为
? 2 ? ? ?? | 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z?. 3 3 ? ? 1 (2)作直线 x ? ? 交单位圆于C、D两点, 2

连结OC、OD,则OC与OD围成的区域

(图中阴影部分)即为角 ? 终边的范围.
故满足条件的角 ? 的集合为
2 4 ? ? ?? | 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z?. 3 3 ? ?

探究提高 本题的实质是解三角不等式的问题:

(1)可以运用单位圆及三角函数线;

(2)也可以用三角函数图象.
体现了数形结合的数学思想方法.

知能迁移3

求下列函数的定义域:

(1) y ? 2 cos x ? 1; (2) y ? lg(3 ? 4 sin 2 x). 1 解 (1) ? 2 cos x ? 1 ? 0,? cos x ? . 2

由三角函数线画出x满足条件的终边 范围(如图阴影所示). ? ?? ? ? x ? ?2k? ? ,2k? ? ? (k ? Z).
? 3 3?
3 (2) ? 3 ? 4 sin 2 x ? 0,? sin 2 x ? , 4 3 3 ?? ? sin x ? . 2 2

利用三角函数线画出x满足条件的终边 范围(如右图阴影), ? ?? ? ? x ? ?k? ? , k? ? ? (k ? Z).
? 3 3?

题型四

同角三角函数的基本关系式

【例4】 (12分)已知 ? 是三角形的内角,且 sin ? ?
(1)求tan ? 的值; (2) 把
1 用tan ? 表示出来,并求其值. 2 2 cos ? ? sin ? 1 思维启迪 (1)由 sin ? ? cos ? ? 及 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, 5
1 cos ? ? . 5

可求 sin ? , cos?的值;

(2) ? sin 2 ? ? cos2 ? ,分子、分母同除以 cos2 ?即可. 1



(1)方法一

1 ? ?sin ? ? cos ? ? 联立方程? 5 ?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ?



2分


1 由①得 cos ? ? ? sin ? , 将其代入②, 5 整理得25 sin 2 ? ? 5 sin ? ? 12 ? 0. 4 ? ?sin ? ? 5 ? ?是三角形内角,? ? , ?cos ? ? ? 3 ? 5 4 ? tan ? ? ? . 3

3分

6分

方法二 ? sin ? ? cos ? ? ,? (sin ? ? cos ? ) 2 ? ( ) 2 ,
1 24 ,? 2 sin ? cos ? ? ? , 25 25 24 49 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ? ? . 25 25 12 ? sin ? cos ? ? ? ? 0且0 ? ? ? ? , 25 ? sin ? ? 0, cos ? ? 0,? sin ? ? cos ? ? 0, 即1 ? 2 sin ? cos ? ? 7 ? sin ? ? cos? ? , 5 1 ? 4 ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? 5 ? 5 由? , 得? , ?sin ? ? cos ? ? 7 ?cos ? ? ? 3 ? ? 5 5 ? ? 4 ? tan ? ? ? . 3

1 5

1 5

3分

6分

1 sin 2 ? ? cos2 ? ( 2) ? 2 2 cos ? ? sin ? cos2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 tan2 ? ? 1 cos ? ? ? 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan2 ? cos2 ? 4 ? tan ? ? ? , 3 4 (? ) 2 ? 1 2 1 tan ? ? 1 25 ? ? ? 3 ?? . cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan2 ? 1 ? (? 4 ) 2 7

10分

12分

探究提高 这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的 值可求.转化的公式为(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos ? ; (2)关于sin x,cos x的齐次式,往往化为关于 tan x的式子.

3 (1)对于 sin ? ? cos ? , sin ? cos ? , sin ? ? cos ?

知能迁移4

分别求 sin ?、tan ? 的值:

12 (1) cos ? ? ? ; (2) cos ? ? m(| m |? 1). 13
12 解 (1) ? cos ? ? ? ? 0, 13 ??是第二或第三象限角 . 当?是第二象限角时, 5 sin ? 5 sin ? ? 1 ? cos ? ? , tan ? ? ?? ; 13 cos ? 12
2

5 5 当?是第三象限角时, sin ? ? ? , tan ? ? . 13 12

(2)当 | m |? 1时, ? ? k? (k ? Z), 此时 sin ? ? 0, tan ? ? 0; 当m ? 0时, ? ? k? ?

?

2 sin ? ? ?1, tan ?不存在;

(k ? Z),

当0 ?| m |? 1时, 若?是第一 、 二象限的角, 1? m 则 sin ? ? 1 ? m , tan ? ? ; m 若?是第三 、 四象限的角,
2 2

1 ? m2 则 sin ? ? ? 1 ? m 2 , tan ? ? ? . m

思想方法

感悟提高

方法与技巧
1.在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,

如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r一定
是正值. 2.在解决 sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? 的问题时,常

(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? ? cos ?. 常用到
3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角 函数线是一个小技巧.

失误与防范
1.注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小 于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象

限角,第二、第三类是区间角.
2.角度制与弧度制可利用180°= ? rad进行互化, 在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,

不可混用.
3.注意熟记0°~360°间特殊角的弧度表示.

定时检测
一、选择题
1.若角 ? 和角 ? 的终边关于x轴对称,则角 ? 可以用 角 ? 表示为 A. 2k? ? ?(k∈Z) C. k? ? ?(k∈Z) B.2k? ? ? (k∈Z) D.k? ? ? (k∈Z) (B )

解析

因为角 ? 和角 ? 的终边关于x轴对称,所

以 ? ? ? ? 2k? (k∈Z).所以 ? ? 2k? ? ? (k∈Z).

2.已知点P (tan ? , cos ? )
角 的终边在 第几象限 A.第一象限

? 在第三象限,则
B ( B.第二象限 )

?tan ? ? 0 , C.第三象限(tan ? , cos ? )D.第四象限 ? ? ?cos ? ? 0

解析

∵P ?

?

在第三象限,

由tan ? <0,得 在第二、四象限, ? 由cos <0,得 在第二、三象限, ? ∴ 在第二象限.

3.若扇形圆心角的弧度数为2,且扇形弧所对的弦长
也是2,则这个扇形的面积为
1 sin 2 1 1 C. cos2 1 A. B. 2 sin 2 2 2 D. cos2 2

(A)

解析

1 由题意得扇形的半径为 . 又由扇形面 sin 1

积公式得,该扇形的面积为 1 ? 2 ? 1 ? 1 . 2 sin 2 1 sin 2 1

4.已知角 ? 的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且
4 cos ? ? ? , 则m的值为 5 1 1 A. ? B. 2 2

( B)
C. ? 3 2 D. 3 2

解析

r ? 64 m 2 ? 9 ,
? 8m

4 ? cos ? ? ? ? ,? m ? 0, 2 5 64 m ? 9 4m 2 1 1 ? ? ,? m ? ? . 64 m 2 ? 9 25 2 1 ? m ? 0,? m ? . 2

5.已知角 ? 是第二象限角,且 | cos |? ? cos , 则角 是
2

?

?

?

(C)

2

2

A.第一象限角 C.第三象限角 解析

B.第二象限角

D.第四象限角 由 ? 是第二象限角知, ? 是第一或第三
2

象限角.

又 ? cos ?

?

? ? cos ,? cos ? 0, 2 2 2

?

?

?
2

是第三象限角 .

6.已知 ? 是第一象限角, tan ? ? 3 , 则 sin ? 等于( B )
4
4 5 3 5 C. ? 4 5 D. ? 3 5

A.

B.

解析

? sin ? 3 3 ? cos ? ? 4 , 由? , 得 sin ? ? (sin ? ? 0). 5 ?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ?

二、填空题
7.若点P(m,n)(n≠0)为角600°终边上一点,则 等于 解析
3 3

m n

.

由三角函数的定义知

n ? tan 600 ? ? tan(360 ? ? 240 ?) ? tan 240 ? ? tan 60? ? 3 , m m 1 3 ? ? ? . n 3 3

8.已知P在1秒钟内转过的角度为θ (0°<θ <180°), 经过2秒钟达到第三象限,经过14秒钟后又恰好回到 出发点,则θ
720? 900? 或 = 7 7

.

解析

∵0°<θ <180°且?

k·360°+180°<2θ <k·360°+270°(k∈Z),? 则必有k=0,于是90°<θ <135°,? 又14θ =n·360°(n∈Z), ? ? n ? 180?, ? 7
n 7 21 ? 90? ? ?180 ? ? 135 ?, ? n ? , 7 2 4 720 ? 900 ? ? n ? 4或5, 故? ? 或 . 7 7

9.若角 ? 的终边落在直线y=-x上,则
1 ? cos2 ? 的值等于 0 . ? 2 cos ? 1 ? sin ? sin ?

解析

1 ? cos2 ? sin ? | sin ? | ? ? ? , 2 cos ? | cos ? | cos ? 1 ? sin ?

sin ?

∵角 ? 的终边落在直线y=-x上,

∴角 ? 是第二或第四象限角.
sin ? | sin ? | sin ? sin ? 当?是第二象限角时, ? ? ? ? 0, | cos ? | cos ? ? cos ? cos ? sin ? | sin ? | sin ? ? sin ? 当?是第四象限角时, ? ? ? ? 0. | cos ? | cos ? cos ? cos ?

三、解答题
10.角 ? 终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0), 角 ? 终边上的点Q与A关于直线y=x 对称,求

sin ? ? cos ? ?sin ? ? cos ? ? tan ? ? tan ? 的值.
解 由题意得,点P的坐标为(a,-2a),

点Q的坐标为(2a,a).
sin ? ? ? 2a a ? (?2a )
2 2

?

? 2a 5a
2

,

cos ? ?

a a ? (?2a)
2 2

?

a 5a
2

,

? 2a tan ? ? ? ?2, a a a sin ? ? ? , 2 2 2 ( 2a ) ? a 5a cos ? ? 2a ( 2a ) ? a
2 2

?

2a 5a
2

,

a 1 tan ? ? ? , 2a 2 故有 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? tan ? ? tan ? 1 ? ? ? ? ? (?2) ? ? ?1. 2 2 2 2 2 5a 5a 5a 5a ? 2a a a 2a

11.设 ? 为第三象限角,试判断

sin

? ?
2 的符号. 2

cos



??为第三象限角 ,

3? ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? (k ? Z), 2 ? ? 3? k? ? ? ? k? ? (k ? Z). 2 2 4 当k ? 2n(n ? Z)时,2n? ? 此时 在第二象限. 2 ? sin

?

?

2

?

?

3 ? 2 n? ? ? , 2 4

?

2

? 0, cos

?

2

? 0. 因此

sin cos

? ?
2 ? 0. 2

当k ? 2n ? 1(n ? Z)时, 3? (2n ? 1)? ? ? ? (2n ? 1)? ? (n ? Z), 2 2 4 3? ? 7? 即2n? ? ? ? 2 n? ? ( n ? Z) 2 2 4 此时 在第四象限. 2 ? ? ? sin ? 0, cos ? 0, 2 2 ? sin 2 ? 0, 因此 ? cos 2 ? sin 2 ? 0. 综上可知 ? cos 2

?

?

?

12. 已知 tan ? ? ?1, 求下列各式的值:
tan ? ? 1

sin ? ? 3 cos ? (1) ; sin ? ? cos ? (2) sin 2 a ? sin ? cos ? ? 2.



由已知得

1 tan ? ? . 2

1 ?3 sin ? ? 3 cos ? tan ? ? 3 2 5 (1) ? ? ?? . sin ? ? cos ? tan ? ? 1 1 ? 1 3 2

( 2) sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2(cos 2 ? ? sin 2 ? ) 3 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? 3 tan 2 ? ? tan ? ? 2 ? tan 2 ? ? 1 1 2 1 3? ( ) ? ? 2 2 2 ? 1 2 ( ) ?1 2 13 ? . 5
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