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2016届高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题跟踪训练3 文

时间:2016-01-28


专题跟踪训练(三)
一、选择题 1 1.函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点的横坐标所在区间为(

x

)

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

1 [解析] 结合图形求解.作出函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象,可知只有一个交点,且

x

x=1 时,ln 2<1,当 x=2 时,ln 3>1> ,所以图象交点的横坐标所在区间为(1,2),故选
B. [答案] B 2.关于 x 的方程 ax+a-1=0 在区间(0,1)内有实根,则实数 a 的取值范围是( A.a>1 1 C. <a<1 2 1 B.a< 2 1 D.a< 或 a>1 2 )

1 2

1 [解析] 设 f(x)=ax+a-1,只需 f(0)·f(1)<0 即可,解得 <a<1,故选 C. 2 [答案] C 6 3.(2014·北京卷)已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是

x

(

) A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4,+∞)

3 1 [解析] 因为 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)= -log24=- <0, 2 2 所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4),故选 C. [答案] C 3 4.(2015·陕西一检)设函数 f(x)=logπ x,函数 g(x)= sin 2x,则 f(x)与 g(x)的图 5 象的交点个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.0 [解析] 作出 f(x),g(x)的图象,如图所示,可知有 1 个交点,故选 A.

1

[答案] A 5.(2015·河南省二调)函数 f(x)=3cos A.2 B.3 C.4 D.5 π 1 [解析] 依题意可知,由 f(x)=0 可得 3cos x=log2x+ ,利用数形结合可知,当 x 2 2 π 1 5 π 1 7 =4 时,3cos x=3,log2x+ = <3,当 x=8 时,3cos x=3,log2x+ = >3,所以函数 2 2 2 2 2 2 π 1 x-log2x- 的零点个数为( 2 2 )

f(x)=3cos x-log2x- 有 3 个零点,故选 B.
[答案] B 6.(2015·山西太原一模)已知实数 a,b 满足 2 =3,3 =2,则函数 f(x)=a +x-b 的 零点所在的区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) ) B.(-1,0) D.(1,2)
a b x

π 2

1 2

1 a b x [解析] ∵2 =3,3 =2, ∴a>1,0<b<1, 又 f(x)=a +x-b, ∴f(-1)= -1-b<0, f(0)

a

=1-b >0,从而由零点存在性定理可知 f(x)在区间(-1,0)上存在零点,故选 B. [答案] B [x] 7.已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= -a(x>0)有且仅有

x

3 个零点,则 a 的取值范围是(

)

?1 2? A.? , ? ?2 3? ?3 4? C.? , ? ?4 5?
x

?1 2? B.? , ? ?2 3? ?3 4? D.? , ? ?4 5?

[x ] [解析] 利用数形结合求解.画出函数 y= =

2

? ?1 ,1≤x<2, x ?2 ?x,2≤x<3, ?3,3≤x<4, x ? ??
0,0<x<1

3 4 的图象如图所示(不含右端点),由图象可得当 <a≤ 时, 4 5

[x] [x] 函数 y= 与 y=a 的图象有且仅有 3 个交点,所以函数 f(x)= -a,x>0 有且仅有 3 个

x

x

?3 4? 零点时实数 a 的取值范围是? , ?,故选 C. ?4 5?

[答案] C 8. (2015·沈阳模拟)加工爆米花时, 爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可 食用率”.在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系 p=at +bt +c(a、b、c 是常数),如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以 得到最佳加工时间为( )
2

3

A.3.50 分钟 B.3.75 分钟 C.4.00 分钟 D.4.25 分钟 [解析] 根据图表,把(t,p)的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关 0.7=9a+3b+c, ? ? 系式,联立方程组得 ?0.8=16a+4b+c, ? ?0.5=25a+5b+c,
? ?7a+b=0.1, 消去 c 化简得 ? ?9a+b=-0.3, ?

解得

a=-0.2, ? ? ?b=1.5, ? ?c=-2.0.

1? 2 15 225? 45 1? 15?2 2 所以 p=-0.2t +1.5t-2.0=- ?t - t+ ?+ -2=- ?t- ? 2 16 ? 16 4? 5? 5?

13 15 + ,所以当 t= =3.75 时,p 取得最大值,即最佳加工时间为 3.75 分钟,故选 B. 16 4 [答案] B 9. (2015·河南郑州第二次质量预测)已知函数 f(x)=?
? ?x+3,x>a ?x +6x+3,x≤a ?
2

, 函数 g(x)

=f(x)-2x,恰有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A.[-1,3) C.[-3,3) [解析] 因为 f(x)=?
? ?x+3,x>a ?x +6x+3,x≤a ?
2

)

B.[-3,-1] D.[-1,1)
? ?3-x,x>a ,所以 g(x)=? 2 ?x +4x+3,x≤a ?

,又因为

g(x)有三个不同的零点,则方程 3-x=0,x>a 有一个解,解得 x=3,所以 a<3,方程 x2+
4x+3=0,x≤a 有两个不同的解,解得 x=-1 或 x=-3,又因为 x≤a,所以 a≥-1.所以

a 的取值范围为[-1,3),故选 A.

4

[答案] A 10.(2015·河南郑州第一次质量预测)设函数 f(x)=e +2x-4,g(x)=ln x+2x -5, 若实数 a,b 分别是 f(x),g(x)的零点,则( A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a) C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0 [解析] 依题意,f(0)=-3<0,f(1)=e-2>0,且函数 f(x)是增函数,因此函数 f(x) 的零点在区间(0,1)内,即 0<a<1.g(1)=-3<0,g(2)=ln 2+3>0,且 g(x)在(0,+∞)上 是增函数, 因此函数 g(x)的零点在区间(1,2)内, 即 1<b<2, 于是有 f(b)>f(1)>0.又函数 g(x) 在(0,1)内是增函数,因此有 g(a)<g(1)<0,g(a)<0<f(b),选 A. [答案] A π 3 11.(2014·洛阳统考)已知函数 f(x)=cos x,g(x)=2- |x-2|,x∈[-2,6],则 2 4 函数 h(x)=f(x)-g(x)的所有零点之和为( A.6 B.8 C.10 D.12 [解析] 函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点之和可转化为 f(x)=g(x)的根之和,即转化为 ) )
x
2

y=f(x)和 y=g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和.又由函数 g(x)=2- |x-2|与 f(x)
的图象均关于 x=2 对称,可知函数 h(x)的零点之和为 12,故选 D.

3 4

[答案] D 12. (2014·皖西七校联考)已知函数 f(x)=e +|x|, 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个 不同的实根,则实数 k 的取值范围是( A.(0,1) C.(-1,0) ) B.(1,+∞) D.(-∞,-1)
|x|

5

[解析] 由 f(x)=e +|x|知 f(x)为偶函数,在[0,+∞)上为增函数可作出图象. 若方程 f(x)=k 有两个不同的实根, 则 f(x)=e +|x|与 y=k 有两个不同交点,得 k>1,故选 B. [答案] B 二、填空题 13.已知函数 f(x)=x +mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实 数 m 的取值范围是____________. [解析] 由题可得 f(x)<0 对于 x∈[m,m+1]恒成立,
? ?f?m?=2m -1<0, 即? 2 ?f?m+1?=2m +3m<0, ?
2 2 |x|

|x|

解得-

2 <m<0. 2

[答案] ?-

? ?

2 ? ,0? 2 ? ,若 f(0)=

? ?-2,x>0 14.(2015·广西南宁第二次测试)已知函数 f(x)=? 2 ?-x +bx+c,x≤0 ?

-2,f(-1)=1,则函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数为________.
? ?c=-2 [解析] 依题意得? ? ?-1-b+c=1

,由此解得 b=-4,c=-2.由 g(x)=0 得 f(x)

+x=0,该方程等价于
?x>0 ? ①? ?-2+x=0 ? ?x≤0 ? ,或②? 2 ?-x -4x-2+x=0 ?

.解①得 x=2,解②得 x=-1 或 x=-

2.因此,函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数为 3. [答案] 3 15.(2015·安庆二模)已知函数 f(x)= 为________.
6

1 -m|x|有三个零点,则实数 m 的取值范围 x+2

[解析] 函数 f(x)有三个零点等价于方程 ∵ 1

1 =m|x|有且仅有三个实根. x+2

x+2

1 =m|x|? =|x|(x+2),作函数 y=|x|(x+2)的图象,如图所示,由图象可知 m

m

1 应满足:0< <1.

m

故 m>1.

[答案] m>1 -x,x∈[-1,0? ? ? 16. (2015·江西九校联考)已知函数 f(x)=? 1 -1,x∈[0,1? ? ?f?x-1?

, 若方程

f(x)-kx-3k=0 有两个实数根,则 k 的取值范围是________.

[解析] 当 x∈[0,1)时,x-1∈[-1,0),所以 f(x)= =

1

f?x-1?

-1=

1 -1 -?x-1?

,又由 f(x)-kx-3k=0 得 f(x)=kx+3k=k(x+3),分别作出函数 y=f(x)与 y= 1-x 1-0 = -1+3

x

k(x+3)的图象, 如图所示, 要使方程 f(x)-kx-3k=0 有两个实数根, 则有 0<k≤
1 . 2

7

? 1? [答案] ?0, ? 2 ? ?

8


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