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高二年级数学第八章圆锥曲线方程教学教案-人教版[整理]-人教版[整理]

时间:2014-11-05


第八章
一、知识框架

圆锥曲线方程

二、重点难点
重点:椭圆的定义及相关概念,椭圆的标准方程,椭圆的几何性质;双曲线的定义及相关概念,双曲线的标 准方程,双曲线的几何性质,等轴双曲线与共轭双曲线的定义;抛物线的定义及圆锥曲线的统一定义,抛物线的 标准方程,抛物线的几何性质; 难点: 利用椭圆的第一定义和第二定义解题,

椭圆的几何性质及其应用,求椭圆的方程;对与渐近线有关的 问题的讨论,对定义、方程、几何性质中的隐形条件向显性结论转化;抛物线的几何性质。

三、知识点解析
1、椭圆及其标准方程 (1)定义: 1)文字定义: 第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距; 注意: | 2a |?| F 1 F2 | 非常重要。因为当 | 2a |?| F 1 F2 | 时,其轨迹为线段 F 1 F2 ;当 | 2a |?| F 1 F2 | 时,其轨迹不 存在; 第二定义:平面内到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数 e(0 ? e ? 1) 的点的轨迹;定义中定点不在 定直线上是前提,定点为椭圆的一个焦点,定直线是此焦点的相应的准线, e 为椭圆的离心率; 2)符号定义:

(2)方程:

x2 y 2 2 2 2 1 ) 标 准 方 程 : ① 焦 点 在 x 轴 上 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, b ? a ? c ) ; ② 焦 点 在 y 轴 上 : a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, b 2 ? a 2 ? c 2 ) ; 2 a b
2)参数方程: ?

? x ? a cos ? , ? 是参数; ? y ? b sin ?
1

3)注意:①标准方程中的常数 b 源于 b ? a ? c ,常数 a 和 b 决定椭圆的大小和扁平程度,是椭圆的定形
2 2 2

条件; ②焦点 F 1 (?c,0), F2 (c,0) 的位置,是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型;也就是说,知道了焦 点位置,其标准方程只有一种形式,不知道焦点位置,其标准方程具有多种类型; ③任何一个椭圆,只需选择适当的坐标系,其方程均可写成标准形式.当且仅当椭圆的中心在原点,焦点在 坐标轴上时,椭圆的方程才具有上述的标准形式。 2、椭圆的简单几何性质

x2 y 2 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
1)范围: | x |? a,| y |? b ; 2)对称性:关于 x, y 轴对称,关于原点中心对称; 3)顶点:长轴端点 A1 (?a,0), A2 (a,0) ,短轴端点 B1 (0, ?b), B2 (0, b) ; 4)离心率: e ?

c ? (0,1) ; a

a2 a2 , l2 : x ? 5)准线: l1 : x ? ? ; c c
6)焦半径: P( x, y) ? E , r 1 ?| PF 1 |? a ? ex, r 2 ?| PF 2 |? a ? ex 。 3、双曲线及其标准方程 (1)定义: 1)文字定义: 第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值是常数(小于 | F1F2 | )的点 M 的轨迹叫做双曲线, 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距, | F1F2 |? 2c ;

M 点无轨迹; 注:若 | 2a |?| F 1 F2 | ,则 M 点的轨迹为以焦点 F1 , F2 为端点(向两端出发)的两条射线; 若 | 2a |?| F 1 F2 | ,则
第二定义:平面内到定点 F 的距离和它到定直线 l ( F ? l ) 的距离的比是常数 e(e ? 1) 的点 M 的轨迹就是双 曲线,定点 F 为双曲线的一个焦点,定直线 l 是双曲线的相应于这个焦点的准线,常数 e 是双曲线的离心率; 2)符号定义:

(2)方程:

M ( x, y) 1) 标准方程: ①取过焦点 F1 , F2 的直线为 x 轴, 线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴, 设焦距 | F1F2 |? 2c ,
2

x2 y 2 2 2 2 为双曲线上任一点,则 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,这里 F1 , F2 的坐标为 F 1 (?c,0), F 2 (c,0), c ? a ? b ,这个方 a b
程称为焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程;②如果双曲线的焦点在 y 轴上,焦点坐标为 F 1 (0, ?c), F2 (0, c), 则

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,这个方程称为焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程; a 2 b2
2)参数方程: ?

? x ? a sec? ; ? y ? b tan ?

(3)等轴双曲线:实轴、虚轴长相等的双曲线就是等轴双曲线; (4)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线,他们的 离心率满足

1 1 ? 2 ?1。 e12 e2

4、双曲线的简单几何性质

H:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

1)范围: | x |? a, y ? R ; 2)对称性:关于 x, y 轴对称,关于原点中心对称; 3)顶点:轴端点 A1 (?a,0), A2 (a,0) ; 4)离心率: e ?

c ? (1, ??) ; a

5)准线: l1 : x ? ?

a2 a2 , l2 : x ? ; c c

P 在左支上, 6 ) 焦 半 径 : P( x, y ) ? H : P 在 右 支 上 , r 1 ?| PF 1 |? a ? ex, r 2 ?| PF 2 |? ?(a ? ex) ;

r1 ?| PF1 |? ?a ? ex, r2 ?| PF2 |? a ? ex 。
5、抛物线及其标准方程 (1)定义:1)抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 Z 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫 做抛物线的焦点,直线 Z 叫做抛物线的准线。其中,定点 F 不在定直线 Z 上; 2 )圆锥曲线的统一定义:平面内动点 M 与定点 F 的距离和它到定直线 Z 的距离的比等于常数 e ,则当 0 ? e ? 1 时,动点 M 的轨迹是椭圆;当 e ? 1 时,动点 M 的轨迹是双曲线;当 e ? 1 时,动点 M 的轨迹是抛物 线;其中定点 F 不在定直线 Z 上;定点 F 为圆锥曲线的一个焦点,定直线 Z 为此焦点相应的准线,常数 e 为离 心率; (2)方程: 1)标准方程: y ? 2 px( p ? 0) (开口向右) , y ? ?2 px( p ? 0) (开口向左) , x ? 2 py( p ? 0) (开口
2 2 2

向上) , x ? ?2 py( p ? 0) (开口向下) ;
2

? x ? 2 pt 2 2)参数方程: ? ( t 为参数) 。 ? y ? 2 pt
3

6、抛物线的简单几何性质

四、例题
1、椭圆及其标准方程 2、椭圆的简单几何性质

P 为椭圆上的点,当 PF1 ? F1 A , 例 1 已知 F 1 为椭圆的左焦点, A, B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,

PO // AB ( O 为椭圆中心)时,求椭圆的离心率。 c 解析 求椭圆的离心率, 即求 , 只需求 a , c 的值或 a , c 用同一个量表示。 本题没有具体数值, 因此只需把 a , c a
用同一量表示,由 PF1 ? F1 A , PO // AB 易得 b ? c, a ? 2b 。 解 设椭圆方程为

x2 y 2 b2 c2 2 2 2 ? ? 1( a ? b ? 0) P ( ? c , )。 , ,则 ,即 P ( ? c , 1 ? ) F ( ? c ,0), c ? a ? b 1 a 2 b2 a a2 b b2 c 2 。 ? kOP ,即 ? ? ? ,? b ? c ,?a ? b2 ? c2 ? 2b ,? e ? ? a ac a 2

AB // PO,? k AB

说明 由题意准确画出图形,利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键。 例 2 如 图 所 示 , 设 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 焦 点 为 F1 , F2 , 且 a 2 b2

P ? E, ?F1PF2 ? 2? ,求证: ?PF1F2 的面积 S ? b2 tan ? 。
解析 有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便。如本题,设 | PF 1 |? r 1 ,| PF2 |? r 2, 则

S?

1 r1r2 sin 2? ,消去 r1 , r2 可解。 2
解 设 | PF 1 |? r 1 ,| PF2 |? r 2 ,则 S ?

1 r1r2 sin 2? ,又 | F1F2 |? 2c , 2

2 2 由余弦定理有 (2c)2 ? r ? ? (r1 ? r2 )2 ? 2r1r2 ? 2r1r2 cos 2 ? ? (2a )2 ? 2r1r2 (1? cos 2 ? ),于 1 ?r 2 ? 2r 1r 2 cos 2

2 2 2 是 2r 1r2 ? 1r 2 (1 ? cos 2? ) ? 4a ? 4c ? 4b ,所以 r

1 2b 2 2 ,这样即有 S ? r1r2 sin 2? ? b tan ? 。 2 1 ? cos 2?
4

例 3 若椭圆 ax 2 ? by 2 ? 1与直线 x ? y ? 1 交于 A, B 两点, M 为 AB 的中点,直线 OM ( O 为原点)的斜

率为

2 ,且 OA ? OB ,求椭圆的方程。 2
解析 欲求椭圆方程,需求 a , b ,为此需要得到关于 a , b 的两个方程,由 OM 的斜率为

2 , OA ? OB 易 2

得 a , b 的两个方程。 解 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), M (

?x ? y ? 1 x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 。由 ? 2 ,?(a ? b) x2 ? 2bx ? b ?1 ? 0 。 2 2 2 ? ax ? by ? 1


?

x1 ? x2 x ?x b y1 ? y2 a b a 2 ? , ? 1? 1 2 ? , ) 。 kOM ? ,? M ( ,?b ? 2a 2 a?b 2 2 a?b a?b a?b 2

OA ? OB,?
x1 x2 ?

y1 y2 ? ?1,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 。 x1 x2

b ?1 2b b ?1 a ?1 , y1 y2 ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ,? y1 y2 ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 1 ? ? ? , a?b a?b a?b a?b b ?1 a ?1 ? ? ? 0,? a ? b ? 2 ② a?b a?b
由①②得 a ? 2( 2 ?1), b ? 2 2( 2 ?1) ,所以方程为 2( 2 ?1) x2 ? 2 2( 2 ?1) y2 ? 1 。 说 明 直 线 与 椭 圆 相 交 的 问 题 , 通 常 采 取 设 而 不 求 , 即 设 出 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 但 不 是 真 的 求 出

x1 , y1 , x2 , y2 ,而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题。
3、双曲线及其标准方程 4、双曲线的简单几何性质

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; 例 1 根据下列条件,求双曲线方程: (1)与双曲线 (2) 9 16
与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2, 2) 。 16 4 x2 y 2 ? ? 1 ,求双曲线方程,即求 a , b ,为此需要关于 a , b 的两个方程,由题意易得 a 2 b2

解析 设双曲线方程为 关于 a , b 的两个方程。

?b 4 ? ? 9 2 x y ?a 3 2 解 (1)设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 ,由题意得 ? ,解得 a ? , b ? 4 ,所以双曲 2 2 4 a b ? (?3) ? (2 3) ? 1 ? b2 ? a2
2 2

线的方程为

x2 y 2 ? ?1; 9 4 4
5

x2 y 2 (3 2) 2 22 (2)设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 ,由题意求 c ? 2 5 。又双曲线过点 (3 2, 2) ,? ? 2 ? 1。 a b a2 b


a2 ? b2 ? (2 5)2 ,? a2 ? 12, b2 ? 8 ,所以双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1。 12 8

例 2 如图所示,已知 F1 , F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点。过 F2 做垂直于 x a 2 b2

轴的直线交双曲线于点 P ,且 ?PF 1F 2 ? 30 ,求双曲线的渐近线方程。 解析 求双曲线的渐近线方程,只需求 a , b 的值域或 a , b 的关系式。 解 设 F2 (c,0)(c ? 0), P(c, y0 ) ,则

c 2 y0 2 b2 b2 y ? ? , ? | PF | ? ? ? 1 ,解得 , 0 2 a a a 2 b2 b2 。 a

在 Rt ?PF2 F1 中, ?PF | F1F2 |? 3 | PF2 | ,即 2c ? 3 1F 2 ? 30 ,?
2 2 2

将 c ? a ? b 代入,解得 b ? 2a ,? 渐近线方程为: y ? ? 2x 。
2 2

例 3 如图所示,在双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的上支上有三点 A( x1, y1 ), B( 26,6), C( x3 , y3 ) , 12 13

它们与点 F (0,5) 的距离成等差数列。 (1)求 y1 ? y3 的值; (2)证明:线段 AC 的垂直平分线 经过某一定点,并求此点坐标。 (1)解 c ? 12 ? 13 ? 5 ,故 F 为双曲线焦点,设准线为 l ,离心率为 e ,由题得 2 | FB |?| FA | ? | FC | ①, 分别过 A, B, C 做 x 轴的垂线 AA2 , BB2 , CC 2 ,交 l 于 A1 , B2 , C1 ,则由双曲线的第二定义有 | FB |? e | BB1 | ,

| FA |? e | AA1 | ,| FC |? e | CC1 | ,代入①得: 2e | BB1 |? e | AA1 | ?e | CC1 | ,即 2 | BB1 |?| AA1 | ? | CC1 | ,于是两
边均加上准线与 x 轴距离的 2 倍,有 2 | BB2 |?| AA2 | ? | CC2 | ,此即 2 ? 6 ? y1 ? y3 ,可见 y1 ? y3 ? 12 ;

y1 ? y3 x1 ? x3 x1 ? x3 x1 ? x3 x12 ? x32 (2)证明 AC 的中垂线方程为 y ? ?? (x ? ) ,即 y ? 6 ? ? x? ) 2 y1 ? y3 2 y1 ? y3 2( y1 ? y3 )
y32 x32 y12 x12 y 2 ? y2 2 x12 ? x2 2 ? ? 1, ? ? 1 ,相减得 1 ? ②,由于 A, C 均在双曲线上,所以有 。 12 13 12 13 12 13
于是有

25 x ?x x12 ? x32 13 25 13 ? ( y1 ? y3 ) ? ?12 ? 13 ,故②变成 y ? ? 1 3 x ? ,易知此直线过点 D (0, ) 。 2 y1 ? y3 2 y1 ? y3 12 12
6、抛物线的简单几何性质

5、抛物线及其标准方程

例 1 求满足焦点在 x ? 2 y ? 4 ? 0 上的抛物线的方程,并写出准线方程。 解 令 x ? 0 ,得 y ? ?2 ;令 y ? 0 ,得 x ? 4 ,? 抛物线的焦点为 (4, 0) 或 (0, ?2) 。
6

p ? 4 ? p ? 8 ,抛物线方程为: y 2 ? 16 x ,准线为: x ? ?4 ; 2 p 当焦点为 (0, ?2) 时, ? 2 ? p ? 4 ,抛物线方程为: x2 ? ?8 y ,准线为: y ? 2 。 2
当焦点为 (4, 0) 时, 例 2 已知定点 A(0, t )(t ? 0) ,点 M 是抛物线 y 2 ? x 上一动点, A 点关于 M 的对称点是 N 。 (1)求 N 点 的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹与抛物线 y 2 ? x 交于 B, C 两点,求当 AB ? AC 时 t 的值。 解 ( 1 )设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y) ,则 x0 ?

x?0 y?t x y ?t , y0 ? ,? x0 ? , y0 ? ,适合方程 y 2 ? x ,即 2 2 2 2

( y ? t )2 ? 2 x 为所求轨迹方程;
?( y ? t ) 2 ? 2 x ? 2 (2)由 ? 2 ,得 y 2 ? 2ty ? t 2 ? 0 。 ? ? 8t ? 0 ,所以交点存在。 ? ?y ? x
B ? A C 设 B( x1 , y2 ), C( x2 , y2 ) , 若A
由韦达定理得 t 2 ? 2,?t ? ? 2 。 , 则 kB k A C A 即 ? ?1 ,

y1 ? t y2 ? t 2 , ? ?1 , ?( y1 ? t )( y2 ? t ) ? ? y12 y2 x1 x2

7


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