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高中数学思想方法专题

时间:2012-07-26


高中专题复习----数学思想方法专辑

高中数学思想方法 及解题策略 数学能力就是数学的思想方法。数学思想方法是策略性知识,发展学生智力最经济、有 效的方法就是培养学生应用策略性知识的能力 “少考一点算,多考一点想” ,实质是加重对“数学思想方法”的考查 近几年高考卷中出现的数学思想方法有: (1)数形结合。 (2)分类讨论思想。 (3)方程思想。 (4)函数建模思想(5)化归思想 一、函数与方程思想 1.函数是中学数学的主线。可以说无处不函数,高考函数比重每年都较大 著名数学家克莱因说过:一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情就是用变量和函 数来思考。函数思想是一个重要的基本数学思想,其重要性不仅表现为五个基本初等函数的 研究占据了高中数学的中心地位,而且还表现为: ①方程或不等式可作为有关函数的零点、单调性、正负区间或极值来处理 ②数列作为特殊的函数,一直处于高考的热点上 ③作为函数概念的基础——集合与映射,已在高考中作为数学基本语言、数学基本工具 而大量出现 ④其他数学问题,特别是体现参数讨论或运动观点的问题,常可用函数思想来分析或用 函数方法来解决 函数在高考中的重要地位:试题以函数为主线,不仅题量较多,而且高难题常与函数直 接联系 函数思想在解题中的应用,主要表现在两个方面: ①借助于有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的 取值范围等问题 ②在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论 函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的 2.高考中的方程问题包括方程的求解与方程观的应用 分成逐渐提高的 4 个层次: 第一层次:解方程 第二层次:带参变数的方程的讨论 第三层次:转化为方程的讨论 第四层次:构造方程求解问题 例 1:一等差数列的前 10 项和为 100,前 100 项的和为 10,求该数列前 110 项的和. (110) 例 2:已知关于 x 方程 sin2x+acosx-2a=0 总有解,则实数 a 的取值范围是 (0 ? a ? 4 ? 2 例 3: 已知 S
? 1 ?



3 )
1 2 ? 1 3 ? ? ? 1 n (n ? N
*

n

)

, f ( n ) ? S 2 n ?1 ? S n ?1 , 设

试确定实数 m 的取值范围,使得对于一切大于 1 的正整数 n,不等式

f ( n ) ? ?log

m

( m ? 1) ? -
2

11 20

?log

( m ?1)

m

?

2

恒成立.

(m ?

1? 2

5

,且m ? 2



注:在有关不等式问题中,要区分以下命题:

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① a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? f ( x ) max ③a

② a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? f ( x ) min ;

? f ( x ) 有解 ? a ? f ( x ) max ④ a ? f ( x ) 有解 ? a ? f ( x ) min .

对于“恒成立”的不等式,一般地,解决的途径为:分离系数——求最值 例 4:我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目 的.某市用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费。若每月用水量不超过最低限 量 am3 时,只付基本费 8 元和每户每月的定额损耗费 c 元;若用水量超过 am3 时,除了付同上 的基本费和损耗费外,超过部分每立方米付 b 元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超 过 5 元,该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示: 月份 用水量/(m3) 水费(元) 1 9 9 2 15 19 3 22 33 根据上表中的数据,求 a、b、c. (10、2、1) 例 5:已知 lg
2

c a

? 4 lg

a b

? lg

b c

? 0 ,求证:ac=b2.

例 6:设 a>b>c 且 a+b+c=0,抛物线 y=ax2+2bx+c 被 x 轴截得的弦长为 l,证明:

3 ? l ? 2

3 .

二、数形结合思想 华罗庚先生指出:数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休 所谓数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义, 又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种结合,寻 找解题思路,使问题得到解决 数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,高中阶段用得较多的是“以形助数” 1.进行数形结合的信息转换,主要有三个途径: ①建立坐标系,引入参变数,化静为动,以动求解;②转化为熟悉的几何模型来求解; ③构造几何模型来求解. 2.数形结合的主要渠道有: ①绝对值、二次根式所蕴含的距离问题;②解析几何中定比分点、斜率、曲线与方程、 区域与不等式;③函数与其图象间的几何变换;④向量的几何意义;⑤三角函数中单位圆中 的三角函数线及正、余弦函数的图象变换;⑥复数的几何意义;⑦立体几何模型. 其中以②、③为背景来实现其对应关系的转化最为普遍,是中学数学数形结合思想方法 的最重要的部分. 3.数形结合思想常联想的数学模型: ①联想一元一次函数图像;②联想一元二次函数图像;③联想定比分点公式;④联想斜 率公式;⑤联想两点间的距离公式;⑥联想点到直线的距离公式;⑦联想直线的夹角公式. 4.数形结合思想常可以构造的几何模型: ①构造单位圆解题;②构造椭圆解题;③构造双曲线解题;④构造抛物线解题; ⑤构造三角形解题;⑥构造物理知识模型. 5.高考中,用数形结合思想的题常有下面几种类型: ①利用图形求值;②利用图形求解的个数;③利用图形求参数的范围;④利用图形解不
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等式;⑤利用图形求最值;⑥利用方程、点的坐标研究图形的关系、形状等;⑦利用函数式 研究图像的性质等等. 难点在于学生参与数与形的体验水平 转化是目的,作图是基础,识图是关键 例 7:已知

x ? y ?1 ? 0

,则 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 的最小值是
2 2

. (

3 2

2



例 8: (2000 年全国)函数 f ( x ) ? ①解不等式 f ( x ) ? 1 ; ②证明:当 a 例
?
3

x ? 1 ? ax ,其中 a ? 0 .
2

(常规方法或画图像) (求导)

? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 ?0 , ? ? ? 上是单调的.
f ( x ) ? A sin( 2 x ? ? )( ? ?

9 : 函 数
? x) ? f (

?
2

)

对 任 意 实 数 )

x 有

f(

?
3

? x ) ,且图像过点(0,1),则 A 的值为(

(A)1

(B)2

(C)

2 3

3

(D)

3

例 10:当曲线 E : y ? 1 ? 实数 K 的取值范围是( )
( A )( 5 12 , ? ?)

4? x
5 12 3 4

2

与直线 l

: y ? k ( x ? 2 ) ? 4 有两个交点时,
B
5 12
1 3 3 4

( B )(

,

]

(C )( 0 ,

)

( D )(

,

]

例 11:已知变量

x



y

?x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ? 4 ? 0 满足 ,求: ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
(21) (
9 2

① z ? x ? 2 y ? 4 的最大值; ②z ? x
2

? y ? 10 y ? 25 的最小值;
2



③z ?

2y ?1 x ?1
的取值范围.

(?3 ?
?4

,

7 ? 2? ?



例 12:如果实数 a、b、c、d 满足:

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?a ? b ? ? 2 ?c ? d ?
2

2

? 2 a ? 4b ? 4 ? 0 ? 4c ? 4d ? 4 ? 0

2

,求 ? ? ( a ? c ) + ( b ? d ) 的最大值和最小值.
2
2

64 例 13:lgx+x-3=0 的根记为 x1 10x+x-3=0 的根记为 x2 x1+x2= (3)

4

三、化归与转化思想 数学思想中的一条重要原则是不断地变更问题,使所要解决的问题由难变易或变为已经 解决过的问题,或者把某一数学分支中的问题变为另外一个数学分支中的问题,以利于问题 的解决.化归是一种运动,只有在不断的运动中,矛盾才能解决 “解题过程就是不断变更题目的过程” 化归要求我们换一个角度观察, 换一种方式思考, 换一种语言叙述,用另一种观点处理问题,化归思想包括了我们所研究过的许多数学思想和 方法,用化归方法解题时要求学生的思维一定要有灵活性,多样性,多联想,多开放 总的指导思想是:⑴化难为易;⑵化生为熟;⑶化繁为简 化归与转化思想的主要解题途径: ⑴未知问题转化成已知。⑵函数与方程、不等式间的转化。⑶空间与平面的转化。 ⑷数与形之间的转化。⑸一般与特殊的转化。⑹等与不等的转化。 ⑺高次与低次的转化。⑻整体与局部的相互转化。⑼正与反的转化。 常见的转化方法有: ⑴直接转化法。⑵换元法。⑶数形结合法。⑷参数法。⑸构造法。 ⑹坐标法: (立体几何与解析几何)⑺类比法。⑻特殊化方法。 ⑼一般化方法。⑽等价问题法。⑾加强命题法。⑿补集法。 以上所列的一些方法是互相交叉的,不能截然分割 例 13:若实数 x,y 满足:x2+y2-2x+4y=0,则 x-2y 的最大值是( (A)10 (B)
5



(C)9
1 5 ,

(D)5+2
? ?( ?
2 ,

5

例 14: 已知 sin ? ? cos ? ?
3 4

? ) ,则 tg ? ? (



B

( A) ?

(B) ?

4 3

(C )

3 4

(D )

4 3

例 15:求函数

f ( x ) ? 2 ? 4 a sin x ? cos 2 x
?3 ? 4 a ? ? ?3 ? 4 a

的最大值和最小值.
? 3 ? 4 a ( a ? ? 1) ? 2 ? ?1 ? 2 a ( ? 1 ? a ? 1) ) ? 3 ? 4 a ( a ? 1) ?

(a ? 0) (a ? 0)
; y min



y max

例 16:已知: p : 1 ?

x ?1 3

? 2 ,q

: x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 ,若 ? p
2 2

是 ? q 的必要不充

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分条件, 求实数 m 的取值范围.

m ? ? 9或 m ? 9
2

2 例 17:若 ? 、 ? 是关于 u 的方程 a cos 2 u ? b sin 2 u ? c ( 0 ? c ≤ a 2 + b )的两

个不等实根。试证明: cos

2

? ? cos

2

? ?

a

2

? b a
2

2

? ac
2

? b

.

例 18:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E、F 分别是 BB1、CD1 的中点. ①证明:AD ? D1F; D1 ②求 AE 与 D1F 所成角; ③证明:面 AED ? 面 A1FD1; A1 ④设 AA1=2,求三棱锥 F-A1ED1 的体积.

C1

B1

E D A F B
C

例 19:设 0<a<1,,定义 a1=1+a,an+1= 数 n,有 an>1.(理科数学归纳)

1 a
n

+a,求证对一切正整

四、分类与讨论思想 当一个数学问题比较复杂时,可以将其分割成若干个小问题或分解为一系列的步骤,通过 局部的解决来实现整体的完成,这就是分类与讨论的基本想法. 分类的好处至少有两条: 其一:把大问题分为小问题时,常能达到简单化的目的 其二:分类标准本身等于增加了一个已知条件,实现了有效增设 高考中考生的主要问题:分类不合理或讨论不全面而造成大量失分 (一)引起分类讨论的因素分析 1.由概念的定义引起的分类讨论 有些概念是分类定义的,在解决问题时,必然引起分类讨论; 有些概念在定义时,明确了范围,也将引起分类讨论 例 20:解不等式 log
1 3

x ? log

1
3

3 ? x

? 1.

(?x 0 ? x ?
?

?

3 4



9

? ? x ? 3? ) 4 ?

例 21: (06 四川理第 12 题)从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成没有重复数字的三 位数,这个数不能被 3 整除的概率为( ) (B)
( A) 19 54

(B)

35 54
(C )

38 54

(D )

41 60

2.由性质、定理及公式引起的分类讨论 某些数学性质、公式或定理在不同的条件下有不同的结论,或者需在一定的限制条件下 才成立,在解决这类问题时可能引起分类讨论.

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例 22: (06 四川理) 已知数列 ?a n ? , 其中 a 1 ? 1 , a 2 ? 3 ,2 a n = a n ? 1 (n≥2) .记数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,数列 ?ln S n ? 的前 n 项和为 U (Ⅰ)求 U
n
n

? a n ?1





(Ⅱ)设 F n ( x ) ?

e

U

n

2 n ( n! )

2

x

2n

,T n ( x ) ?

?
k ?1

n

' Fk ( x) , (其中 F k ( x ) 为 F k ( x ) 的导函

'

数) ,计算 lim? n?

Tn (x) T n ?1 ( x )


3.由参数的变化引起的分类讨论 某些含有参数(常数)的问题,由于参数的取值范围不同会导致所得结果不同,或者由于 对不同的参数值要运用不同的推算方法,这时需要分类讨论. 例 23:已知函数 ①讨论

f ( x) ? x e
2

ax

,其中 a ? 0 , e 为自然对数的底数.

f ( x)

的单调性; 在区间 ?0 ,

②求函数

f ( x)

1? 上的最大值.

4.其他 ①在变形过程中往往需要一些条件限制,进而引起分类讨论 ②由几何图形的不确定性引起的分类讨论

? 1 有公共焦点且过点 P ( ? 5 , 2 ) 的圆锥曲线的方程. 3 分析:本题由于圆锥曲线以椭圆的焦点为焦点,它可能是椭圆,也可能是双曲线,因此需
2

x

2

例 24:求与椭圆

? y

x
分两种类型分别求解.利用待定系数法可求得椭圆为

2

?

y

2

10

8

? 1 ,双曲线为

x ? y
2

2

? 1.

(二)怎样合理分类 分类应遵循下列原则: 若全域为

A

,分类成子集

A i ( i ? 1, 2 , ? ? , n ) , A i

必须满足:

① A1 ? A 2 ? ? ? ? A n ? A ;

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② A i ? A j ? ? ( i ? j , i ? 1, 2 , ? , n , j ? 1, 2 , ? , n ) 即:不重不漏 讨论题是高考数学常见的题型之一,对问题进行讨论的步骤是: ①确定讨论的对象②对所讨论的对象进行合理分类(分类应做到不重不漏) ③逐类讨论④归纳总结 需要讨论的问题有以下几种类型: ①题中的变量需要讨论②题中含有参数,需对参数的变化范围进行讨论 ③题中的条件是分类给出的④解题过程不能统一叙述,必须分类分述 ⑤有关几何问题中,几何元素的形状、位置变化需要分类讨论 例 25:设 y
? log
1 2

?a

2x

? 2 ( ab ) ? b
x

2x

?1

? , ( a ? 0 , b ? 0 ) 为使 y 为负值,求 x 的取值范围.

例 26:已知双曲线过点 A(-2,4) ,B(4,4),它的一个焦点与抛物线 合,求它的另一个焦点到

y

2

? 4x

的焦点重 6

y

轴距离的最大值.

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