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2018届高考理科数学第3章导数 (3)

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第三章 导数及其应用 课时 1 题型一 导数与函数的单调性 不含参数的函数的单调性 ln x 【例 1】 求函数 f(x)= x 的单调区间. 【解析】 函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 1-ln x ln x 因为 f(x)= x ,所以 f′(x)= x2 . 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 当f′(x)>0,即0<x<e时,函数f

(x)单调递增; 当f′(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(0,e), 单调递减区间为(e,+∞). 【方法规律】 确定函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f′(x); 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 (3) 解不等式 f′(x) > 0,解集在定义域内的部分为单调递 增区间; (4) 解不等式 f′(x) < 0,解集在定义域内的部分为单调递 减区间. 1 2 跟踪训练 1 函数 y=2x -ln x 的单调递减区间为( A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞) ) 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 2 1 2 1 x -1 【解析】 y=2x -ln x,y′=x-x = x (x-1)(x+1) = (x>0). x 令 y′≤0,得 0<x≤1,∴递减区间为(0,1]. 【答案】 B 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 题型二 含参数的函数的单调性 【例 2】(2017· 长春质量监测)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) ? x? 1 2 f′(1) 2x-2 2 ? ?- x +(1-a)x+a. = · e + x - 2 f (0) x , g ( x ) = f 2 ?2? 4 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)的单调区间. 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 【解析】 (1)f′(x)=f′(1)e2x 2+2x-2f(0), - ∴f′(1)=f′(1)+2-2f(0),即 f(0)=1. f′(1) -2 2 又 f(0)= · e ,∴ f ′ (1) = 2e , 2 ∴f(x)=e2x+x2-2x. (2)∵f(x)=e2x+x2-2x, ? x? 1 2 1 1 ∴g(x)=f?2?-4x +(1-a)x+a=ex+4x2-x-4x2+(1-a)x+ ? ? a=ex-a(x-1), 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 ∴g′(x)=ex-a. ①当a≤0时,g′(x)>0,函数g(x)在R上单调递增; ②当a>0时,由g′(x)=ex-a=0得x=ln a, ∴x∈(-∞,ln a)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;x∈(ln a,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增. 综上,当a≤0时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,+ ∞);当a>0时,函数g(x)的单调递增区间为(ln a,+∞), 单调递减区间为(-∞,ln a). 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 【方法规律】 (1)研究含参数的函数的单调性,要依据 参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2) 划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论, 还要确定导数为0的点和函数的间断点. (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)= x3,f′(x)=3x

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