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指数和对数运算教案

时间:2017-08-14


指数(一)
一、预习提纲 1.整数指数幂的概念

王新敞
奎屯

新疆

an ? a ?? a? ? a? ? a(n ? N*) ? ?
n个a

a 0 ? 1(a ? 0)

a ?n ?

1 (a ? 0, n ? N

*) an

王新敞
奎屯

新疆

a m ? a n ? a m? n (m, n ? Z )
2.运算性质:

(a m ) n ? a mn (m, n ? Z ) (ab) n ? a n ? b n (n ? Z )

3.根式的运算性质:当 n 为任意正整数时,( n a ) =a. 当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?
np

n

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)

2.根式的基本性质: (1) a
? m n

( a ? 0). a mp ? n a m , ( a >0,m,n∈N ,且 n>1)
*

?

1 a
m n

?

1
n

王新敞
奎屯

新疆

a

m

(2)0 的正分数指数幂等于 0. 3.分数指数幂的运算性质: (a ) ? a
m n

(3)0 的负分数指数幂无意义.

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? Q)
mn

(m, n ? Q)

(ab) n ? a n ? b n (n ? Q )
二、讲解新课: 1.根式:一般地,若 x n ? a(n ? 1, n ? N*) 则 x 叫做 a 的 n 次方根 开方数
王新敞
奎屯 新疆

n
王新敞
奎屯 新疆

a 叫做根式, n 叫做根指数, a 叫做被

例如,27 的 3 次方根表示为 3 27 ,-32 的 5 次方根表示为 5 ? 32 , a 的 3 次方根表示为 3 a 6 ;16 的 4 次方根
6

表示为 4 16 ,即 16 的 4 次方根有两个,一个是 4 16 ,另一个是 ? 4 16 ,它们绝对值相等而符号相反. ⑶性质: ①当 n 为奇数时:正数的 n 次方根为正数,负数的 n 次方根为负数 记作:
王新敞
奎屯 新疆

x?n a

②当 n 为偶数时,正数的 n n 次方根有两个(互为相反数) 记作:
王新敞
奎屯 新疆

x ? ?n a

王新敞
奎屯

新疆

③负数没有偶次方根, ④ 0 的任何次方根为 0

王新敞
奎屯

新疆

注:当 a ? 0 时, n a ? 0,表示算术根,所以类似 4 16 =2 的写法是错误的. ⑷常用公式 根据 n 次方根的定义,易得到以下三组常用公式: ①当 n 为任意正整数时,( n a ) = a .例如,( 3 27 ) =27,( 5 ? 32 ) =-32.
n 3 5

1

②当 n 为奇数时, n a n = a ;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?
3 2 例如, 3 (?2) =-2, 5 25 =2; 4 34 =3, (?3) =|-3|=3.

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)

⑶根式的基本性质:

np

( a ? 0). a mp ? n a m ,
3

2 注意,⑶中的 a ? 0 十分重要,无此条件则公式不成立. 例如 6 ( ?8) ?

?8 .

2.正数的正分数指数幂的意义

a

m n

? n a m (a>0,m,n∈N*,且 n>1)
3

王新敞
奎屯

新疆

例 1 求值 ① ②

(?8) 3 =

?8 ;

2 ② ( ?10 ) = ? 10 ? 10 ;

4

(3 ? ? ) 4 = | 3 ? ? | =

? ? 3 ; ④ ( a ? b) 2 ( a ? b) = a ? b = a ? b .

例 2 求值:

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ; (2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12
解:

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ? ( 3) 2 ? 2 3 ? 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ( 3) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? ( 2 ) 2 ? (( 3 ? 2 ))2 ? (2 ? 3 ) 2 ? (2 ? 2 ) 2 ?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 | ? | 2 ? 2 | ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2 ) ?2 2 注意:此题开方后先带 上绝对值,然后根据正 负去掉绝对值符号。
2

(2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 =2 ? 3 ? 3 =2 ? 6 33 ? 6
6 3

3 6 2 ? 2 ?3 2 32 6 2 ? 2 ?3 22
王新敞
奎屯 新疆

32 2 =2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 2 =2 ? 3 ? 6

例 3:求值: 8 3 ,100 2 , ( ) ?3 , (
2 2 3? 2 3

?

1

1 4

16 ? 4 ) . 81
王新敞
奎屯 新疆

3

解: 8 3 ? (23 ) 3 ? 2

? 22 ? 4

100

?

1 2

? (102 )

?

1 2

? 10

1 2?( ? ) 2

? 10?1 ?

1 10
王新敞
奎屯 新疆

1 ( ) ?3 ? (2 ? 2 ) ?3 ? 2 ( ?2)?( ?3) ? 2 6 ? 64 4 3 3 16 ? 4 2 4?( ? 4 ) 2 27 ( ) ?( ) ? ( ) ?3 ? 81 3 3 8
a 2 ? a , a 3 ? 3 a 2 , a a (式中 a>0)

例 4:用分数指数幂的形式表示下列各式:
王新敞
奎屯 新疆

2

解: a ? a ? a ? a ? a
2 2

1 2

1 2? 2

?a

5 2
王新敞
奎屯 新疆

a ? a ? a ?a ? a
3 3 2 3 1 2 1 2

2 3

3?

2 3

?a
1 2

11 3
王新敞
新疆

a a ? (a ? a ) ? (a ) ? a
例 5:计算: ? 256
? 3? 4?? ? ? ? 4?

3 2

3 4

奎屯

?0.75

? 5? 3 ? ? ? ? ? ?? 3? ? 8?
? 2? 3?? ? ? ? 3?

0

?

?

?

2 3

?

1 9

解:原式= ? 4

?1? 3

?

1 1 1 63 1 ?3 = ? 4 ? 1 ? ? =1 ? = 9 9 64 64 9

三、课练试题: 1. 求下列各式的值 (1) 4 100 ; 解:(1)100;
4
5 (2) 5 (?0.5) ; 2 (3) (? ? 4) ; 6 (4) 6 ( x ? y ) ( x ? y ).

(2) ? 0.1 ;

(3) 4 ? ? ;

(4) x ? y .

2.比较 5, 3 11, 6 123的大小. 解: 5 ? 6 125 , 3 11 ? 6 121,?121? 123 ? 125 ,? 6 121 ? 6 123 ? 6 125 . 3.用根式的形式表示下列各式. (1) a ; 解:⑴ 5 a ;
1 5

(2) a ;
3

3 4

(3) a

?

3 5

; ⑶

(4) a

?

2 3

. ⑷

⑵4 a ;

1
5

a

3

;

1
3

a

2

.

四、课后作业: 1.用分数指数幂表示下列各式(其中各式字母均为正数) ⑴3 a ?4 a ; 解:(1) a ;
7 12

⑵ a a a ; (2) a ;
7 8

2 ⑶ 3 ( a ? b) ;

⑷ ab ? a b .
3 2 2

(3) (a ? b) ; A
2

2 3

(4) (ab ? a b) .
2 2

2 3

2 2.化简: ? ? 3 ? ? ? ? ?

?

?

?

1 2

?(

)。 A :

3 3

B:?

3 3
.

C: 3

D:? 3

3.(1)要使 (5 x ? )

1 2

?

3 4

? ( x ? 1) 3 有意义,则 x 的取值范围是
; ab
3 4 11 4
3

(2)用分数指数幂表示 3 x x ?

ab 5 ?

.

1 解:(1) ( ,?? ); 10
4.求下列各式的值. ⑴ 25 ; ⑵ 27 ;
3 2 2 3

(2) x ; a b .

1 2

36 ⑶( )2 ; 49

3

25 ? ⑷( ) 2 ; 4

3

(5) 81? 9
3

4

2 3

; (6) 2 3 ? 3 3 ? 6 3

解: ⑴ 125 ; 5.计算:

⑵9 ;

216 ; ⑶ 343

8 ; ⑷ 125

(5) 3 ;

7 6

(6) 6 .

?1? (a

1 2

? a )(a ?a )(a ? a )

?

1 2

1 2

?

1 2

?1

3? ?2?? ?3 ? ? 8?

?

2 3

? 0.1 ? ?3.14 ? ? ?
?2

0

? 1? ? ?2 ? ? 4?

0.5

解: ?1? a 2 ? a ?2

18 a , b 6.对任意实数 下列等式正确的是(

?2?100 17
2 3

) 。

? A:? ?a ?

2 3

? ? ?a ? ?

1 2

1 3

? B:? ?a ?

1 2

? ? ?a ? ?

1 3

? C :? ?a ?

3 ? 5

? ? ? ?

?

1 3

?a

1 5

? D:? ?a ?

1 3

1 ? ? ? a3 ? ?

3 5

7.已知: a ? 2 7 , b ? 5 2 ,求

a b ? 9b a b ? 2 ? 6a b
3 2 3 4 ?

3 2

?2

4 3 4 3

1 3

?

b3 a ? 3b
3 4

? 9b

3 4

5 3

的值.

解:由 a b

3 2

?2

? 6a b
10

3 4

?

1 3

? 9b ? (a b ? 3b ) ,又 1<a<b,∴ a ? a ? 3b ,从而得 a b ? 3b ,
3 10 3 10

4 3

3 4

?1

2 3 2

5 3

3 4

?1

2 3

3

∴原式=

a 2 ? 9b 3
2 3 3 4

?

b
3 4 5 3

=

a 2 ? 9b 3 3b ? a
5 3 3 4

?

b2 a ? 3b
3 4 5 3

=

(a 2 ? 9b 3 )b 2 9b ? a
10 3 3 2

? ?b 2 ? ?(5 2 ) 2 ? ?50 .

3b ? a b ?1 a ? 3b

指数(二)
例 1.计算下列各式(式中字母都是正数) : ⑴ (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) ;⑵ (m n ) . 解:⑴原式=[2×(-6)÷(-3)] a 例 2 计算下列各式: ⑴ (3 25 ? 125) ? 4 5 ;⑵
2 3 3 2 1 4
2 1 1 ? ? 3 2 6

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

1 4

?

3 8 8

?b

1 1 5 ? ? 2 3 6

m2 ? 4ab ? 4a ;⑵原式= (m ) (n ) ? m n ? 3 n
0

1 4 8

?

3 8 8

2

?3

a2 a? a
3 2

(a>0).
3 2 1 4 2 1 ? 3 4 3 1 ? 2 4 5 12 5 4

解:⑴原式= (5 ? 5 ) ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ⑵原式=

2 3

1 4

?5

? 5 ? 5 = 12 55 ? 4 55 ? 12 55 ? 54 5 ;

a2 a ?a
1
1 2 2 3

?a
1

1 2 2? ? 2 3

? a ? 6 a5 .
1 1

5 6

例 3:化简: ( x 2 ? y 2 ) ? ( x 4 ? y 4 )

4

1

1

1

1

(x 2 ? y 2 ) ? (x 4 ? y 4 )
1 1 1 1 1 1

解: ? ( x 4 ? y 4 )(x 4 ? y 4 ) ? ( x 4 ? y 4 )
1 1

? x4 ? y4
例 4: 已知 x ? x (1) x ? x
1 2 ? 1 2
?1

? 3 ,求下列各式的值.
3 2 ? 3 2

;
1 2

(2) x ? x
? 1 2 2

;
?1

(3) x ? x
?1

1 2

?

1 2

;

(4) x ? x
1 2

3 2

?

3 2

.
? 1 2

解 :(1) ∵ ( x ? x
1 2 ? 1 2

) ? x ? x ? 2 xx ? 3 ? 2 ? 5 , ∴ x ? x
? 1 2

= ? 5 ,又由已知 x ? x

?1

? 3 得 x>0 , 于 是

x ? x >0,∴ x ? x = 5 .
3

1 2

⑵ ∵ x2 ? x ∴x ?x
3 2 ? 3 2

?

3 2

1

? ( x 2 ? x 2 )(x ? x 2 x

?

1

1

?

1 2

1

? x ?1 ) ,而 x 2 ? x

?

1 2

? 5 (由⑴知), x ? x ?1 ? 3 , x 2 ? x

1

?

1 2

? x0 ? 1,

? 5 ? (3 ? 1) ? 2 5 ;
? 1 2 2

⑶ ∵ (x ? x ⑷ x ?x
3 2 ? 3 2

1 2

) ? x ? 2x x
1 2 ? 1 2

1 2

?

1 2

? x ? 3 ? 2 ? 1 ,∴ x ? x
1 2 ? 1 2

?1

1 2

?

1 2

? ?1;

? ( x ? x )(x ? x x

? x ?1 ) ? ?1? (3 ? 1) ? ?4 .

三、课练试题: 1. 练习求下列各式的值: (1) 25 解:(1) 25 ? (5 ) ? 5
2
3 3
3 2

36 (2) ( ) 2 49
2 3 2 3 3

3

25 ? (3) ( ) 2 4
3? 2 3

3

(4) 81? 9

4

3 2

3 2

3 2

2?

3 2

? 5 ? 125 (2) 27 ? (3 ) ? 3
3
3

? 32 ? 9

25 ? 5 2 ? 5 2?( ? 2 ) 5 5 23 8 ? ( ) ?3 ? ( ) 3 ? 3 ? (3) ( ) 2 ? [( ) ] 2 ? ( ) 4 2 2 2 2 125 5
4

(4)

81? 9

3 2

? 3 ? [(3 ) ] ? 3 ? 3
4 2 4
3 ?3

4

2 3

1 2

4

2 1 ?2? 3 2

? 3 ?3
4

4

2 3

? (3 ? 3 ) ? (3 ) ? (3 ) ? 3 ? 3 ? 36 3
4 4

2 3

1 4

1 4

2 3

1 4

1 6

2.(1)已知 (a ? a ?1 ) 2 ? 3 ,求 a ? a 解:(1)由 (a ? a ) ? a ? 2 ? a
2 ?1 2

的值; (2) 已知 a

2x

? 2 ? 1,求

a 3 x ? a ?3 x 的值; a x ? a ?x

?2

? 3 ,得 a 2 ? a ?2 ? 1 ? 0 ,所以 a 3 ? a ?3 ? (a ? a ?1 )(a 2 ? 1 ? a ?2 ) ? 0 ;

(2)

1 a 3 x ? a ?3 x (a x ? a ? x )(a 2 x ? 1 ? a ?2 x ) 2 x 1 ? = a ? 1 ? 2x = 2 ? 1 ?1 ? = 2 ? 2 ?1 ? 2 2 ?1 x ?x x ?x a a ?a a ?a 2 ?1

四、课后作业: A 组: 1.求下列各式的值:

5

(1) 121

1 2

(2) (
1 1

64 49

)

?

1 2

(3) 10000
1

?

3 4

125 ? 3 (4) ( ) 27
1 1

2

解:(1) 1212 ? (112 ) 2 ? 11
3 4 3 4

2?

1 2

? 11 (2) (

64 ? 2 82 ? 8 2?( ? ) 8 7 ) ? ( 2 ) 2 ? ( ) 2 ( ) ?1 ? 49 7 7 8 7
2 2 2 2

(3) 10000

?

? (10 )
4

?

? 10

3 4?( ? ) 4

125 ? 3 53 ? 5 ? 5 3?( ? ) 5 9 ) ? ( 3 ) 3 ? [( ) 3 ] 3 ? ( ) 3 ? ( ) ?2 ? ? 10 ? 0.001 (4) ( 27 3 3 3 25 3
?3

2.计算下列各式:
1 1 1 1

(1)

a2 ? b2 a ?b
1 2 1 2

?

a2 ? b2 a ?b
1 2 1 2

;

(2) (a 2 ? 2 ? a ?2 ) ? (a 2 ? a ?2 )

a?b (a ? a ?1 ) 2 a ? a ?1 a 2 ? 1 2 ?2 2 ?2 解:(1) ⑵ (a ? 2 ? a ) ? (a ? a ) = ; ? ? a?b (a ? a ?1 )(a ? a ?1 ) a ? a ?1 a 2 ? 1
1 2 ? 1 2

3.已知 a ? a

? 3 ,求下列各式的值. (1) a ? a ?1 ;
1 2

(2) a 2 ? a ?2 ;

(3)

a ?a a ?a
1 2

3 2

? ?

3 2 1 2

.

解:(1)∵将 a ? a

1 2

?

? 3 两边平方,得 a ? a ?1 ? 1 ? 8 ,即 a ? a ?1 ? 7
?2

(2)将上式平方,有 a ? a
2

? 2 ? 49 ,? a 2 ? a ?2 ? 47 .
? 1 2 3

(3)由于 a ? a

3 2

?

3 2

? (a ) ? (a ) 所以有

1 2 3

a ?a a ?a
1 2

3 2

?

3 2

1 ? 2

?

(a ? a )(a ? a ? a ? a ) a ?a
1 2 1 ? 2

1 2

?

1 2

?1

1 2

?

1 2

? a ? a ?1 ? 1 ? 8

4.对任意实数下列等式成立的是( D )
2 1 1 1 2 1

A. (a 3 ) 2 ? a 3

B. (a 2 ) 3 ? a 3

C. (a

?

3 1 ? 5 3

1

1

3

1

)

? a5
1 4

D. (a 3 ) 5 ? a 5

1 1 1 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 2 2 3 ? ? 4 3 ? ? ? 3 x y ? ? 4 x y 5.计算: ?1? ? 2 x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 4 2 ? ? ?2?4 x ? ? 3x y ? ? ? ? 6 x y 3 ? ? ? ? ? ?

解: B 组: 6.若 S ? (1 ? 2
1

?

1 32

)(1 ? 2

1 ? 16

)(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 ), ,则 S 等于( A )
? 1 32 ?1

?

1 8

?

1 4

?

1 2

? 1 ?1 A. (1 ? 2 32 ) 2

B. (1 ? 2

)

C. 1 ? 2

?

1 32

? 1 D. (1 ? 2 32 ) 2

1

7.已知 2 ? 2
a

?a

? 3 ,求 8 a ? 8 ? a 。
6

解: 8 a ? 8 ?a ? 2 a ? 2 ?a 4 a ? 1 ? 4 ?a ? 2 a ? 2 ?a 2 a ? 2 ?a 8 . 设 f ?x ? ?

?

??

? ?

? ??

?

2

? 3 ? 3 ? ?9 ? 3? ? 18

?

e x ? e?x e x ? e?x 2 2 ,g ?x ? ? 。 求 证 : ?1? g ?x? ? ? f ?x?? ? 1 2 2

?

?

?2? f ?2x? ? 2 f ?x? ? g ?x?

?3?g?2x? ? ? f ?x??2 ? ?g?x??2
对数的概念
一、课前预习: 1、对数的定义:一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N, 就是 a b ? N ,那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对 数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数 2、常用关系式:⑴ a
loga N
王新敞
奎屯 新疆

?N

⑵ loga 1 ? 0 ?a ? 0且a ? 1?

⑶ loga a ? 1 ?a ? 0且a ? 1?

b 定义:一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N , 就是 a ? N ,那么数 b 叫做 以 a 为 N 底的对数,记



loga N ? b



a

















N







数. 3、讲解范例: 例 1 将下列指数式写成对数式: (1) 5 4 =625 (2) 2 =
?6

1 64

(3) 3a =27

m (4)( ) =5.73

1 3

解: (1) log5 625=4;

(2) log2

1 =-6; (3) log3 27=a; 64

(4) log1 5.73 ? m
3

例 2 将下列对数式写成指数式: (1) log 1 16 ? ?4 ;
2
?4 解: (1) ( ) ? 16

(2) log2 128=7; (3)lg0.01=-2; (2) 2 =128; (3) 10 =0.01;
7
?2

(4)ln10=2.303 (4) e
2.303

1 2

=10

例 3 计算: ⑴ log9 27 ,⑵ log4 3 81,⑶ log ?2? 3 ? 2 ? 3 ,⑷ log3 4 625 5 解:⑴ log9 27 ? log9 3 ? log9 9 ?
3 3 2

?

?

3 ,⑵ log 3 81 ? log 3 ( 4 3 )16 ? 16 , 2
4 4

⑶ log ?2? 3 ? 2 ? 3 = log?2? 3 ? 2 ? 3

?

?

?

?

?1

? ?1 ,⑷ log3 54 625 ? log3 54 (3 54 ) 3 ? 3
1 1 ,则 x ? 。 4 2

例 4: (1)若 log2 ?log3 ?log4 x?? ? 0 ,则 x ? 64 ; (2)若 log 16 x ? ?

7

三、课堂练习: 1.把下列指数式写成对数式 (1) 2 =8
3

(2) 2 =32

5

(3) 2 =

?1

1 2

(4) 27

?

1 3

?

1 3

解:(1) log2 8=3(2) log2 32=5(3) log2 2.把下列对数式写成指数式 (1) log3 9=2 解:(1) 32 =9 3.求下列各式的值 (1)

1 1 1 =-1(4) log27 =- 2 3 3

(2) log5 125=3(3) log2 (3) 2 =
?2

(2) 53 =125

1 4

1 1 =-2(4) log3 =-4 4 81 1 (4) 3 ?4 = 81

log5 25 (2) log2

1 16

(3) lg 100(4) lg 0.01 (5) lg 10000(6) lg 0.0001

解:(1) log5 25= log5 5 2 =2

(2) log2

1 =-4 (3) lg 100=2 16
(6) lg 0.0001=-4

(4) lg 0.01=-2 (5) lg 10000=4 4.求下列各式的值 (1) log15 15

(2) log0.4 1 (3) log9 81(4) log 2.5 625 (2) log0.4 1=0 (5) log7 343=3 )
2

(5) log7 343 (6) log3 243

解:(1) log15 15=1 (4) log 2.5 625=2

(3) log9 81=2 (6) log3 243=5

四、课后作业: 1.下列写法中,有意义的是( B A. log2 (?8)

B. log2 (?2)

C. log2 0

D. log? 2 8 )

2.在对数式 b ? log( a?2) (5 ? a) 中,实数 a 的取值范围是( C

A. a ? 5或a ? 2 B. 2 ? a ? 5 C. 2 ? a ? 3或3 ? a ? 5 D. 3 ? a ? 4 3.已知 loga2 b ? c ,则( B )A. a
2b

?c

B. a

2c

?b
7 z

c C. b ? 2a

D. c C. y ? 7 x

2a

?b
D. y ? z
7 7x

4.已知 log x 7 y ? z ,则 x 、 y 、 z 之间的关系是( B )A. y ? x

B. y ? x

7z

z

5.某企业的年产值每年比上一年增长 p %,经过 n 年产值翻了一番,则 n ? ( B

)

A : 2?1 ? p%?

B : log?1? p%? 2
2?7782

C : log2 ?1 ? p%?

D : log2 ?1 ? p%?
7. 2
1? log 2 7

6.已知 lg 6 ? 0 ? 7782,则 10

? 600 .

=

2 . 7
80 .

8.若 f (log2 x) ? x ,则 f ? ? ?

?1? ?2?

2 . 9.若 log2 ?log3 ?log4 x?? ? log3 ?log4 ?log2 y ?? ? 0 ,则 x ? y ?
8

10.求下列各式的值: ⑴ log5 25 解:⑴2 ⑵ log 2 ⑵-4

1 16
⑶2

⑶ lg100 ⑷-2

⑷ lg 0 ? 01

11.下列各式:① lg?lg10? ? 0 ;② lg?ln e? ? 0 ;③若 lg x ? 0 ,则 x ? 10 ;④若 log 25 4 ? 正确的是 ①② (填序号) 。
2 m ?3 n

1 ,则 x ? ?5 ,其中 2

12.已知 loga 2 ? m , loga 3 ? n ,求 a

的值。解: a m ? 2 ,a n ? 3

∴a

2 m ?3 n

?

4 27

对数的运算性质
一、课前预习: 对数的运算法则: 如果 a ? 0 ,a ? 1,M ? 0,N ? 0 有:

loga ?MN ? ? loga M ? loga N M ? loga M ? loga N N loga M n ? n loga M ?n ? R ? loga
二、课内互动:

?1? ?2? ?3?
7 5

例 1 计算(1) log5 25, (2) log0.4 1, (3) log2 ( 4 × 2 ) , (4)lg 5 100
2 解: (1)log5 25= log5 5 =2, (2)log0.4 1=0, (3)log2( 4 ×25) = log2 4 + log2 2 = log2 2
7 7 5
2?7

+ log2 2

5

= 2×7+5=19, (4)lg 5 100 =

1 2 2 log10 2 ? lg10 ? . 5 5 5

xy 例 2 用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式: (1)loga ; z
解: (1) log a (2) loga

(2) loga

x2 y
3

z



xy = loga (xy)- loga z= loga x+ loga y- loga z z

x2 y
3

z

= loga ( x

2

y ) ? loga 3 z = loga x 2 + loga

1 1 y ? loga 3 z =2 loga x+ log a y ? log a z 2 3

王新敞
奎屯

新疆

例 3 计算: (1)lg14-2lg

7 lg 243 lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 +lg7-lg18 (2) (3) (4) lg 25 ? lg 2 ? lg 50 3 lg 9 lg1.2
lg14-2lg

(1)









7 3

+lg7-lg18=lg(2

×

7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(

32

×

2)

=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0

(2)

lg 243 lg 35 5 lg 3 5 ? ? ? lg 9 lg 32 2 lg 3 2



9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) ? lg 2 ? 3 lg(10) ? lg1.2 3 ? 22 lg 10
3

1 3 2

1 2

3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) 3 2 ? ? lg 3 ? 2 lg 2 ? 1 2

(4)解原式= lg 2 5 ? lg 2?1 ? lg 5? = lg 5?lg 5 ? lg 2? ? lg 2 = 1 三、课堂练习: 1.求下列各式的值: (1) log2 6- log2 3, (2)lg5+lg2, (3) log5 3+ log5 解: (1) log2 6- log2 3= log2

1 (4) log3 5- log3 15. 3

6 ? log2 2=1, 3

(2)lg5+lg2=lg(5×2)=lg10=1,

1 1 = log5 (3× )= log5 1=0, 3 3 5 1 (4) log3 5- log3 15= log3 = log3 =- log3 3=-1. 15 3
(3) log5 3+ log5

lg y, lg z 表示下列各式: 2. 用 lg x ,
(1); lg? xyz? (2) lg

xy 2 z

(3) lg

xy 3 z

(4) lg

x y z
2

解:(1) lg? xyz? ? lg x ? lg y ? lg z (2) lg

xy 2 ? lg x ? 2 lg y ? lg z z

(3) lg

xy 3

1 1 ? lg xy 3 ? lg z ? lg x ? lg y 3 ? lg z ? lg x ? 3 lg y ? lg z 2 2 z

(4) lg

1 1 x ? lg x ? lg y 2 z ? lg x ? (lg y 2 ? lg z ) ? lg x ? 2 lg y ? lg z . 2 2 y z
2

四、课后作业: 1.若 a ? 0 ,且 a ? 1 , x ? R , y ? R 且 x ? 0 , y ? 0 ,给出下列各式: ① loga x ? loga y ? loga ( x ? y) ;② loga x ? loga y ? loga ( x ? y) ; ③ loga ? ? y? ? ? loga ( x ? y) ; ? ? 其中正确的个数是( A

?x?



loga ( x ? y ) ?
B.1 个

loga x . loga y
D.3 个 ) ; ④

)A.0 个

C.2 个

2. a ? 0 ,且 a ? 1 , x ? R , y ? R 且 xy ? 0 ,则下列各式不恒成立的是( B ①

loga x 2 ? 2 loga x

; ②

loga x 2 ? 2 loga x

; ③

loga ( xy) ? loga x ? loga y

loga ( xy) ? loga x ? loga y .
10

A.②④
a

B.①③

C.①④

D.②③ )A. 2 ? a B. a ? a ? 1
2

3.若 3 ? 2 ,则 2 log3 6 ? log3 8 等于( A 4.给出下列四组不等式:

C. 2 ? 5a

D. a ? 3a
2

① lg( x ? 3) 2 ? 2 与 lg( x ? 3) ? 1 ;② lg x ? lg(2 ? x) ? 0 与 lg(2 x ? x 2 ) ? 0 ; ③ log2 ( x ? 3) ? log2 x ? 1与 log2 ( x ? 3) ? log2 (2 x) ; ④ log2 ( x 2 ? 2 x ? 3) ? 1与 x ? 2 x ? 3 ? 2 .
2

其中的两不等式同解的组数有( B A.0 组 B.1 组 C.2 组

) D.3 组 )

5.如果方程 lg 2 x ? (lg 2 ? lg 3) lg x ? lg 2 ? lg 3 ? 0 的两个根为 x1 、 x2 ,那么 x1 ? x2 的值为( C A. lg 2 ? lg 3 B. lg 2 ? lg 3 C.

1 6

D. -6

6.方程 lg x ? lg?x ? 3? ? 1的解 x ? 2 .

7.

3 lg 27 ? lg 8 ? lg 1000 . ? 2 lg120
1 ?a ? 0 ,a ? 1? 2

8.计算: (1) loga 2+ loga (3) lg (2) log3 18- log3 2 (4)2 log5 10+ log5 0.25 (6) log2 ( log2 16)

1 -lg25 4

(5)2 log5 25+3 log2 64 解:(1) loga 2+ loga

1 1 = loga (2× )= loga 1=0 2 2 18 (2) log3 18- log3 2= log3 = log3 9=2 2 1 1 1 ?2 (3)lg -lg25=lg( ÷25)=lg =lg 10 =-2 4 4 100
(4)2 log5 10+ log5 0.25= log5 10 + log5 0.25 = log5 (100×0.25)= log5 25=2
2 (5)2 log5 25+3 log2 64=2 log5 5 +3 log2 2
6

2

=2×2+3×6=22 (6) log2 ( log2 16)= log2 ( log2 2 )= log2 4= log2 2 =2 9.已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求下列各对数的值(精确到小数点后第四位) (1) lg6 (2)lg4 (3)lg12
11
4 2

(4)lg

3 2

解: (1)lg6=lg2+lg3=0.3010+0.4771=0.7781 (2) lg4=2lg2=2×0.3010=0.6020 (3) lg12=lg(3×4)=lg3+2lg2=0.4771+0.3010×2=1.0791 (4) lg

3 =lg3-lg2=0.4771-0.3010=0.1761 2

10.用 loga x , loga y, loga z, loga ?x ? y ?, loga ?x ? y ? 表示下列各式:

x (1) loga 2 y z
解:(1) loga
3

3

(2) loga ( xy z

1 2

?

2 3



(3) loga

xy x ? y2
2

(4) loga (

x? y ?y) x? y

x = loga y z
2
1
? 2

3

x - loga y 2 z=
1

1 loga x-2 loga y- loga z; 3
? 2

(2)

loga (x y 2 z 3 )= loga x+ loga y 2 + loga z 3 ?= loga x+

1 2 loga y- loga z; 2 3

(3) loga

xy 2 = loga xy- loga ( x - y 2 )= loga x+ loga y- loga (x+y)- loga (x-y) ; 2 x ?y
2

(4) loga (

x? y x? y ·y)= loga + loga y= loga (x+y)- loga (x-y)+ loga y; x? y x? y

11.设 x, y , z 都大于 0 且 3 ? 4 ? 6 。求证:
x y z

1 1 1 ? ? x 2y z







3x ? 4 y ? 6 z ? k



x ? log3 k

y ? log4 k

z ? log6 k



1 ? logk 3 x

1 ? logk 4 y

1 1 1 1 ? logk 6 ∴ ? ? logk 6 ? z x 2y z

12


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