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14数学全国教师9(理)

时间:2014-10-03


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(九)
第九单元 三角函数与平面向量综合测试
(120 分钟 150 分)

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知=(2,4),=(-1,3),则等于 A.(3,1) B.(2,-1) C.(-1,2) D.(-1,7)

解析:=-=(2,4)-(-1,3)=(3,1). 答案:A

2.已知2<θ<π,sin(2+θ)=-5,则 tan(π-θ)的值为 A.4 B.3
3 4

π

π

3

C.-4
π 2 3 5

3

D.-3
3 5 π 2 4 5 sin 4 =- ,所以 tan(π-θ)=-tan cos 3

4

解析:因为 sin( +θ)=- ,所以 cos θ=- ,因为 <θ<π,所以 sin θ= ,所以 tan θ= θ. 答案:B

3.若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A=3,则 sin A+cos A 等于 A.15 3

2

B.

15 3

C.2 3

5 3

D.

5 3 π 2

解析:sin 2A=2sin Acos A= ,且 A 是△ABC 的内角,所以 0<2A<π,所以 0<A< ,(sin A+cos A)2=1+2sin
2 5 3 3 5 15 = . 3 3

Acos A=1+ = ,sin A+cos A= 答案:B

4.要得到函数 y=cos 2x 的图象,只要将函数 y=cos(2x+1)的图象 A.向左平移 2 个单位 C.向左平移2个单位
1

1

1

B.向右平移 2 个单位 D.向右平移2个单位
1

解析:y=cos( x+1)=cos (x+2),根据函数图象的“左加右减”原则,知应将函数函数 y=cos( x+1)向右平 移 2 个单位. 答案:B

1 2

1 2

1 2

5.已知△ABC 为等腰三角形,∠A=∠B=30° ,BD 为 AC 边上的高,若=a,=b,则等于 A.2a+b
3

B.2a-b C.2b+a D.2b-a

3

3

3

解析:如图所示,在直角三角形 BCD 中,∠BCD=60° ,CD= CB= AC,所以= = b,= b,所以

1 2

1 2

1 2

1 2

3 2

=-= b-a.
答案:D

3 2

6.已知向量 a=(cos α,sin α),b=(2,3),若 a∥b,则 sin2α-sin 2α 的值等于 A.-13
5

B.-13

3

C.13

3

D.13
3 2

5

解析:由 a∥b,得 2sin α-3cos α=0 得 tan α= . sin2α-sin 2α= 答案:B
2 sin2 α-2sincos tan2 α-2tan (2) -2× 2 3 = = =- . 3 sin2 α+cos2 α tan2 α+1 (2)2 +1 13

3

3

7.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图,当 x∈[0,2],满足 f(x)=1 的 x 的值为 A.
π 6 5π

π

B.

π 3

C.2 D.12

π

解析:由 = 知 x=
5π . 12

5π π π 2π π 2π 2π - = ?T=π,ω= =2,A=2,且-π<φ<0,∴ 2sin(2× +φ)=0?φ=- ,∴ f(x)=2sin(2x- ),代入检验 2 6 3 2 3 3 3

答案:D

8.已知△ABC 中,AB=AC=BC=6,平面内一点 M 满足=3 -3 ,则·等于 A.-9 B.-18 C.12 D.18
2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3

2

1

解析:因为·=-·=·( - )= ·- ·= × 6× 6× cos 120° - × 6× 6× cos 60° =-18. 答案:B

9.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值范围是 A.[0,6]
π

B.[3,π] C.[3, 3 ] D.[6,π]

π

π 2π

π

解析:|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根,则|a|2-4a·b≥0,设向量 a·b 的夹角为 θ,cos θ=
2 · 4|a| 1 π ≤1 2 = ,∴ θ∈[ ,π]. |||| |a| 2 3

1 2

答案:B

10.若 O 为平面内任一点且(+-2)·(-)=0,则△ABC 是 A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形

C.等腰三角形但不一定是直角三角形

解析:由(+ -2)·(-)=0 得(+)·(-)=0,∴ ()2-( )2=0,即 ||=||,∴ AB=AC. 答案:C

1 11.定义行列式运算: 3

2 5π 3 sin 4 =a1a4-a2a3,将函数 f(x)= 1 (ω>0)的图象向左平移 6

个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 ω 的最小值是 A.5 B.1
1

C. 5

11

D.2
π 6 5π 个单位后所得图象 6

解析:由题意知,f(x)= 3cos ωx-sin ωx=2cos(ωx+ ).将函数 f(x)的图象向左平移 对应的函数 y=2cos(ωx+ 答案:B

5π π 5π π 6 1 ω+ )为偶函数,所以 ω+ =kπ,k∈Z,ω= k- ,k∈Z,∵ ω>0,∴ ωmin=1. 6 6 6 6 5 5

12.某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<2)的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元 后,7 月份第一次出现最低价格,最低为 5 千元,根据以上条件可确定 4 月份的价格为 A.6 B.6+ 2 C.7 D.7+ 2
π

解析:由题意可知,函数 f(x)的最大值为 9,最小值为 5,所以 A+B=9,-A+B=5,可以解得 A=2,B=7,所以 f(x)=2sin(ωx+φ)+7,又 T=2× (7-3)=8=
2π π 3 π ,∴ ω= 再代入点(3,9),可得 sin( π+φ)=1,又|φ|< ,∴ φ= 4 4 2

π π π π ,∴ f(x)=2sin( x- )+7,∴ f(4)=2sin(π- )+7=7+ 4 4 4 4

2.

答案:D

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.若向量 a=(1,x),b=(2,1)满足条件 a⊥b,则 x 等于
解析:由得 a⊥b 得 a·b=2+x=0,所以 x=-2. 答案:-2
1+tan 1 =2014,则cos2+tan 1-tan

.

14.若

2α=

.

解析:

1 1 sin2 (sin+cos)2 sin+cos tan+1 +tan 2α= + = = = =2014. cos2 cos2 cos2 cos2 α-sin2 α cos-sin 1-tan

答案:2014

15.若平面向量 a,b 满足|a+b|=1,a+b 平行于 x 轴,b=(2,-1),则 a=
∵ |a+b|=1,∴ |x+2|=1,∴ x=-1 或 x=-3,∴ a=(-1,1)或 a=(-3,1). 答案:(-1,1)或(-3,1)

.

解析:设 a=(x,y),∵ b=(2,-1),则 a+b=(x+2,y-1),∵ a+b 平行于 x 轴,∴ y-1=0,y=1,故 a+b=(x+2,0),又

16.已知等腰△ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b+a,c-a),若 p∥q,则角 A 的大小为 .
2 +2 -2 - 1 = =- ,因为 2 2 2

解析:由 p∥q 得(a+c)(c-a)=b(b+a),即-ab=a2+b2-c2,由余弦定理得 cos C=
1 2

0° <C<180° ,所以 C=120° .又由△ABC 为等腰三角形得 A= (180° -120° )=30° . 答案:30°

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数 t 满足(-t)·=0,求 t 的值.
解析:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4). 所以|+|=2 10,|-|=4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10.5 分 (2)由题设知 =(-2,-1),-t =(3+2t,5+t). 由(-t )· =0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 从而 5t=-11,所以 t=- .10 分
11 5

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=1+sin xcos x,g(x)=cos2(x+ ). (1)设 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,求 g(x0)的值; (2)求使得函数 h(x)=f( )+g( )(ω>0)在区间[- , ]上是增函数的 ω 的最大值.
解析:(1)f(x)=1+ sin 2x,g(x)= + cos(2x+ ), 2x0=kπ+ ,∴ 2x0+ =kπ+ 或 g(x0)= + cos
1 2 1 1 2 2 π 2 π 6 2π 1 1 2π 1 ,∴ g(x0)= + cos = , 3 2 2 3 4 1 2 1 1 2 2 π 6 2 2 2π π 3 3 π 12

5π 3 1 3 = ,∴ g(x0)= 或 .6 分 3 4 4 4 1 1 2 2 π 3 1 6 2 2 π 3 π 2 3 2 3

(2)h(x)=1+ sin ωx+ + cos(ωx+ )= + sin(ωx+ ),又 ≥ -(- π)=π,∴ T≥2π 得 w≤1, ∴ - ωπ+ ≥- ,且
1 2 2 3 π 3 π 2 π π π 1 + ≤ ,所以 ω≤ . 3 3 2 2

∴ ω 的最大值 .12 分

19.(本小题满分 12 分) 若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R. (1)t 为何值时,起点相同的 a,tb,3(a+b)三向量的终点在一直线上?
1

(2)若|a|=|b|且 a 与 b 夹角为 60° ,t 为何值时,|a-tb|的值最小?
解析:(1)设 a-tb=m[a- (a+b)],m∈R, 化简得( m-1)a=( -t)b,3 分
2 m-1 = ∵ a 与 b 不共线,∴ 3 -t = 0 3 1 2 1 3 2 3 3 1 3

0

?

= , = 2 .
1

3 2

∴ t= 时,a,tb, (a+b)的终点在一直线上.6 分 (2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos 60° =(1+t2-t)|a|2, ∴ 当 t= 时,|a-tb|有最小值
1 2 3 |a|.12 分 2

20.(本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 acos B-bcos A= c. (1)求
tan 的值; tan 1 2

(2)求 tan(A-B)的最大值,并判断当 tan(A-B)取最大值时△ABC 的形状.
解析:(1)由 acos B-bcos A= c 可得 2sin Acos B-2sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B ?sin Acos B=3sin Bcos A?
tan =3.6 分 tan 1 2

(2)设 tan B=t 且 t>0,则 tan A=3t, tan(A-B)=
3- 2 2 3 = = ≤ , 1+32 1+32 3+1 3


此时 t=

3 π π π ?B= ?A= ,故 C= ,△ABC 为直角三角形.12 分 3 6 3 2

21.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,满足⊥,M 是 BC 中点. (1)若||=||,求向量+2与向量 2+的夹角的余弦值; (2)若 O 是线段 AM 上任意一点,且||=||= 2,求·+·的最小值.
解析:(1)设向量+2与向量 2+的夹角为 θ,

cos θ=

(+2)·(2+) 22 +22 4 ,令||=||=a,cos θ= = .6 分 5a· 5a 5 |+2|·|2+|

(2)∵ ||=||= 2,∴ ||=1, 设||=x,则||=1-x,而+ =2. 所以·(+ )=2·=2||·||cos π=2x2-2x=2(x- )2- . 当且仅当 x= 时,·(+ )的最小值是- .12 分
1 2 1 2 1 2 1 2

22.(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sin x,-1),n=( 3cos x,-2),函数 f(x)=m2+m·n-2. (1)求 f(x)的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (2)已知 a、b、c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边,且 a,b,c 成等比数列,角 B 为锐角,且 f(B)=1,求
1 1 + 的值. tan tan 1 2 1

解析:(1)f(x)=sin2x+1+ 3sin xcos x+ -2 =
1-cos2 3 1 3 1 π + sin 2x- = sin 2x- cos 2x=sin(2x- ).2 分 2 2 2 2 2 6 π 6 π 2 π 3

故 f(x)max=1,此时 2x- =2kπ+ ,k∈Z,得 x=kπ+ ,k∈Z, ∴ 取最大值时 x 的取值集合为{x|x=kπ+ ,k∈Z}.5 分 (2)f(B)=sin(2B- )=1,∵ 0<B< ,∴ - <2B- < ∴ 2B- = ,B= .7 分 由 b2=ac 及正弦定理得 sin2B=sin Asin C,于是
1 1 cos cos sincos+cossin sin(+) 1 2 3 + = + = = = = .12 分 tan tan sin sin sinsin sin2 B sin 3 π π 6 2 π 3 π 6 π 2 π 6 π 5π , 6 6 π 3


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