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北京五中2011届高三上学期期中考试-数学文试题(word版)

时间:2010-12-18


北京五中 2010/2011 学年度上学期期中考试试卷 高三数学(文科)
一.选择题(每题 5 分,共 40 分,请把答案填在第 3 页表中 请把答案填在第 页表中) 1.设集合 A = { ,2} ,则满足 A ∪ B = { ,2,3}的集合 B 的个数是( 1 1
(A) 1 (B ) 3 (C ) 4 (D) 8

)

2.给出下列命题 :① ?x ∈ R, x 2 ≥ x ;② ?x ∈ R, x 2 ≥ x ; ③ 4 ≥ 3 ;

④“ x 2 ≠ 1 ”的充要条件是“ x ≠ 1 ,或 x ≠ ?1 ”, 其中正确命题的个数是 (
(A) 0 (B ) 1


(C ) 2 (D) 3

3. 设非零向量 a, b 满足 a = b = a + b , ,则 a 与 a + b 的夹角为(
(A) 30° (B ) 60° (C ) 90° (D) 120°



4.已知等差数列 {a n } 的前 20 项的和为 100,那么 a 7 a14 的最大值为(
(A) 25 (B ) 50 (C ) 100 (D) 不存在

)

5.将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移

π
4

个单位长度,向上平移 1 个单位长度,所

得图象对应的函数解析式是(
( A) y = 2 cos 2 x ( B ) y = cos 2 x

)
(C ) y = ? cos 2 x
2 2

( D) y = ?2 cos 2 x

6.若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x + 4 x + y ? 5 = 0 在第一象限内的

部分有交点,则 k 的取值范围是(
( A) 0 < k < 5 ( B) ? 5 < k < 0

)
(C ) 0 < k < 13 ( D) 0 < k < 5

7.函数 f ( x) = log a x + b 是偶函数,且在区间 (0 , + ∞ ) 上单调递减,则 f (b ? 2) 与

f (a + 1) 的大小关系为(


( B ) f (b ? 2) > f (a + 1) ( D ) 不能确定

( A) f (b ? 2) = f (a + 1) (C ) f (b ? 2) < f (a + 1)

-1-

8.一根竹竿长 2 米,竖直放在广场的水平地面上,在 t1 时刻测得它的影长为 4

米,在 t 2 时刻的影长为 1 米.这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子 是椭圆,问在 t1 、 t 2 这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率 之比为(
(A) 1:1


(B )

2 :1

(C )

3 :1

( D) 2:1

二.填空题(每题 5 分,共 30 分,请把答案填在第 3 页表中 请把答案填在第 页表中) 9.与 a = (3 , ? 4) 垂直的单位向量为______________

2
10.如图是一个几何体的三视图,则该几何体 的体积为
正视图 2 侧视图

2
2

11.已知函数 f ( x) = x + 4 x + 2 ? a ,当 x ∈ [?1,+∞)
2

1

时,都有 f ( x) ≥ 0 成立,则实数 a 的取值范围为
俯视图

12. 已知当 x > 4 时,f ( x) = 2 x ?1 , f (4 ? x) = f (4 + x) 恒成立, 且 则当 x < 4 时,f (x) = 13.已知点 P ( 2, 2 ) 在曲线 y = ax3 + bx 上,如果该曲线在点 P 处切线的斜率为 9 , 那么 ab =
3 ,此时函数 f ( x ) = ax3 + bx , x ∈ [ ? ,3] 的值域为 2

14.定义运算符号: ∏ ” “ ,这个符号表示若干个数相乘,例如:可将 1×2×3

×…×n 记作 ∏ i , (n ∈ N ? ).记Tn = ∏ ai ,其中 a i 为数列 {a n }( n ∈ N ? ) 中的
i =1 i =1

n

n

第 i 项. ①若 an = 3n ? 2 ,则 T4 = 三.解答题(共 80 分)
15. ?ABC 中, 、 、 为角 A 、 、 的对边, 在 a b c B C 已知 A 、 为锐角, cos 2 A = B 且

; ②若 Tn = 2n 2 ( n ∈ N ? ), 则an =

3 , 5

sin B =

10 10
-2-

(1)求 A + B 的值;

(2)若 a ? b = 2 ? 1 ,求 a 、 b 、 c 的值

16.设关于 x 的二次函数 f ( x) = ax 2 ? 4bx + 1(a, b ∈ R). (I)设集合 P={1,2, 4}和 Q={-1,1,2},分别从集合 P 和 Q 中随机取一 个数作为函数 f ( x) 中 a 和 b 的值,求函数 y = f (x) 有且只有一个零点 的概率;

?2 x + y ? 4 ≤ 0 ? (II)设点( a , b )是随机取自平面区域 ? x > 0 内的点,求函数 ?y > 0 ?
y = f ( x)在区间(?∞,1] 上是减函数的概率.

17. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC = 3 ,AB = 5 , BC = 4 , D 是 AB 的 点

中点, (1) 求证: AC ⊥ BC1 ; (2) 求证: AC1 / / 平面CDB1 .

-3-

18.已知函数 f ( x ) = x 2 ( x + a ) . (Ⅰ)当 a = 1 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ≠ 0 时,求 f ( x ) 的单调区间.

19.已知 △ ABC 的顶点 A,B 在椭圆 x 2 + 3 y 2 = 4 上, C 在直线 l:y = x + 2 上,且

AB ∥l . (Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积;
(Ⅱ)当 ∠ABC = 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.

20 . 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 Sn 和 通 项 an 满 足
q > 0, q ≠ 1 ) 。

Sn q = ( q 是常数且 an ? 1 q ? 1

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
-4-

(Ⅱ) 当 q =

1 1 时,试证明 S n < ; 4 3

(Ⅲ)设函数 f ( x) = log q x , bn = f (a1 ) + f (a2 ) + ? + f (an ) ,是否存在正整数

m ,使

1 1 1 1 m ? + + +…+ ≥ 对 ?n ∈ N 都成立?若存在,求出 m 的值; b1 b2 b3 bn 3

若不存在,请说明理由.

-5-

北京五中 2010/2011 学年度上学期期中考试试卷 高三数学(文科)答案
四.选择题(每题 5 分,共 40 分,请把答案填在第 3 页表中 请把答案填在第 页表中) 1.设集合 A = { ,2} ,则满足 A ∪ B = { ,2,3}的集合 B 的个数是( 1 1
(A) 1 (B ) 3 (C ) 4 (D) 8

C

)

2.给出下列命题 :① ?x ∈ R, x 2 ≥ x ;② ?x ∈ R, x 2 ≥ x ; ③ 4 ≥ 3 ;

④“ x 2 ≠ 1 ”的充要条件是“ x ≠ 1 ,或 x ≠ ?1 ”, 其中正确命题的个数是 ( C
(A) 0 (B ) 1


(C ) 2 (D) 3

3. 设非零向量 a, b 满足 a = b = a + b , ,则 a 与 a + b 的夹角为(
(A) 30° (B ) 60° (C ) 90° (D) 120°

D



4.已知等差数列 {a n } 的前 20 项的和为 100,那么 a 7 a14 的最大值为(
(A) 25 (B ) 50 (C ) 100 (D) 不存在

A

)

5.将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移

π
4

个单位长度,向上平移 1 个单位长度,所 )
(C ) y = ? cos 2 x
2 2

得图象对应的函数解析式是(
( A) y = 2 cos 2 x

A

( B ) y = cos 2 x

( D) y = ?2 cos 2 x

6.若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x + 4 x + y ? 5 = 0 在第一象限内的

部分有交点,则 k 的取值范围是(
( A) 0 < k < 5 ( B) ? 5 < k < 0

A

)
(C ) 0 < k < 13 ( D) 0 < k < 5

7.函数 f ( x) = log a x + b 是偶函数,且在区间 (0 , + ∞ ) 上单调递减,则 f (b ? 2) 与

f (a + 1) 的大小关系为(

C


( B ) f (b ? 2) > f (a + 1) ( D ) 不能确定

( A) f (b ? 2) = f (a + 1) (C ) f (b ? 2) < f (a + 1)

-6-

8.一根竹竿长 2 米,竖直放在广场的水平地面上,在 t1 时刻测得它的影长为 4

米,在 t 2 时刻的影长为 1 米.这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子 是椭圆,问在 t1 、 t 2 这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率 之比为(
(A) 1:1

A


(B )

2 :1

(C )

3 :1

( D) 2:1

五.填空题(每题 5 分,共 30 分,请把答案填在第 3 页表中 请把答案填在第 页表中) 4 3 4 3 9.与 a = (3 , ? 4) 垂直的单位向量为_ ( , ) , (? ,? ) _ 5 5 5 5 2
10.如图是一个几何体的三视图,则该几何体 7 π 3
2 正视图 1 侧视图

2
2

的体积为

11.已知函数 f ( x) = x + 4 x + 2 ? a ,当 x ∈ [?1,+∞)
2

时,都有 f ( x) ≥ 0 成立,则实数 a 的取值范围为
a ≤ ?1

俯视图

12. 已知当 x > 4 时,f ( x) = 2 x ?1 , f (4 ? x) = f (4 + x) 恒成立, 且 则当 x < 4 时,f (x)



2 7? x

13.已知点 P ( 2, 2 ) 在曲线 y = ax3 + bx 上,如果该曲线在点 P 处切线的斜率为 9 ,

那么 ab =

-3

3 ;函数 f ( x ) = ax3 + bx , x ∈ [ ? ,3] 的值域为 2

[-2,18]

14.定义运算符号: ∏ ” “ ,这个符号表示若干个数相乘,例如:可将 1×2×3

×…×n 记作 ∏ i , (n ∈ N ? ).记Tn = ∏ ai ,其中 ai 为数列 {a n }( n ∈ N ? ) 中的
i =1 i =1

n

n

第 i 项. ① 若 an = 3n ? 2 , 则 T4= 280 ; ② 若 Tn = 2n 2 ( n ∈ N ? ), 则an =

?2 ? 2 ?? n ? ?? n ? 1 ? ? ??

.

-7-

选择题答案 题号 答案 填空题答案 9. 11. 13. 六.解答题(共 80 分) 15. ?ABC 中, 、 、 为角 A 、 、 的对边, 在 a b c B C 已知 A 、 为锐角, cos 2 A = B 且
sin B = 10 10
3 , 5

1

2

3

4

5

6

7

8

10. 12. 14.

(1)求 A + B 的值;

(2)若 a ? b = 2 ? 1 ,求 a 、 b 、 c 的值
10 3 10 ,∴ cos B = 1 ? sin 2 b = 10 10
3 , 5

解: (Ⅰ)∵ A 、 B 为锐角, sin B =

又 cos 2 A = 1 ? 2sin 2 A =

∴ sin A =

5 2 5 2 , cos A = 1 ? sin A = , 5 5 2 5 3 10 5 10 2 × ? × = 5 10 5 10 2

∴ cos( A + B ) = cos A cos B ? sin A sin B =

∵0 < A + B < π ∴ A + B =
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C = 由正弦定理

π
4

…………………………………6 分

3π 2 ,∴ sin C = . 4 2

a b c 得 = = sin A sin B sin C
w.w.w. .c.o.m

5a = 10b = 2c ,即 a = 2b , c = 5b

Q a ? b = 2 ?1, ∴ 2b ? b = 2 ? 1 ,∴ b = 1
-8-

16.设关于 x 的一元二次函数 f ( x) = ax 2 ? 4bx + 1(a, b ∈ R). (I)设集合 P={1,2, 4}和 Q={-1,1,2},分别从集合 P 和 Q 中随机取一 个数作为函数 f ( x) 中 a 和 b 的值,求函数 y = f ( x) 有且只有一个零点 的概率;

?2 x + y ? 4 ≤ 0 ? (II)设点( a , b )是随机取自平面区域 ? x > 0 内的点,求函数 ?y > 0 ?
y = f ( x)在区间(?∞,1] 上是减函数的概率.

解: (I)要使函数 y = f ( x) 有且只有一个零点,当且仅当
? = 16b 2 ? 4a = 0, 即a = 4b 2 .

……………………………2 分

分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b ,可以是
(1, ?1), (1,1), (1, 2), (2, ?1), (2,1), (2, 2), (4, ?1), (4,1), (4, 2) 共 9 个基本事件,其中满足
a = 4b 2 的事件有 (4,1), (4, ?1) 共 2 个,

∴所求事件的概率为

2 9

.

……………………………6 分
2b , a

(II)∵ 函数 f ( x) = ax 2 ? 4bx + 1 的图象的对称轴为 x =

y

由函数 y = f ( x)在区间(?∞,1] 上是减函数, a ≤ 2b 且 a >0, 得 ....8 依 条 件 可 知 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 为
? ?2a + b ? 4 ≤ 0 ? ? ? ? ? ( a, b) ? a > 0 ? , 即 三 角 形 区 域 AOB . 且 ? ?b > 0 ? ? ? ?


B C O A x

点A(2, 0), 点B(0, 4). .......................................10 分
构成所求事件的区域为三角形区域 BOC (如图). ?2a + b ? 4 = 0 8 4 由? 得交点坐标为C ( , ), ……………………………12 分 5 5 ?a = 2b
1 8 × 4× S ?BOC 2 5 = 4 ………………… ∴所求事件的概率为 P = = S ?AOB 1 × 4 × 2 5 2
-9-

13 分

17. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC = 3 ,AB = 5 , BC = 4 , D 是 AB 的 点 中点, (3) 求证: AC ⊥ BC1 ; (4) 求证: AC1 / / 平面CDB1 . 证明: (1)可证 AC ⊥ 平面BCC1 B1

(2)设 BC1 , B1C 交于 O 可证 AC1 // DO 所以 AC1 / / 平面CDB1
18.已知函数 f ( x ) = x 2 ( x + a ) .

(Ⅰ)当 a = 1 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ≠ 0 时,求 f ( x ) 的单调区间. 解: f ( x ) = x 2 ( x + 1) = x 3 + x 2
f ′( x ) = 3 x 2 + 2 x

……………………1 分 则 x1 = 0, x 2 = ?
? 2 3
2 3

令 3x 2 + 2 x = 0

…2 分

x
f ′( x ) f (x )
……………4 分
∴当 x = ?

2? ? ? ? ∞, ? ? 3? ?

? 2 ? ? ? ,0 ? ? 3 ?

0
0 极小值

(0,+∞)
+ ↗ ………

+ ↗ 值

0 极 大

- ↘

2 ? 2? 4 时, f ( x )极大值 = f ? ? ? = ……………………5 分 3 ? 3 ? 27

当 x = 0 时, f ( x )极小值 = f (0 ) = 0 ……………………6 分 (Ⅱ)∵ f ( x ) = x 3 + ax 2

∴ f ′ ( x ) = 3x 2 + 2ax = x ( 3x + 2a )
- 10 -

…………7 分



当 a < 0 时, ?

2a >0 3

令 f ′( x ) = 3 x 2 + 2ax > 0 令 f ′( x ) = 3 x 2 + 2ax < 0

得 x < 0或 x > ? 得0 < x < ? 2a 3

2a 3

……8 分 ……9 分 10 分

2a ? ? 2a ? ? ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (? ∞,0) , ? ? ,+∞ ? ,减区间为 ? 0,? ? . 3 ? ? 3 ? ?

②当 a > 0 时, ?

2a <0 3 2a 或x>0 3

令 f ′( x ) = 3 x 2 + 2ax > 0 得 x < ? 令 f ′( x ) = 3 x 2 + 2ax < 0 得 ?

11 分 ……12 分 . 13 分

2a <x<0 3

2a ? ? ? 2a ? ∴ f ( x ) 的单调增区间为 ? ? ∞,? ? , (0,+∞ ) .减区间为 ? ? ,0 ? 3 ? ? ? 3 ?

? 2a ? 综上可知,当 a < 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (? ∞,0) , ? ? ,+∞ ? ,单调减区间为 ? 3 ? 2a ? ? ? 0,? ? ; 3 ? ? 2a ? ? 当 a > 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ? ? ∞,? ? , (0,+∞ ) ,单调减区间为 3 ? ? ? 2a ? ,0 ? . ?? ? 3 ? 19.已知 △ ABC 的顶点 A,B 在椭圆 x 2 + 3 y 2 = 4 上, C 在直线 l:y = x + 2 上,且

AB ∥ l . (Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积;
(Ⅱ)当 ∠ABC = 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程. 解: (Ⅰ)因为 AB / /l ,且 AB 边通过点 (0, ,所以 AB 所在直线的方程为 y = x . 0) 设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) . (x

? x 2 + 3 y 2 = 4, 由? 得 x = ±1 . ?y = x
所以 AB = 2 x1 ? x2 = 2 2 .
- 11 -

又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离. 1 所以 h = 2 , S△ ABC = AB ih = 2 . 2 (Ⅱ)设 AB 所在直线的方程为 y = x + m ,

? x 2 + 3 y 2 = 4, 由? 得 4 x 2 + 6mx + 3m 2 ? 4 = 0 . ?y = x + m
因为 A,B 在椭圆上,所以 ? = ?12m 2 + 64 > 0 . 设 A,B 两 点 坐 标 分 别 为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) , 则 x1 + x2 = ? (x x1 x2 = 3m 2 ? 4 , 4 所以 AB = 2 x1 ? x2 = 3m , 2

32 ? 6m2 . 2 2?m 2


又因为 BC 的长等于点 (0,m) 到直线 l 的距离,即 BC =
2 2 2

所以 AC = AB + BC = ? m 2 ? 2m + 10 = ?( m + 1) 2 + 11 . 所以当 m = ?1 时, AC 边最长, (这时 ? = ?12 + 64 > 0 ) 此时 AB 所在直线的方程为 y = x ? 1 . 20. 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 Sn 和 通 项 an 满 足
q > 0, q ≠ 1 ) 。

Sn q = ( q 是常数且 an ? 1 q ? 1

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 当 q =
1 1 时,试证明 S n < ; 4 3

(Ⅲ)设函数 f ( x) = log q x , bn = f (a1 ) + f (a2 ) + ? + f (an ) ,是否存在正整数

m ,使

1 1 1 1 m ? + + +…+ ≥ 对 ?n ∈ N 都成立?若存在,求出 m 的值; b1 b2 b3 bn 3

若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)由题意,S n = 1分
- 12 -

q q (a n ? 1) , S1 = a1 = 得 (a1 ? 1) ∴ a1 = q q ?1 q ?1

…………

当 n ≥ 2 时, an =

q q q q (an ? 1) ? (an ?1 ? 1) = an ? an ?1 , q ?1 q ?1 q ?1 q ?1 ∴ ………………3 分

(q ? 1)an = qan ? qan ?1
an =q an ?1

∴ 数 列 {an } 是 首 项 a1 = q , 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , ∴
an = q ? q n ?1 = q n

………4 分

1 1 (1 ? n ) 1 4 = 1 (1 ? 1 ) (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 q = 时, S n = 4 ………………… 1 4 3 4n 1? 4 5分 1 ∵ 1 ? n < 1 ,∴ 4 1 1 1 (1 ? n ) < …………………………………………………6 分 3 3 4 即 1 Sn < …………………………………………………………………………7 3 分

- 13 -

- 14 -


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