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福建省龙岩市2015年5月高中毕业班质量检查数学理科试题及答案(扫描版)

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龙岩市 2015 年高中毕业班教学质量检查

数学(理科)参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的 评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分

的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半; 如果后继部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分. 1-5 BAACB 6-10 DBCDA 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分. 11.7 12. ?2 2 13.

3 4

14.①②

15. 2n(2n ? 1)3

n?2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)依题意 分 所以 t ? 2 . 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得乙应聘成功的概率均为 分 ……………………………………………………6

4 t t 16 ? ? ? , 9 3 3 81

…………………………………………3

2 , 3

…………………………7

? 的可能取值为 0,1,2
8分

………………………………………

4 2 8 ? ? , 9 3 27 4 1 5 2 14 P(? ? 1) ? ? ? ? ? , 9 3 9 3 27 5 1 5 P (? ? 0) ? ? ? , ……………………………………………………12 9 3 27 P (? ? 2) ?
分 所以 E? ? 2 ?

8 14 5 30 10 ? 1? ? 0 ? ? ? . 27 27 27 27 9

……………………………13

分 17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 分 由 f ( x) ? 3 及 x ? 0 得 2 x ? k ? ? 分 方程 f ( x) ? 3 在 (0, ??) 的解从小到大依次排列构成首项为 公差为 分 (Ⅱ) bn ? 分

(sin x ? cos x)2 ? 1 2sin x cos x sin 2 x ? ? ? tan 2 x , cos2 x ? sin 2 x cos 2 x cos 2 x

………… 2

?
3

,∴x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 6

……… 4

? ? ? (3n ? 2)? 的等差数列∴ an ? ? (n ? 1) ? . 6 2 6 2
2

? , 6
………………6

3 (3n ? 2)? ? ? ? (4n ? 1)(3n ? 2) 6 2(2 n ? 1)(2 n ? 1)

………………… 8

?


1 1 1 ( ? )? , 4 2n ? 1 2n ? 1

…………………………………………… 10

Sn ?

??

1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? 4? 3 3 5

?(

1 1 ? ? 1 n? . ? ) ? ? (1 ? )? 2n ? 1 2 n ? 1 ? 4 2n ? 1 4 n ? 2
……………………… 13

分 18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ AB // CD , ?ABC ? 90? , CD ? 2 AB ? 4 又 AE // BC 交 CD 于点 E . ∴四边形 ABCE 是边长为 2 的正方形 分 ∴ AC ? BE , DE ? AE . 又∵平面 ADE ? 平面ABCE

………………………1

平面ABCE ? AE ∴ DE ? 平面ABCE
平面 ADE 分 ∵ AC ? 平面ABCE ,∴ AC ? DE 分 又 DE ? BE ? E ∴ AC ? 平面DBE 分 ∵ AC ? 平面DAC ∴平面 DAC ? 平面DEB 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 DE ? 平面ABCE , AE ? EC 坐 系.

………………………3 ……………………4

………………………5

………………………6

以 E 为原点, EA , EC , ED 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角 标 ………………………7

分 则 A(2 , 0 , 0) , B(2 , 2 , 0) , C (0 , 2 , 0) , D(0 , 0 , 2) 设 EH ? x ,则 GH ? DH ? 2 ? x ( 0 ? x ? 2 ) ∵ AB // CE ,∴ AB ? 面DAE 分 ∴ VB ?GHE ? …………………8

1 1 1 S ?GHE ? AB ? [ x(2 ? x)] ? 2 3 3 2 1 1 ? (? x 2 ? 2 x) ? [?( x ? 1) 2 ? 1] 3 3

………………………9

分 ∵ 0 ? x ? 2 ,∴ x ? 1 时,三棱锥 B ? GHE 体积最大,此时, H 为 ED 中点. ∵ GH // AE ,∴ G 也是 AD 的中点,∴ G(1 , 0 , 1) , BG ? (?1 , ? 2 , 1) .…10 分 设 n ? ( x , y , z) 是面 BCD 的法向量. 则?

? ?n ? BC ? ( x , y , z ) ? (?2 , 0 , 0) ? ?2 x ? 0 ? ?n ? DC ? ( x , y , z ) ? (0 , 2 , ? 2) ? 2 y ? 2 z ? 0
………………………11

令 y ? 1 ,得 n ? (0 , 1 , 1) 分 设 BG 与面 BCD 所成角为 ? 则 sin ? ?

| BG ? n | | 0 ? 2 ? 1| 3 ? ? 6 | BG || n | 6 2
3 . 6
………………………13

∴ BG 与平面 BCD 所成角的正弦值为 分 19.(本小题满分 13 分)
2 2 解: (Ⅰ)设 Q ( x, y ) ,根据题意得 | x | ? 2 ?

( x ? 2)2 ? y 2 ,
2

………… 2 ………4

分 整理得 y ? 4 x ,所以动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程是 y ? 4 x .
2

分 (Ⅱ)设存在符合题意的定点 G . 设直线的方程为 x ? ny ? m(n ? 0 且 n ? R) ,则 G(m, 0) . 分 将 x ? m ? ny 代入 y ? 4 x ,整理得 y ? 4ny ? 4m ? 0 .
2 2

…………5

由题意得 ? ? 16n ? 16m ? 0 ,即 n ? m ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4n , y1 ? y2 ? ?4m ,
2 2

y1 ? 1 y ? 1 4( y1 ? 1) 4( y2 ? 1) ? 1 ? 2 , kPB ? , 2 x1 ? 2 y1 y1 ? 8 y2 2 ? 8 ?2 4 1 1 k PG ? ?? , ?2 ? m m?2 由题意得 kPA ? kPB ? 2kPG ,即 kPA ? kPB ? 2kPG ? 0 , k PA ?

所以 分 即

2( y1 ? 1) 2( y2 ? 1) 1 ? 2 ? ?0, 2 y1 ? 8 y2 ? 8 m ? 2

……………………7

2(m ? 2) y1 y2 ( y1 ? y2 ) ?16(m ? 2)( y1 ? y2 ) ? 2[( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ](2 ? m) ? ( y1 y2 )2 ? 32m ? 0
……………9 分 把 y1 ? y2 ? 4n , y1 ? y2 ? ?4m 代入上式, 整理得 (m ? 2)n ? (m ? 2)(2 ? m) , 分 ………11

?(m ? 2)(2 ? m) ? 0 ,解得 m ? 2 ?m ? 2 ? 0 所以存在符合题意的定点 G ,且点 G 的坐标为 (2, 0) .
又因为 n ? R ,所以 ? 分 20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? e x (sin x ? cos x) ? e x (cos x ? sin x) = 2e cos x ,
x

…………………13

又曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线过点 (1, 2) ,得 f ?(0) ? 分 即 2 ? 1 ? a ,解得 a ? ?1 分

f (0) ? 2 , 0 ?1

…3

…………………………………………4
?

(Ⅱ)存在实数 x 1 , x 2?[0, ? ] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 13 ? e 2 成立, 即 g ( x)min ? f ( x) max ? 13 ? e 2 分 由(Ⅰ)知 f ?( x) ? 2e cos x ? 0 在 x ?[0, ? ] 上的解为 x ?
x

?

………………………………5

?
2



(0, 函数 f ( x ) 在

?

) 上递增,在 ( , ?) 上递减 2 2
?

?

f ( x)max ? f ( ) ? e 2 ? a 2

2

?

…………………………………7

2 x 又 a ? a ? 10 ? 0 恒成立, g ( x) ? (a ? a ? 10)e 在 [0, ? ] 上递增,

g ( x)min ? g (0) ? a2 ? a ? 10 ,

? ?
2 2
2

……………………………8

故 a ? a ? 10 ? e ? a ? 13 ? e 2 ,得 a ? 2a ? 3 ? 0 , 所以实数 a 的取值范围是 (?1,3) 分 ………………………………9

b(1 ? e2 ) g ( x) 1 (Ⅲ)由 ? ( x) ? 2 ? ? 1 ? ln x ? 0 ( x ? 0) 得 2 (a ? a ? 10) xe x 2 x b(1 ? e ) e 1 b(1 ? e2 ) e x ? ? 1 ? ln x ? 0 ? 1 ? x ? x ln x , ,化为 xe2 x e2
分 令 h( x) ? 1 ? x ? x ln x ,则 h?( x) ? ? 2 ? ln x

…… 10

由 h?( x) ? ? 2 ? ln x ? 0 ,得 x ? e ,
?2

故 h( x ) 在 (0,

h( x) max


1 1 ) 上递增,在 ( 2 , ?? ) 上递减, 2 e e 1 1 ? h( 2 ) ? 1 ? 2 . …………………………………………12 e e

b(1 ? e2 ) e x 1 ? b(1 ? 2 )e x , 2 e e 1 x 因为 b ? 1 ,所以函数 t ( x) ? b(1 ? 2 )e 在 (0, ??) 上递增, e 1 1 1 t ( x) ? t(0) ? b(1 ? 2 )e0 ? b(1 ? 2 ) ? 1 ? 2 . …………………………13 e e e
再令 t ( x) ? 分 知 t ( x) ? h( x)max ,由此判断函数 ? ( x) 在 (0, ??) 上没有零点, 故 ? ( x) 零点个数为 0. 分 21.(本小题满分 14 分) 解: (1) (Ⅰ) M ? ? ………………14

? 0 ?1? ?, ?1 0 ? ? 2 0? N ?? ?. ? 0 3? ? 0 ?2 ? ?, ?3 0 ?

……………………………2 分 ……………………………3

分 (Ⅱ) NM ? ? 分 由? 分 由题意得 y ' ? x ' 得 3 x ? ?2 y ,所以直线 l 的方程为 3x ? 2 y ? 0 . 分 (2) (Ⅰ)由 ? cos(? ? 分 ……7 ……………………………………4

? 0 ?2 ?? x ? ? x ' ? ??2 y ? x ' , ?? ? ? ? ? 得 ? 3 0 y y ' 3 x ? y ' ? ?? ? ? ? ?

……………………………5

?
4

) ? 2 2 得 x? y?4 ?0,

………………2 ………………………

? 直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 .
3分 (Ⅱ)设 M (2cos? , 5 sin ? ) , M 到 l 的距离为 d , 则

d?

| 2cos ? ? 5 sin ? ? 4 | | 2cos ? ? ? 2 2 其中 cos ? ? ,sin ? ? 3

5 sin ? ? 4 | 4 ? 3cos(? ? ? ) ? 2 2 5 , ………………………5 3



2 , 2 2 . ? M 到直线 l 的距离的最小值为 2
当 cos(? ? ? ) ? 1 时, d 有最小值 分 (3) (Ⅰ)由 f ( x) ? 0 ? x ? 2 ? 3 ? ?3 ? x ? 2 ? 3 ? ?1 ? x ? 5 , 所以 x 的取值范围是 (?1,5) . 3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? 3 x ? 4 ? 4 6 ? x ,

……………7

………2 分

……………………………

由柯西不等式 (32 ? 42 )[( x ? 4)2 ? ( 6 ? x )2 ] ? (3 x ? 4 ? 4 6 ? x )2 ………………5 分 所以 g ( x) ? 250 ? 5 10 . 当且仅当 分

2 x?4 6? x 即 x ? ? 时,g ( x) 取最大值 5 10 . ? 5 3 4

……7


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