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实验二 极限与连续


实验二

极限与连续

实验目的
1.通过计算与作图,加深对数列极限及函数极 限概念的理解。 2.掌握用MATLAB计算极限的方法。 3.深入理解函数的连续与间断。

limit调用格式
syms x limit(f,x,a):计算当变量x趋近于常数a时,函数f的极限值。 limit(f,x,a,

'right'):求函数f的极限值。'right'表示变量x
从右边趋近于a。

limit(f,x,a, 'left') :求函数f的极限值。‘left’表示变量x
从左边趋近于a。

limit(f,x,+inf):计算当变量x趋于正无穷大时,函数f的极
限值。

limit(f,x,-inf):计算当变量x趋于负无穷大时,函数f的极限值。

? ? 例1.观察数列? n n? 1? ,n→∞时的极限。 ? ?

n=1:100; xn=n./(n+1); plot(n,xn,’rd') sums n limit(n/(n+1),n,inf) 输出为 ans= 1

例2.求arctanx当 x ? ?? 和 x ? ??时的极限,求 arctan1/x当x ? 0时的左、右极限。
syms x limit(atan(x),x,+inf) limit(atan(x),x,-inf) limit(atan(1/x),x,0, 'right') limit(atan(1/x),x,0, 'left')
ezplot('atan(x)',[-50,50])

输出为1/2*pi,-1/2*pi, 1/2*pi, -1/2*pi

例3.计算

lim

sin( x) x ?0 x

syms x limit(sin(x)/x,x,0) ezplot('sin(x)/x',[-pi,pi])
输出为ans = 1

例4.考察f(x)=(1+1/x)x,当x→+∞时的变化趋势。

x=1:20:1000;

y=(1+1./x).^x;
plot(x,y)

输出为ans= exp(1)

syms x
limit((1+1/x)^x,x,+inf)
ezplot('(1+1/x)^x',[1,1000])

x→+∞时,函数值与某常数无限接近,这个常 数就是e

例5.研究函数的 函数的图形。

连续性并画出

syms x limit((x^3+3*x^2-x-3)/(x^2+x-6),x,-3) limit((x^3+3*x^2-x-3)/(x^2+x-6),x,2) fplot('(x^3+3*x^2-x-3)/(x^2+x-6)',[-4,5]) 输出为ans = -8/5 ans = NaN

由图可知:x=-3是函数的可去间断点,x=2是 函数的无穷间断点。

例6.研究函数 函数的图形。

连续性并画出

syms x limit((exp(1/x)-1)/(exp(1/x)+1),x,0) ezplot('( (exp(1/x)-1)/(exp(1/x)+1))',[-2,2])

输出为ans =

NaN

图中可看出,x=0为跳跃间断点。

例7.分析函数f(x)= 趋势。

sin

1 x

,当x→0时的变化

syms x limit(sin(1/x),x,0)
输出为ans = -1 .. 1 即极限值在-1,1之间,而极限如果存在则 必唯一,故极限不存在。

x→0时, 1 在-1与1之间无限次振荡,极限不存在 sin
x

ezplot('sin(1/x)',[-1,1])

例8.分析函数f(x)=x sin 1 ,x→0时的变化趋势。
x

syms x limit(x*sin(1/x),x,0)
ezplot('x*sin(1/x)',[-1,1])

输出为ans = 0

sin

1 x

有界量乘以无穷小是无穷小。


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