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2014年最新整理二次函数专题讲解暨二次不等式解法探究


二次函数专题讲解暨二次不等式解法探究 引言: 历年数学高考考题中都或多或少的出现了二次函数题, 所考查的内容涉及许多重要的 数学思想及方法,如分类讨论、数形结合、函数方程思想;配方法、换元法、赋值法等。要 求学生掌握二次函数的概念,掌握其图象、性质及图象与性质的关系,能灵活地运用“三个 二次”的相关知识解题。充分体现了学生对函数内容的把握程度,是数学高考中一个永恒的 话题,真可谓

“考你千遍也不厌倦” 。形如 y ? ax2 ? bx ? c, (a ? 0) 的函数叫做关于 x 的一 元二次函数,其定义域为 R ,图象是一条抛物线,对称轴方程 x ? ? b ,顶点坐标 2a (? b 4ac ? b 2 , ) 。学习时应重点掌握下列内容: 2a 4a ⑴合理选择二次函数的解析式。 *三种常用表达式: ① y ? ax ? bx ? c, ; ② y ? a( x ? h) ? k , (a ? 0) (顶 (a ? 0)(定义式) 2 2 点式) ;③ y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ), (a ? 0) (两根式) 。 【例题 1】已知 f ( x) 是二次函数,且满足 f (0) ? 1, f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,则 f ( x) ? 。 设f ( x) ? ax2 ? bx ? c,? f (0) ? 1,? c ? 1,? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x,? a( x ? 1) 2 ? 〖解答〗 b( x ? 1) ? ax ? bx ? 2ax ? a ? b ? 2 x. ? ? 2 ?2 a ? 2 ?a ? 1 ?? , ?a ? b ? 0 ?b ? ?1 ? f ( x) ? x 2 ? x ? 1. 【例题 2】设二次函数的图象的顶点是 ( ?2, ) ,与 x 轴的两个交点之间的距离为 6,求这个 二次函数的解析式。 3 2 3 3 设二次函数y ? a( x ? 2) 2 ? ,即y ? ax2 ? 4ax ? 4a ? .由 | x1 ? x 2 |? 2 2 〖解答〗 6 1 1 2 5 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? ? ? 6, 得a ? ? . ? y ? ? x 2 ? x ? . a 6 6 3 6 2 【例题 3】设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根满足 0 ? x1 ? x 2 ? 1 ,当 x ? ( x1 , x2 ) 时,证明: x1 ? f ( x) ? x2 . a 由已知设f ( x) ? x ? a( x ? x1 )(x ? x 2 ),? f ( x) ? x1 ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? x ? x1 1 ,? x ? x1 ? 0, ax ? 0,1 ? ax2 ? 0, 〖解答〗 a ? f ( x) ? x1 ? 0即x1 ? f ( x). 同理f ( x) ? x2 ? ( x ? x2 )(ax ? 1 ? ax1 ) ? 0,即x2 ? ? ( x ? x1 )(ax ? 1 ? ax2 ),? 0 ? x1 ? x ? x 2 ? f ( x),综上x1 ? f ( x) ? x 2 . 一 ⑵熟练掌握二次函数的图象和性质。 二次函数 定义域 值 域 (最 值) y=ax +bx+c, (a>0) x∈R 2 y=ax +bx+c, (a<0)

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