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台州市2010学年第一学期高三年级期末质量评估试题


学年 台州市第一学期 高三年级期末质量评估试题

2010 学年


1.巳知集合 N = {i, i , ,
2

理科) 学(理科)

2011.01

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1 (1 +

i ) 2 } ,i 是虚数单位,设 Z 为整数集,则集合 Z I N 中的元素 i i
C.1个 D.0 个

个数是 A.3 个

B.2个

S 2.设等比数列 {an } 的公比 q = 2 , 前 n 项和为 Sn ,则 5 = a2 15 31 D. A.2 B.4 C. 2 2
3.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1
正视图 侧视图

的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的 全面积为 A. (第 3 题) B. 2π C. 3π D. 4π

3 π 2

4.如果对于任 意实数 x , [ x ] 表示不超过 x 的最大整数. 例如

[3.27] = 3 , [0.6] = 0 . 那么“ [ x ] = [ y ] ”是“ x ? y < 2 ”的

A.充分而不必要条件 C.充分必 要条件
° °

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知函数 f ( x ) = x sin126 sin( x ? 36 ) + x cos 54° cos( x ? 36° ) ,则 f ( x ) 是 A.单调递增函数 B.单调递减函数 C.奇函数 D.偶函数

r r r r r r x + y1 6.设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,若 | a |= 2 , | b |= 3 , a ? b = ?6 ,则 1 = x2 + y2 2 3 2 3 B. C. ? D. ? A. 3 2 3 2 2 2 x y 7.若双曲线 ? = 1 的右焦点与抛物线 y 2 = 12 x 的 m 3
焦点重合,则该双曲线的离心率是 A. 5 B.

6 2

C. 2

D.

2 3 3

8.在右图的算法中,如果输入 A=138,B=22,则输出 的结果是 A.138 B.4 C.2 D.0 (第 8 题)

9.函数 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,函数 f ( x ? 2010) 的图象关于点 (2010, 0) 对称.若实数 x, y 满足不等式

f ( x 2 ? 6 x) + f ( y 2 ? 8 y + 24) < 0 ,则 x 2 + y 2 的取值范围是
A. (4, 6) B. (16,36) C. (0,16) D. (16, 25) 10.已知等边 ?ABC 的顶点 A 在平面 α 上, B, C 在 α 的同侧, D 为 BC 中点, ?ABC 在 α 上的射影是以 A 为直角顶点的直角三角形,则直线 AD 与平面 α 所成角的正弦值的取 值范围是 k*s5*u A. [ ,

1 3 ) 2 2

B. ( ,

1 6 ] 2 3

C. [

6 ,1) 3

D. [

6 3 ) , 3 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. ) 11. 某公司为改善职工的出行条件,随机抽取 50 名职工,调查 他们的居住地与公司的距离 d (单位:千米).若样 本数据 分组为 (0, 2] , (2,4] , (4,6] , (6,8] , (8,10] , (10,12] , 由数据绘制的频率分布直方图如图所示,则样本中职工居 住地与公司的距离不超过 4 千米的人数为
2 2

频率/组距 组距

0.14 0.12 0.1 0.05 0.04



人.

O

2

4

6

8

10 12 d

12. 已知椭圆

x y + = 1 的上下两个焦点分别为 F1、F2 ,点 P 4 9
2

第 11 题

为该椭圆上一点, PF1 , PF2 为方程 x + 2mx + 5 = 0 的两根, m = 若 则 13.在二项式 ( x + ) 的展开式中任取 1 项,则该项为有理项的概率是
3 2 10





1 x





? x ≥ 1, ? 的目标函数 z = log 2 y ? log 2 x 的最大值为 2, 14.若满足约束条件 ? y ≥ 1, ? ?x + y ≤ a
则 a 的值为 ▲ .

15.某品牌汽车的 4S 店,对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表 所示: 付款方式 频 数 分1期 40 分2期 20 分3期 20 分4期 10 分5期 10

4S 店销售一辆该品牌的汽车,顾客分 1 期付款,其利润为 1 万元;分 2 期或 3 期付款, 其利润为 1.5 万元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 2 万元.该 4S 店进行年末促销活动: 每辆汽车按让利 10% 销售,并送 1000 元油卡. 若以频率作为概率,设促销活动期间, 经销一辆汽车的利润为 X ,则 X 的数学期望 EX = ▲ 万元. 16.由数字 1,2,3,4,5,6 组成可重复数字的三位数中,各位数字中不同的偶数恰有两个 (如:124,224,464,……)的三位数有
3 2 2



个(用数字作答) .

17. 函数 f ( x ) = ax + bx ? a x ( a > 0) 的两个极值点为 x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ) , 且 | x1 | + | x2 |= 2 2 ,则 b 的最大值是 ▲ .

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 18. (本小题满分 14 分)k*s5*u 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 c = 2 , C =

π
.

(I)设向量 m = ( a, b) , n = (b ? 2, a ? 2) ,若 m ⊥ n ,求 ?ABC 的面积;w (Ⅱ)若

ur

r

ur

r

3

sin A > 3 ,求角 B 的取值范围. cos B

19. (本小题满分 14 分) 在数列 {a n } 中, a1 = ?14 , 3a n ? a n ?1 = 4n( n ≥ 2, n ∈ N ) .
*

(I)求证:数列 {a n ? 2n + 1} 是等比数列; (II)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,求 S n 的最小值.

20. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是等边 三 角 形 , 点 M 位 于 线 段 PC 上 , PA ∥ 平 面 MBD , 已 知 AD = 4 , BD = 4 3 ,

AB = 2CD = 8 .
(Ⅰ)求

P

PM 的值; MC (Ⅱ)证明:在 ?ABD 内存在一点 N ,使 MN ⊥ 平面 PBD , 并求点 N 到 DA , DB 的距离.k*s5*u
A

M D C

B (第 20 题)

21. (本小题满分 15 分) 如图,四边形 OABC 为矩形,点 A、C 的坐标分别为 (a + 1, 0)( a > 1) 、 (0,1) ,点 D 在

OA 上,坐标为 (a, 0) ,椭圆 C 分别以 OD 、 OC 为长、短半轴, CD 是椭圆在矩形内
部的椭圆弧.已知直线 l : y = ? x + m 与椭圆弧相切,且与 AD 相交于点 E . (Ⅰ)当 m = 2 时,求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)圆 M 在矩形内部,且与 l 和线段 EA 都相切,若直线 l 将矩形 OABC 分成面积相 等的两部分,求圆 M 面积的最大值.

(第 21 题)

22. (本小题满分 15 分) (Ⅰ)当 a = 2 时,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; 已知函数 f ( x ) = 2 ( a ? 1) ln ( x ? 1) + x ? ( 4a ? 2 ) ln x ,其中实数 a 为常数.

(Ⅱ)设函数 y = f e x 有极大值点和极小值点分别为 x1 、 x2 ,且 x2 ? x1 > ln 2 , 求 a 的取值范围.

( )

… … … … … … …

学年 台州市第一学期 高三年级期末质量评估试题

2010 学年

数学答题卷 理科) 数学答题卷(理科)
三 题号 一 二 18 得分 19 20 21

2011.01

… …

总分 22

班级———————————— 姓名—————————————— 准考证号———————————————

… … … … … 装 … …

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

… …

答案
… … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … …

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 15. 12. 16. 13. 17. 14.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.

学校——————————————

请在各题目的答题区域内作答,超出边框限定区域的答案无效
市高三 学 答题 1 4

19.

20.

P

M D A C

B

请在各题目的答题区域内作答,超出边框限定区域的答案无效
市高三数学(理)答题卷—2(共 4 页)

21.

请在各题目的答题区域内作答,超出边框限定区域的答案无效
市高三数学(理)答题卷—3(共 4 页)

22.
… … … … … … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … …

请在各题目的答题区域内作答,超出边框限定区域的答案无效
市高三数学(理)答题卷—4(共 4 页)

学年 台州市第一学期 高三年级期末质量评估试题

2010 学年

数学(理科) 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 A 5 D 6 C 7 B 8 C 9 B 10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.24, 12.-3, 13.

4 , 11

14.5,

15.1.16,

16.72,

17.4 6 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 解: (1)由题意可知 m ? n = 0 ,∴ a (b ? 2) + b( a ? 2) = 0 , ∴ a + b = ab .------3 分 由余弦定理可知, 4 = a 2 + b 2 ? ab = ( a + b) 2 ? 3ab ,
k*s5*u

uv v

即(ab) 2 ? 3ab ? 4 = 0 ,∴ ab = 4(舍去ab = ?1) , 1 1 π S = ab sin C = × 4 × sin = 3 . ----------------------------------------7 分 2 2 3
? B ? sin cos B ? cos sin B sin ? 2π 3 1 ?= 3 3 (2)∵ A + B = ,∴ sin A = ? 3 = + tan B > 3 3 cos B cos B cos B 2 2 ? 2π ? 2π 2π

即 tan B > 3 ,∵ 0 < B <

2π π π ,∴ < B < 3 3 2
*

--------------------14 分

19. 解: (I)Q 3a n ? a n ?1 = 4n( n ≥ 2, n ∈ N ) ,∴ a n =

1 (a n?1 + 4n ) , 3

∴ a n +1 ? 2(n + 1) + 1 =

1 [a n + 4(n + 1)] ? 2(n + 1) + 1 = 1 a n ? 2n + 1 = 1 (a n ? 2n + 1) , 3 3 3 3 3
--------------------4 分

1 为公比的等比数列. --------------------6 分 3 1 n ?1 1 n ?1 (II)Q a n ? 2n + 1 = ?15 ? ( ) ,∴ a n = ?15 ? ( ) + 2n ? 1 , 3 3 1 n? 2 当 n ≥ 2 时, a n ? a n ?1 = 2 + 10 ? ( ) > 0, 3 ∴{a n ? 2n + 1} 是以-15 为首项,
∴数列 {a n } 是单调递增数列,
k*s5*u

--------------------10 分 -------------------12 分 -----14 分

Q a 2 < 0, a 3 > 0 ,

∴当且仅当 n = 2 时, S n 的最小值是 S 2 = a1 + a 2 = ?14 + (? 2 ) = ?16 . 20. 解: (1)连接 AC 交 BD 于 K ,连接 MK ,则

AK AB = = 2, KC DC

由 PA∥ 平面 MBD ,平面 PAC ∩ 平面 MBD = MK , 得 PA ∥ MK ,∴

PM AK = = 2. MC KC

---------------6 分

Z

(2) AD = 4 , BD = 4 3 , AB = 8 ,∴ DA ⊥ DB , 如图,以点 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则由题意得, D ( 0, 0, 0 ) , B 0, 4 3, 0

(

)

, P 2, 0, 2 3 ,

(

)

? 2 4 3 2 3? M ?? , ? 3 3 , 3 ? ,设点 N 的坐标为 ( x0 , y0 , 0 ) , ? ? ?
则 NM = ( x0 +

X

Y

2 4 3 2 3 , y0 ? ,? ), 3 3 3 uuuu uuu r r uuuu uuu r r 4 4 3 因为 MN ⊥ 平面 PBD ,则 NM ? DB = 0 , NM ? DP = 0 ,∴ x0 = , y0 = , 3 3 ?4 4 3 ? ------------------------------------------12 分 即点 N 的坐标为 N ? , ? 3 3 ,0? , ? ? ? ? x > 0, ? 在平面直角坐标系 xoy 中, ?ABD 的内部区域满足不等式组 ? y < 0, ? ? 3 x ? y < 4 3.
经检验,点 N 的坐标满足上述不等式组,

uuuu r

所以在 ?ABO 内存在一点 N ,使 MN ⊥ 平面 PBD , 由点 N 的坐标得点 N 到 DA , DB 的距离为
2

4 3 4 , . ------------------------14 分 3 3
w.w.w

.5.u.c.o.m

21.解: (1)解:设椭圆的方程为 x 2 + y 2 = 1 . k*s5*u a 2 ? x + y 2 = 1, ? 消去 y 得 (1 + a 2 ) x 2 ? 2a 2 mx + a 2 (m 2 ? 1) = 0 . …………………3 分 由 ? a2 ? y = ? x + m, ? 由于直线 l 与椭圆相切,∴? = 2a 2 m 化简得 m ? a = 1 ,
2 2

(

)

2

? 4(1 + a 2 )a 2 (m 2 ? 1) = 0 ,



当 m = 2 时, a = 3 ,
2

则椭圆 C 的标准方程为 分

x2 + y2 = 1. 3
市高三数学(理)参答—2(共 4 页)

………………………6

(2)由题意知 A ( a + 1, 0 ) , B ( a + 1,1) , C ( 0,1) , 于是 OB 的中点为 a + 1 , 1 . 2 2

(

)

因为 l 将矩形 OABC 分成面积相等的两部分,所以 l 过点 a + 1 , 1 , 2 2 即

(

)

1 ? ( a + 1) = + m ,亦即 2m ? a = 2 . 2 2



由①②解得 a =

∴ E 5, 0 , A 7, 0 . 3 3 因为圆 M 与线段 EA 相切,所以可设其方程为 ( x ? x0 ) 2 + ( y ? r ) 2 = r 2 (r > 0) .
? 0 < r≤ 1 , ? 2 ? ? 5, 因为圆 M 在矩形及其内部,所以 ? x0 > 3 ? ? x + r≤ 7 . ? 0 3 ? 圆 M 与 l 相切,且圆 M 在 l 上方,所以

( ) ( )

4 5 , m = ,故直线 l 的方程为 y = ? x + 5 . 3 3 3

………………9 分



3( x0 + r ) ? 5 = r ,即 3( x0 + r ) = 5 + 3 2r . 3 2

? 0 < r≤ 1 , ? 2 ? ? 5 + 3( 2 ? 1)r 5 代入④得 ? > , 3 3 ? ? 5 + 3 2r 7 ≤ , ? 3 3 ?

即 0 < r≤ 2 . 3

2π 所以圆 M 面积最大时, r = 2 ,这时,圆 M 面积的最大值为 .………15 分 3 9
(1)解:当 a = 2 时, f ( x ) = 2 ln ( x ? 1) + x ? 6 ln x , 22. 解:

∴ f ' ( x) =

2 6 ( x ? 2 )( x ? 3) +1? = , x ?1 x x ( x ? 1)

又Q x > 0, x ? 1 > 0 ,

∴ 当 2 < x < 3 时, f ' ( x ) < 0 , ∴ 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( 2,3) .
(2)Q y = f e

--------------------------------------6 分

( ) = 2 ( a ? 1) ln ( e ? 1) + e ? ( 4a ? 2 )4ln e , 市高三数学(理)参答—3(共 页)
x x x x

∴y =
'

2 ( a ? 1) e x ex ?1
'

+ e ? ( 4a ? 2 )
x

(e =

x

? 2 ) ?e x ? ( 2a ? 1) ? ? ? ex ?1


由题意知, y = 0 有两解.

又 e ? 1 > 0 ,∴ 2a ? 1 > 1 ,∴ a > 1 , ------------------------------------------9 分
x

当 2a ? 1 > 2 时, y = f e

( ) 在 ( 0, ln 2 ) , ( ln ( 2a ? 1) , +∞ ) 上单调递增,
x

在 ln 2, ln ( 2a ? 1) 单调递减,

(

)

∴ x1 = ln 2 , x2 = ln ( 2a ? 1) , Q x2 ? x1 > ln 2 ,∴ a >

5 , 2

------------------------------------------12 分

当 1 < 2a ? 1 < 2 时, y = f e x 在 0, ln ( 2a ? 1) , ( ln 2, +∞ ) 上单调递增, 在 ln ( 2a ? 1) , ln 2 单调递减,

( ) (
(

)

)

∴ x1 = ln ( 2a ? 1) , x2 = ln 2 ,
Q x2 ? x1 > ln 2 ,∴ a < 1 ,舍去,
当 2a ? 1 = 2 时,无极值点,舍去,

∴a >

5 . 2

------------------------------------------15 分

市高三数学(理)参答—4(共 4 页)


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