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和角、差角、倍角公式及应用

时间:2017-10-06


两角和与两角差的三角函数
【考点指津】 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式, 能运用化归思想(将不同角化成同角等)解题.

知识点总结:
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? c

os? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ); 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ). 1 ? tan ? tan ?

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
1 ? cos 2? ). 2



cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 2



sin 2 ? ?

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
? . ?

3、 ? sin ? ? ? cos ? ?

【典型例题】 例 1 已知 sinα -sinβ =- 1 3 1 ,cosα -cosβ = ,求 cos(α -β )的值 . 2

分析 由于 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 的右边是关于 sinα 、cosα 、sinβ 、cos β 的二次式,而已知条件是关于 sinα 、sinβ 、cosα 、cosβ 的一次式,所以将已知式两边 平方. 1 1 解 ∵sinα -sinβ =- , ① cosα -cosβ = , ② 3 2 ①2 +②2 ,得 2-2cos(α -β )= 13 . 36

∴cos(α -β )=

59 72

点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异,设法消除差异. 2cos10°-sin20° 例2 求 的值 . cos20° 分析 式中含有两个角,故需先化简.注意到 10°=30°-20°,由于 30°的三角函 数值已知,则可将两个角化成一个角. 解 ∵10°=30°-20°, 2cos(30°-20°)-sin20° ∴原式= cos20° = 2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° = cos20° 3 cos30° = 3 . cos20°

点评 化异角为同角,是三角变换中常用的方法. 例 3 已知:sin(2α +β )=-2sinβ .求证:tanα =3tan(α +β ). 分析 已知式中含有角 2α +β 和β ,而欲求式中含有角α 和α +β ,所以要设法将已知 式中的角转化成欲求式中的角. 解 ∵2α +β =(α +β )+α ,β =(α +β )-α , ∴sin[(α +β )+α ]=-2sin[(α +β )-α ]. ∴sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα =-2sin(α +β )cosα +2cos(α +β )sinα . 若 cos(α +β )≠0 ,cosα ≠0,则 3tan(α +β )=tanα . 点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系,善于运用整体思想解题,此题中将α +β 看成一个整体 例 4 求下列各式的值 (1)tan10°+tan50°+ 3 tan10°tan50°; ( 3 tan12°-3)csc12° (2) . 4cos 212°-2 (1)解 原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+ 3 tan10°tan50°= 3 . (2)分析 式中含有多个函数名称,故需减少函数名称的个数,进行切割化弦. sin12° 3 3 1 ( 3 · -3) ? cos12° sin12° cos12? sin 12? 原式= = 2 cos24° 2 cos 24?



3 sin 12? ? 3 cos12? = ? 2 sin 12? cos12? cos 24?

1 3 2 3 ( sin 12? ? cos12?) 2 2 1 sin 48? 2

=

4 3 sin(12? ? 60?) ? ?4 3. sin 48?

点评 (1)要注意公式的变形运用和逆向运用,注意公式 tanA+tanB=tan(A+B)(1- tanAtanB),asinx+bsinx= a 2 ? b 2 sin(x+φ )的运用;(2)在三角变换中,切割化弦是常 用的变换方法.

【知能集成】 审题中,要善于观察已知式和欲求式的差异,注意角之间的关系;整体思想是三角变换 中常用的思想. 在三角变换中,要注意三角公式的逆用和变形运用,特别要注意如下公式: tanA+tanB=tan(A+B)[1-tanAtanB]; 【课堂演练】 1.cos105°的值为 ( ) A. 6 + 2 4 B. 6 - 2 4 C. 2 - 6 4 D. - 6 - 2 4 )

2.对于任何α 、β ∈(0,

π ) ,sin(α +β )与 sinα +sinβ 的大小关系是 ( 2 B.sin(α +β )<sinα +sinβ D.要以α 、β 的具体值而定 ( )

A.sin(α +β )>sinα +sinβ C.sin(α +β )=sinα +sinβ

3π 3.已知π <θ < ,sin2θ =a,则 sinθ +cosθ 等于 2 A. a+1 B.- a+1 C. . . . a2+1 1 4.已知 tanx= ,则 cos2x= 2 5.cos200°cos80°+cos110°cos10°= 1 6. (cos15°+ 3 sin15°)= 2

D.± a2+1

7.化简 1+2cos2θ -cos2θ = . 8.cos(20°+x)cos(25°-x)-cos(70°-x)sin(25°-x)= 1 1 9. - = 1-tanθ 1+tanθ 【训练反馈】



π 3 4 1.已知 0<α < <β <π ,sinα = ,cos(α +β )=- ,则 sinβ 等于 2 5 5 A.0 2. 24 B.0 或 25 C. ( 24 25 ) D. 2- 3 2 2 2





24 D.0 或- 25

sin7°+cos15°sin8° 的值等于 cos7°-sin15°sin8° A.2+ 3 B. 2+ 3 2 ( 6 2

C.2- 3 ) C. - 2 2

3.cos75°+cos15°的值等于 A. 6 2 B -

D. .

4.若α 是锐角,且 sin(α - π 2π 3π 5.cos cos cos = 7 7 7 6.化简 1+sin2θ -cos2θ = 1+sin2θ +cos2θ

π 1 )= ,则 cosα 的值是 6 3 . .

7 已知 sin(α +β )=1,求证:sin(2α +β )+sin(2α +3β )=0.

1 1 8.已知 tanθ = ,tanφ = ,且θ 、φ 都是锐角.求证:θ +φ =45°. 2 3

π 3π 4 4 9.已知 cos(α -β )=- ,cos(α +β )= ,且(α -β )∈( ,π ) ,α +β ∈( ,2 5 5 2 2 π) ,求 cos2α 、cos2β 的值.

tanα 1 1 10. 已知 sin(α +β )= ,且 sin(π +α -β )= ,求 . 2 3 tanβ

11.已知锐角α 、β 、γ 满足 sinα +sinγ =sinβ ,cosα -cosγ =cosβ ,求α -β 的值.


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