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2013全国高校自主招生数学模拟题

时间:2013-03-29


全国高校自主招生数学模拟题一
姓名:_____________班级:______________得分:____________ 一、填空题(本题满分 60 分,每小题 6 分) 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? ?1 ,且 an?2 ? an?1 ? an , n ? 1, 2,? .则

a2013 =

>.

2. 设 a,b,c 是正整数,且成等比数列, b ? a 是一个完全平方数,

log6 a ? log6 b ? log6 c ? 6 ,则 a ? b ? c ?



3.一列数 a1 , a2 , a3 ,?满足对于任意正整数 n,都有 a1 ? a2 ? ?? an ? n3 ,则
1 1 1 ? ??? ? a2 ? 1 a3 ? 1 a100 ? 1


1 ,则 2

4 . 设 a ? ?1 , 变 量 x 满 足 x 2 ? a x ? ? x, 且 x 2 ? a x的 最 小 值 为 ?

a ? _______.
5.正整数 n ? 500 ,具有如下性质:从集合 ?1,2,?,500? 中任取一个元素 m, 则 m 整除 n 的概率是
1 ,则 n 的最大值是 100

. .

6.集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为

7.一个直径 AB ? 2 的半圆,过 A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一 点 S , A ?A ,C 为半圆上一个动点,N , M 分别为 A 在 SC , SB 上的射影.当 使 S B 三棱锥 S ? AMN 的体积最大时, ?BAC ? _________. 8.直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y 2 ? 8x 于 A, B 两点,若 AB 中点的横坐标为 2 , 则 AB ?
9、计算: sin

.

?
2013

sin

2? 3? 2012? sin ? sin ? _______________ 2013 2013 2013
2 n ?1

10、设 2n 个实数 a1 , a2 ,?, a2 n 满足条件

? (a
i ?1

i ?1

? ai )2 ? 1

则 ? ? (an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ) ? (a1 ? a2 ? ?? an ) 的最大值为________________

二、解答题(共 90 分)
11.(本小题满分 15 分)设 x, y, z ??1, ?? ,证明不等式 ?

( x2 ? 2x ? 2)( y 2 ? 2 y ? 2)( z 2 ? 2z ? 2) ? ( xyz)2 ? 2xyz ? 2 .
12.(本小题满分 15 分)已知双曲线 C :
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的离 a 2 b2

心率为 2,过点 P(0 , ) ( m ? 0 )斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点, m

??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 且 AP ? 3PB , OA ? OB ? 3 .
(1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴 上是否存在定点 M 使得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由. 13. ( 本 小 题 满 分 20 分 ) 设 x1, x2 ,?, xn ,? 是 不 同 的 正 实 数 . 证 明 :

x1, x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数 n (? 2) ,都有
2 x2 ? x2 x1 n?1 xn ? n 12 . ? 2 x2 k ?1 xk xk ?1 x2 ? x1

14. (本题满分 20 分)对正整数 n,记 f (n) 为数 3n2 ? n ? 1 的十进制表示的 数码和. (1) 求 f (n) 的最小值; (2) 是否存在一个正整数 n,使得 f (n) =100? 15. (本题满分 20 分)在直角三角形 ABC 中, ?B ? 90? ,它的内切圆分别与边 BC,CA, A AB 相切与点 D,E,F,连接 AD,与内切圆相 交于另一点 P, 连接 PC, PF. PE, 已知 PC ? PF , 求证: PE ∥ BC .

P

E

F B C

D

参考答案一
1. 1. 因为 a1 ? 2 ,a2 ? ?1 ,a3 ? 3 ,a4 ? 4 ,a5 ? 1 ,a6 ? 3 ,a7 ? 2 ,a8 ? 1 ,a9 ? 1 ,

a10 ? 0 , a11 ? 1 , a12 ? 1 , a13 ? 0 ,….所以,自第 8 项起,每三个相邻的项周
期地取值 1,1,0,故 a2013 =1. 2. 111. 由题意, b2 ? ac , log6 abc ? 6 ,所以, abc ? 66 ,故 b ? 62 ? 36 , ac ? 362 . 于是,36-a 是平方数,所以,a 只可能为 11,20,27,32,35,而 a 是 36 2 的约数,故 a ? 27 .进而, c ? 48 .所以, a ? b ? c ? 111.
33 . 100 当 n ? 2 时,有

3.

a1 ? a2 ? ?? an ? n3 , a1 ? a2 ? ?? an?1 ? (n ?1)3 ,
两式相减,得 所以
2 , an ? 3 n ? 3 n ? 1

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , n ? 2 ,? , 3 an ? 1 3n (n? 1 ) 3 n? 1 n 1 1 1 ? ?? ? a2 ? 1 a3 ? 1 a1 0 0 1 ?
1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 3 2 3 2 3 3 99 100 1 1 33 ? (1 ? )? . 3 100 100



3 4. ? . 2

a a2 由 a ? ?1 及 x 2 ? ax ? ? x 得:0 ? x ? ?(a ? 1) ,设 f ( x) ? x 2 ? ax ? ( x ? ) 2 ? . 2 4
a , 即 ?2 ? a ? ?1 , 则 f ( x) 在 x ? ?(a ? 1) 处 取 最 小 值 2 1 3 f (? a ? 1 ) ? a ? 1 ,因此 a ? 1 ? ? , a ? ? . 2 2

若 ?(a ? 1) ? ?

若 ?(a ? 1) ? ?

a a a2 , 即 a ? ?2 , 则 f ( x ) 在 x ? ? 处 取 最 小 值 ? ,因此 2 2 4

?

a2 1 ? ? , a ? ? 2 (舍去) . 4 2

5. 81.
? ? 由题设知,n 恰有 5 个约数.设 n 的质因数分解是 n ? p1 1 ? pk k ,则 n 的约数

个数为 (?1 ? 1)? ( k ? 1),所以 (?1 ? 1)? ( k ? 1)=5,故 n 具有 p 4 的形式,而 ? ?

34 ? 81, 54 ? 625 ? 500 ,故 n 的最大值为 81.
6. 22010. 令 f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011),问题中要求的答案为 f(x)的展开式中,x 的奇次项的系数和.故所求的答案为
3 . 3
1 (f(1)-f(-1))=22010. 2

7. arccos

易知 BC ? 面SAC ,所以 BC ? AN ,从而 AN ? 面SBC ,所以 AN ? SM ,因
1 此 SM ? 面AMN . VS ? AMN ? ? SM ? S ?ANM ,由 SA ? AB ? 2 得: AM ? SM ? 2 , 3

而 AN ? NM ,?AMN 为斜边长为 2 的直角三角形, 面积最大在 AN ? MN ? 1 时 取到,此时, ?BAC ? arccos 8. 2 15 . 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由 y ?
y1 ? y 2?

3 . 3

ky 2 2 ? 2 , 即 k y ? 8 y?1 6 ? , 所 以 , 0 8

8 16 8 , y y1 ?2 ? , 因此 ? y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 4k ? 4 , k 2 ? k ? 2 ? 0 , 即 k k k

? y ? y2 ? 因直线 y ? kx ? 2 过 ? 0, ?2? 和 ? 2, 1 ? ,则 k ? 0 ,于是 k ? 2 ,再由 y ? 2 x ? 2 , 2 ? ?

y 2 ? 8x ,解得 A 2 ? 3, 2 ? 2 3 , B 2 ? 3, 2 ? 2 3 ,所以 AB ? 2 15 .
9、解:设 z1 ? cos

?

? ?

?

2? 2? n ? i sin , 则 z1 是方程 z ? 1 的根, n n

2 n 则 1 ? z ? z 2 ? z n?1 ? ( z ? z1 )( z ? z1 )?( z ? z1 ?1 ) ,

? n ?| (1 ? z1 )(1 ? z12 ) ? (1 ? z1n ?1 ) |? 2 n ?1 sin
式=

?

n

sin

2? (n ? 1)? ?sin ,令 n ? 2013 ,则原 n n

2013 2 2012

10、解: 当 n ≥2 时,令 x1 ? a1 , xi ?1 ? ai ?1 ? ai
2 n ?1

i ? 1, 2,3,?, 2n ?1

则 所

?x
i ?2

2 i

? 1 , ai ? x1 ? x2 ? ? ? xi
以 :
n

? ? n( 1 ?

? ?? n ? ? ? ? x ?) ? ? ? ?? 2 ? ? x2 ? 2x3 ? ? ? (n ?1) xn ? nxn?1 ? (n ?1) xn?2 ? ?? x2n
≤ (12 ? 22 ? ? ? n2 ? ? ? 12 )
2 n ?1 i ?2

? ??

x

? xi2 ?

n(2n2 ? 1) . 3

11.注意到 x ? 1, y ? 1,所以

( x2 ? 2x ? 2)( y 2 ? 2 y ? 2) ? (( xy)2 ? 2xy ? 2) ? (?2 y ? 2) x2 ? (6 y ? 2 y 2 ? 4) x ? (2 y 2 ? 4 y ? 2)
2 ? ? (y ?1 )x( ? y( ? 2 ) ? 1y 2 x ?

)

? ?2( y ? 1)( x ? 1)( x ? y ? 1) ? 0 ,

所以

( x2 ? 2x ? 2 ) y ? 2 ? 2? x (2 ? x2. (2 y ) y ) y?

2

同理,因为 xy ? 1, z ? 1 ,所以
(( xy)2 ? 2 xy ? 2)( z 2 ? 2 z ? 2) ? ( xyz)2 ? 2 xyz ? 2 .

12.(1)由双曲线离心率为 2 知, c ? 2a , b ? 3a ,双曲线方程化为
x2 y 2 ? ? 1. a 2 3a 2

? x2 y 2 ? ?1 ? 又直线 l 方程为 y ? x ? m .由 ? a 2 3a 2 ,得 ? y ? x?m ?
2 x 2 ? 2mx ? m2 ? 3a 2 ? 0 .


?m2 ? 3a 2 . 2

设 A( x1 ,1 ) , B( x2 ,2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? y y

??? ? ??? ? 因为 AP ? 3PB ,所以 (? x1 , ? y1 ) ? 3( x2 ,2 ? m) , x1 ? ?3x2 . m y
结 合 x1 ? x2 ? m , 解 得 x1 ?
3 1 ?m2 ? 3a 2 m , x2 ? ? m . 代 入 x1 x2 ? ,得 2 2 2

3 ?m2 ? 3a 2 ? m2 ? ,化简得 m2 ? 6a 2 .又 4 2 ??? ??? ? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m)
? 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ? m 2 ? 3a 2 ? 3a 2,

??? ??? ? ? 且 OA ? OB ? 3 .
所以 a 2 ? 1 .此时, m ? 6 ,代入①,整理得 2x2 ? 2 6 x ? 9 ? 0 ,显然该方 程有两个不同的实根. a 2 ? 1 符合要求. 故双曲线 C 的方程为 x 2 ?
y2 ? 1. 3

0) 0) (2)假设点 M 存在,设 M (t , .由(1)知,双曲线右焦点为 F (2 , .设

Q( x0 ,0 ) ( x0 ? 1 )为双曲线 C 右支上一点. y
当 x0 ? 2 时, tan ?QFM ? ?k Q F ? ?
2?

y0 y , tan ?QMF ? k Q M ? 0 ,因为 x0 ? 2 x0 ? t

y0 y x0 ? t ?QFM ? 2?QMF ,所以 ? 0 ? . x0 ? 2 1 ? ( y0 ) 2 x0 ? t
2 2 2 2 将 y0 ? 3x0 ? 3 代入,并整理得, ?2x0 ? (4 ? 2t ) x0 ? 4t ? ?2x0 ? 2tx0 ? t 2 ? 3 .

? 4 ? 2t ? ?2t 于是 ? ,解得 t ? ?1 . 2 ? ? 4t ? t ? 3
当 x0 ? 2 时 , ?QFM ? 900 , 而 t ? ?1 时 , ?QMF ? 450 , 符 合
?Q F M? ? Q . F 2 M 0) 所以 t ? ?1 符合要求.满足条件的点 M 存在,其坐标为 (?1 , .

13.必要性:若 x1, x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列,设 xk ? ar k ?1 ,则
2 x1 n?1 xn r 2( n?1) ? ? x2 k ?1 xk xk ?1 r

?r
k ?1

n ?1

1
2 k ?1

? 1? r2 ??? r
2 xn ? x12 . 2 x2 ? x12

2 n( ?

2 )

?

( ) r 2 n? 1? 1 r 2 ?1



充分性:当 n=2 时,两边都等于 1.当 n=3 时,有
2 x2 ? x2 ? x2 x1 ? x3 ? 3 ? ? 3 12 , ? 2 x2 ? x1 x2 x2 x3 ? x2 ? x1
2 化简得 x1 x3 ? x2 ,所以, x1 , x2 , x3 成等比数列.

假 设 x1 , x2 ,? , x ? 1成 等 比 数 列 ( n ? 4 ) 记 xk ? ar k ?1 , k ? 1, 2,?, n ? 1 , , n

xn ? aun ,则
2 un ? 1 1 1 1 ? u2 ?1 , ? 3 ? ? ? 2 n ?5 ? n ? 2 ? ? n ? r ?r r r r un ? r 2 ? 1
2 2 ?un (1 ? r 2 ? r 4 ? ? ? r 2 n ?6 ) ? r n ?3un ? (r 2 ? 1) ? (un ? 1)r 2 n ? 4 , ? ?

2 un ? (r n?1 ? r n?3 )un ? r 2n?4 ? 0 ,

?u

n

? r n ?1 ?? un ? r n ?3 ? ? 0 ,

因为 un ? 0 ,所以 un ? r n?1 ,即 xn ? ar n?1 ,从而 x1 , x2 ,?, xn 成等比数列.由数学归 纳法知, x1, x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列.

14. (1)由于 3n2 ? n ? 1 是大于 3 的奇数,故 f (n) ? 1 . 若 f (n) ? 2 ,则 3n2 ? n ? 1 只能为首位和末位为 1,其余数码为 0 的一个数, 即 3n2 ? n ? 1 = 10k ? 1 , 是大于 1 的整数. k 于是 n(3n ? 1) ? 2k ? 5k , 由于 ? n, 3n ?1? ? 1 ,
?n ? 2k , ? 所以 ? 于是 3n ? 1 ? 4n ? 4 ? 2k ? 5k ,矛盾!故 f (n) ? 2 . k ?3n ? 1 ? 5 , ?

又当 n=8 时, 3n2 ? n ? 1 =201,所以 f (8) ? 3 . 综上所述, f (n) 的最小值为 3. (2)事实上,令 n ? 10k ? 1 ,则
3n2 ? n ? 1 ? 3 ?102k ? 5 ?10k ? 3 ? 299?? ??? , ??99500?003 ? ? ? ?
k ?1 k ?1

他的数码和为 2 ? 9(k ? 1) ? 5 ? 3 ? 9k ? 1 . 由于 100=9×11+1,所以,取 n ? 1011 ? 1 ,则 f (n) =100.

15. 连接 DE, DF, 则△BDF 是等腰直角三角形. 于是 ?FPD ? ?FDB ? 45? , 故 ?DPC ? 45? .又 ?PDC ? ?PFD ,所以△PFD ∽ △PDC,所以 PF PD ? . ① FD DC
? 又由 ?AFP ? ?ADF , AEP ? ?ADE , 所以, △AFP ∽ △ADF, △AEP ∽

△ADE,于是

EP AP AP FP ? ? ? ,故由①得 DE AE AF DF EP PD ? . DE DC



因为 ?EPD ? ?EDC ,结合②得,△EPD ∽ △EDC,所以,△EPD 也是 等腰三角形,于是 ?PED ? ?EPD ? ?EDC ,所以, PE ∥ BC .
A P F B C E

D

全国高校自主招生数学模拟题二
姓名:_____________班级:______________得分:____________
一、填空题(本题满分 60 分,每小题 6 分)

? 1. 已知 a ? ?2 , A ? x ? 2 x? a 且
若 C ? B ,则 a 的取值范围是

?

? ,B ? ? y y ? 2 x ? 3, x ? A? ,C ? ?t t ? x , x ? A? ,
2



??? ? ???? ??? ? 2. 在 ?ABC 中 , 若 AB ? 2 , AC ? 3 , BC ? 4 , O 为 ?ABC 的 内 心 , 且

??? ? ??? ? ??? ? AO ? ? AB ? ? BC ,则 ? ? ? ?

.

?2? x ? 1, ? x ? 0 ? , ? 3. 已知函数 f ? x ? ? ? 若关于 x 的方程 f ? x ? ? x ? a 有且只有两个不相等 ? f ? x ? 1? , ? x ? 0 ? , ?
的实数根,则实数 a 的取值范围是 。

4. 计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键,会等可能的将 其替换为 0~n?1 中的任意一个数。如果初始时显示 2011,反复按这个按键使得最终显示 0, 那么这个过程中,9、99、999 都出现的概率是 5. 已知椭圆 。

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过椭圆的右焦点作一条直线 l 交椭圆 4 3


于点 P、Q,则△F1PQ 内切圆面积的最大值是

6. 设 ?an ? 为一个整数数列, 并且满足: n ? 1? an?1 ? ? n ? 1? an ? 2 ? n ? 1? , ?

n ? N? . 若 2008 a2007 , 则 满 足 2008 an 且 n ? 2 的 最 小 正 整 数 n
是 .

7. 如图,有一个半径为 20 的实心球,以某条直径为中心轴挖去一个半 径为 12 的圆形的洞,再将余下部分融铸成一个新的实心球,那么新球 的半径是 。

8. 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 , 将 适 合 x ? y, x ? 3, y ? 3, 且 使 关 于 t 的 方 程

( x3 ? y 3 )t 4 ? (3x ? y )t 2 ?
所成区域的面积为

1 ? 0 没有实数根的点 ( x, y ) 所成的集合记为 N,则由点集 N x? y



9、篮球场上有 5 个人在练球,其战术是由甲开始发球(第一次传球) ,经过六次传球跑动后 (中途每人的传球机会均等)回到甲,由甲投 3 分球,其中不同的传球方式为______种. 10.对于每个大于等于 2 的整数 n ,令 f (n) 表示 sin nx ? sin x 在区间 [0, ? ] 上不同解的个

数 , g (n) 表 示 cosnx ? cos x 在 区 间 [0, ? ] 上 不 同 解 的 个 数 , 则
2013 n?2

? ( g (n) ? f (n)) =____________

二、解答题(本题满分 90 分) 11. (本小题满分 15 分)对正整数 n ? 2 ,记 an ? 值.

? n ? k ? 2k ?1 ,求数列 ?an ? 中的最大
k ?1

n?1

n

1

12.(本小题满分 15 分)已知椭圆

x2 y2 ,且焦点在 x 轴上,椭 ? ? 1 过定点 A(1,0) a2 b2

圆与曲线 y ? x 的交点为 B、C。现有以 A 为焦点,过 B,C 且开口向左的抛物线,其顶点 坐标为 M(m,0) ,当椭圆的离心率满足

2 ? e 2 ? 1 时,求实数 m 的取值范围。 3

13.(本小题满分 20 分)映射 f 的定义域是 A ? ?1, 2,?, 20? 的全体真子集,值域包含于

?1,2,?,10? ,满足条件:对任意 B, C ? A ,都有 f ? B ? C ? ? min ? f ? B? , f ?C ?? ,求这
种映射的个数.

14、 (本题满分 20 分)

B C D E 设 A、 、 、 、 为直线 l 上顺次排列的五点,

AC BC , F 在直线 l 外的一点,连结 ? CE CD

FC 并延长至点 G ,恰使 ?FAC ? ?AGD , ?FEC ? ?EGB 同时成立.

求证: ?FAC ? ?FEC 。

15、 (本题满分 20 分) 设正整数 n 大于 1,它的全部正因数为 d1,d2,…,dk,满足 1=d1<d2<…<dk = n。再设 D = d1d2+d2d3+…+dk-1dk。 (i) 证明:D<n2; (ii) 确定所有的 n,使得 D 整除 n2。

参考答案二
?? ?2 ?2 ? 2a ? 3, ? 1. B ? ? ?1,2a ? 3? ,要使 C ? B ,只需 C 中的最大元素在 B 当中,所以 ? ,得 2 ? a ? 2a ? 3 ?

1 ?1 ? ? a ? 3 。答: ? ,3? 2 ?2 ?
2. 答:

7 9

???? 3 ??? 2 ???? ? BD AB 2 ? ? ,于是 AD ? AB ? AC ,又 5 5 DC AC 3 ???? 5 ???? 1 ??? 2 ??? 1 ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? AO AB AC AB ? AC 5 ? ? ? ? , 所 以 AO ? AD ? AB ? AC ? AB ? AB ? BC OD BD CD BD ? CD 4 9 3 9 3 9 ??? 2 ???? ? 5 7 ? AB ? AC ,因此 ? ? ? ? 。 9 9 9
设 AO 交 BC 于点 D,由角平分线定理知

?

?

3. 答: ? ??,1? 利用函数图象进行分析易得结果。 4. 答:

1 106

若计算器上显示 n 的时候按下按键,因此时共有 1~n?1 共 n 种选择,所以产生给定的 数 m 的概率是

1 。如果计算器上的数在变化过程中除了 2011,999,99,9 和 0 以外,还产 n
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? ,所以所求概率为 2011 a1 a2 an 999 99 9

生了 a1, a2 ,?, an ,则概率为

p??

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? 2011 a1 a2 an 999 99 9 1 ?? 1 ?? ? 20? ? 10 1 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? 1? ?1 ? ? ? ? ? ?? ? 2 0 0 9? 1?0 0 0 9 ? ? 99 ? 998 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 1 ? 1 ? ? 1? 0 9? 8 ? ?

?

1 ? ?1 ? 2 0 1? 1

1 ? 1 ? 1 ? ? ?? ? ? 1 ?1 ? ?? ? 9? 8 ? 1 0 0? 9 9 ?
注意到

1?

1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?1 ? ??1 ? ?? ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ???1 ? 1? 2011 ? 2010 ?? 2009 ? ? 1000 ? ? 999 ? ? 998 ?
1 1 1 1 ? ? ? 6 。 1000 100 10 10

两式相除即得 p ? 5. 答:

9 ? 16

因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2 倍,且△F1PQ 的周长是定值 8, 所以只需求出△F1PQ 面积的最大值。设直线 l 方程为 x ? my ? 1 ,与椭圆方程联立得

?3m

2

? 4 y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 则 y1 ? y2 ? ?
9 3m 2 ? 4
,于是 S?F1PQ ?

?

6m , 3m 2 ? 4

y1 y2 ? ?

1 F1F2 ? y1 ? y2 ? 2 ?

? y1 ? y2 ?2 ? 4 y1 y2 ? 12
1 ?

m2 ? 1

?

3m2 ? 4

?

2



因为

m2 ? 1

?3m
?

2

?4

?

2

?

1 9m2 ? 15 ? 1 m ?1
2

9m2 ? 9 ?

1 m ?1
2

1 ,所以内切圆半径 ? 6 16

r?

2S?F1PQ 8

9 3 ,因此其面积最大值是 ? 。 4 16

6. 答:501 当 n ? 2 时,将原式变形为

an ?1 an an 2 ? ? , 令 bn ? ,则有 n ? n ? 1? ? n ? 1? n n ? n ? 1? ? n ? 1 n ?

bn ?1 ? bn ?

n ? n ? 1? 2 ?1 1? a2 ? ? n ? 1?? n ? 2 ? 。 ,叠加可得 bn ? b2 ? 2 ? ? ? ,于是 an ? 2 ? n ? 1? n ?2 n?

? 2007 ? 2006 ? 由 2008 a2007 ,得 2008 ? a2 ? 2006 ? 2005 ? ,化简得 a2 ? 6 ? mod 2008? 。 2 ? ?
由 2008 an , 得

n ? n ? 1? 2

a2 ? ? n ? 1?? n ?2 ? ? m d2 0 0 ?o 0 8

? ,将上述关于 a2 的结果代入得

? n ? 1?? n ? 1? ? 0 ? mod1004? ,于是质数 251 ? n ?1?? n ? 1? 且 n 是奇数,所以满足条件的最小
的 n 是 501。 7. 答:16 将题目所得几何体的上半部分与半径为 16 的半球作比较,将它们的底面置于同一水平 面, 并考察高度为 h 的水平面与两个几何体所截的截面面积。 与第一个几何体形成的截面是 圆环,外径是 202 ? h2 ,内径是 12,所以面积是 ? 202 ? h 2 ? 122 ? ? 162 ? h 2 ,这正是 与第二个球体形成的截面圆的面积,由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。 8. 答:

?

? ?

?

81 5
2

令 u ? t ,原方程化为 ( x ? y )u ? (3x ? y )u ?
3 3 2

1 ? 0. x? y



? ? (3x ? y)2 ? 4( x3 ? y 3 ) ?

1 x? y

? 5 x 2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? (5 x ? 3 y)( x ? y).
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,

? x ? y, ? x ? y, ? ? ? x ? 3, x ? 3, ? ? 或 ? y ? 3, ? ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0, ? y ? 3, ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0 ? ? ?3 x ? y ? 0. ?
点集 N 所成区域为图中阴影部分,其面积为

S ? S?ABO ? S?BCO 1 24 1 81 ? ? ?3 ? ? 6?3 ? . 2 5 2 5
9、解:设经过 n 次传球跑动后回到甲的不同传球方式为 an ( n ≥2) ,则 an ? an?1 ? 4n?1 , 所以 a6 ? (a6 ? a5 ) ? (a5 ? a4 ) ? ?? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 820
5 4 3 2

2k ? 1 2k ? 或x ? ?, n ?1 n ?1 n n ?1 2k ? 1 2m ?? ?, 又 x ? [0, ? ] ,则 0 ? k ? 或 0 ? k ? ;但两组取值可能重复。若 2 2 n ?1 n ?1 2k 2k * ? 或x ? ?, 讨论得:n ? 4t ? 1, t ? N 时重复一组。 同理对于 cosnx ? cos x ,x ? n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 0?k ? 或0?k ? , n ? 2t ? 1, t ? N * 时 重 复 一 组 。 比 较 两 种 解 的 取 值 知 , 2 2 n ?1 n ?1 n 0?k ? 为公共部分, n 为奇数时, 0 ? k ? 比 0 ? k ? 多一组解,但 g (n) 当 2 2 2 * * n ? 2t ? 1, t ? N 时 重 复 一 组 。 f (n) 只 当 n ? 4t ? 1, t ? N 时 重 复 一 组 。 实 质 只 有 当
10、由 sin nx ? sin x 得: nx ? 2k? ? x



2k? ? ? ? x ,即 x ?

n ? 4t ? 1, t ? N * 时 , g (n) 比 f (n) 多 1 个 解 , 其 余 情 况 解 相 同 。 所 以 2013 2013 ? 5 ? ( g (n) ? f (n)) = 4 ? 1 ? 503 。 n?2
11. (本小题满分 16 分)

10 ,下面用数学归纳法证明:当 n ? 5 时,有 3 n ?1 n ?1 1 n ?1 1 n ?1 1 10 10 ? ? ? ? 2 ??? ? n ?1 an ? 。假设 an ? ? n ? 5? ,则 an ?1 ? n n ?1 2 n ? 2 2 1 2 3 3
解:经计算知 a2 ? 2 , a3 ? 3 , a4 ? a5 ?

?

n ?1 n ?1? n n 1 n 1 ? ? ? ? ? ? ? ? n?2 ? ? n 2n ? n ? 1 n ? 2 2 1 2 ?

n ?1 n ?1 ? an n 2n n ? 1 n ? 1 10 n ? 1 8 6 8 10 ? ? ? ? ? ? ? ? 。 n 2n 3 n 3 5 3 3 10 所以数列 ?an ? 中的最大值是 a4 ? a5 ? 。 3 ?

12.(本小题满分 20 分) 解:椭圆过定点 A(1,0) ,则 a ? 1 , c ? 1 ? b 2 , e ? 1 ? b 2 , ∵

2 3 ? e 2 ? 1 ,∴ 0 ? b ? 。 3 3

由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线 y ? x ( x ? 0) 的交点,就必过椭圆与射线

y ? ? x ( x ? 0) 的交点。

? y ? x ( x ? 0) b ? 联立方程 ? 2 y 2 ,解得 x ? y ? 。 x ? 2 ?1 1 ? b2 ? b ?
∵0 ? b ?

1 3 ,∴ 0 ? x ? 。 2 3

2 设抛物线方程为: y ? ?2 p( x ? m) , p ? 0 , m ? 1 。

p ? m ? 1 , ∴ y 2 ? (1 ? m)(x ? m) ① 2 1 1 2 m 0 0 把 y?x , ?x? 代入①得 x ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1) ? 0 , ? 1 , ? x ? 。 2 2 1 2 令 f ( x) ? x ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1) , m ? 1 , 0 ? x ? , 2
又 ∵ ∵ f (x) 在 ? 0 ,

? ?

1? ? 内有根且单调递增, 2?

? f (0) ? ?4m(m ? 1) ? 0 ?m ? 1 或 m ? 0 ? ? ∴? ?1? 1 ? ?3 ? 2 3? 2 〈m 〈 ? f ? 2 ? ? 4 ? 2(m ? 1) ? 4m(m ? 1) ? 0 ? 4 ? 4 ? ? ?
综上得: 1 ? m ?

3? 2 。 4

13.(本小题满分 20 分) 解:记 Ai ? A / ?i? ,其中 i ? 1, 2,?, 20 。 首 先 任 意 设 定 f ? A ? , f? A? ,? , ? A0 的 值 , 则 对 于 A 的 任 意 真 子 集 B , 记 f 2? 1 2

A / B ? ?ai1, ai 2 ,?, ain ? ,则

f ? B? ? f ? Ai1 ? Ai 2 ??? Ain ? ? min? f ? Ai1 ? , f ? Ai 2 ? ,?, f ? Ain ?? ,
因此,映射 f 可由 f ? A ? , f ? A2 ? ,?, f ? A20 ? 的值完全确定。 1 下面证明这样的映射满足条件。

? ? 对任意 B, C ? A ,有 f ? B ? ? f ? ? Ai ? ? min ? f ? Ai ?? , ? ? ? i?A / B ? i?A / B ? ? f ? C ? ? f ? ? Ai ? ? min ? f ? Ai ?? , ? ? ? i?A / C ? i?A / C
? ? f ? B ? C ? ? f ? ? Ai ? ? min ? f ? Ai ?? , ? i?A / ? B ?C ? ? i?A / ? B ?C ? ? ?
由 ? A / B ? ? ? A / C ? ? A / ? B ? C ? 知 f ? B ? C ? ? min f ? B ? , f ?C ? 。 综上所述,由于确定 f ? A ? , f ? A2 ? ,?, f ? A20 ? 的值有 1020 种选择,所以这种映射的个 1 数也为 1020 。 14、 证法一: B 作 BH∥AF, CF 于 H , 过 交 则

?

?

CH CB CB CD C C H D ? ? ? , 又由 , 故 CF CA CA CE C C F E



连结 HD ,知 HD ∥ FE ,延长 HB, HD 分别交 AG, EG 于 I . J ,连结 IJ 。 因为 ?IBA ? ?FAC ? ?AGD ,故 I 、 B 、 D 、 G 共圆; 因为 ?JDE ? ?FEC ? ?EGB ,故 J 、 D 、 B 、 G 共圆, ∴ I 、 B 、 D 、 J 、 G 五点共圆,故 ?HBC ? ?DJI 。 ∵ IH ? AF , JH ? EF ,∴

GI GH GJ ? ? ,故 IJ ? AE , ?DJI ? ?EDJ , GA GF GE

∴ ?FAC ? ?HBC ? ?DJI ? ?EDJ ? ?FEC 。 证法二:作 ?EBG 外接圆 C1 ,交射线 CF 于 P ,则 BC ? CE ? GC ? CP 。 又由 BC ? CE ? AC ? CD ,知 AC ? CD ? GC ? CP ,所以 P 、 A 、 G 、 D 共圆,记该

圆为 C2 。 下证 P 必在 CF 内.用反证法,假设 P 不在 CF 内。 连结 PA 、 PE ,则

?AFE ? ?APE ? ?APG ? ?EPG ? ?ADG ? ?EBG ? 180? ? ?BGD
又 ?FAE ? ?AGD , ∴ 180 ? ?AFE ? FAE ? 180 ? ?BGD ? ?AGD ? 180 ,矛盾!
? ? ?

于是, F 在 GP 延长线上. ∵ ?FAC ? ?AGD , ?FEC ? ?EGB ,∴ FE 为 C1 切线, FA 为 C2 切线, ∴ FA2 ? FP ? FG ? FE 2 ? AF ? EF ,故 ?FAC ? ?FEC 。

15、(i) 若 d1,d2,…,dk 是 n 的全部正因数,则 n/d1,n/d2,…,n/dk 也是 n 的全部正因数, 且当 1=d1<d2<…<dk=n 时,有 dj=n/dk-j+1。则 n2/d2=n2/(d1d2)≤D = d1d2+d2d3+…+dk-1dk=n2{1/(dk-1dk)+1/(dk-2dk-1)+…+1/(d1d2)} ≤n2{(1/dk-1-1/dk)+(1/dk-2-1/dk-1)+…+(1/d1-1/d2)} =n2(1/d1-1/dk)=n2(1-1/n)=n2-n。 (ii) 在(i)的证明中已指出 n2/d2≤D≤n2-n。若 D 整除 n2,由上式知 n2=qD,1<q≤d2。(**) 因为 d2 是 n 的最小的大于 1 的除数,所以,d2 是素数。d2 当然也是 n2 的素除数,并且 n2 没有比 d2 更小的大于 1 的除数。那么由式(**)就推出 q=d2。因此,k=2,n 的全部正因数 是 1 和 n 本身,即 n 是素数。 (*)

全国高校自主招生数学模拟题三
姓名:_____________班级:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分) 4 x2 1.不等式 . ? 2 x ? 9 的解集为 2 (1 ? 1 ? 2 x )
2.过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形 3.直线 kx ? y ? 2 与曲线 1 ? ( y ? 1) ?| x | ?1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 __ _______. 4.复数 z ,使 z3 ? z ? 2 z 2 ,则 z 的所有可能值为 _____ ____.
2

? bb?1 ? a ? b 的正整数对 ( a, b) 的个数为 . 1? a 1? b 1? c ? ? ? 6 . 设 a , b, c 为 方 程 x3 ? k1 x ? k2 ? 0 的 根 ( k1 ? k2 ? 1 ) 则 , 1? a 1? b 1? c
5.所有的满足条件 a ? b ? a
a b

a ?1

__. 7.将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全 相同. 甲从袋中摸出一个球,其号码为 a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b . 则使不等式 a ? 2b ? 10 ? 0 成立的事件发生的概率等于 . ?x, y ? R ,函数 f ( x, y) 都满足:① f (0, y) ? y ? 1 ;② f ( x ? 1,0) ? f ( x,1) ; 8、对 ③ f ( x ? 1, y ? 1) ? f ( x, f ( x ? 1, y)) ;则 f (3, 2013) ? __________________ 9.已知 A, B, C 为△ABC 三内角, 向量 ? ? (cos

C 最大时,存在动点 M, 使得 | MA |, | AB |, | MB | 成等差数列, 则

A? B A? B , 3 sin ) , | ? |? 2 .如果当 2 2 | MC |
| AB |
最大值是__
___.

13 2 2 2 10.若非负实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? x ? 2 y ? 3z ? ,则 ( x ? y ? z)min ? 4

.

二、解答题(本大题共 5 小题共 90 分)
11. (本题满分 15 分)对正整数 n ? 2 ,记 an ?

? n ? k ? 2k ?1 ,求数列{a }中的最大值.
n

n?1

n

1

k ?1

12. (本题满分 15 分)给定正实数 k,圆心为( a, b )的圆至少与抛物线 y ? kx2 有三个公 共点,一个是原点(0, 0),另两个点在直线 y ? kx ? b 上,求 a, b 的值(用 k 表示) .

f ( x) ? a(| sin x | ? | cos x |) ? 3sin 2x ? 7, 其中 a 为 实数, 求所有的数对(a, n)(n∈N*),使得函数 y ? f (x) 在区间 (0, n? ) 内恰好有 2011 个零点.
13. (本题满分 20 分)已知函数

14、 (本题满分 20 分)在 Rt ?ABC 中, CD 是斜 边 AB 上的高,记 I1 , I 2 , I 分别是△ADC, △BCD, △ ABC 的 内 心 , I 在 AB 边 上 的 射 影 为 O1 , ?CAB, ?ABC 的角平分线分别交 BC , AC 于 P, Q , 且 PQ 的 连 线 与 CD 相 交 于 O2 , 求 证 : 四 边 形

C P Q I1 D O1 I I2 A B

I1O1I 2O2 为正方形.

15、 (本题满分 20 分)给定正数 a, b, c, d, 证明: a3 ? b3 ? c3 b3 ? c3 ? d 3 c3 ? d 3 ? a3 d 3 ? a 3 ? b3 ? ? ? ? a2 ? b2 ? c2 ? d 2 . a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b

全国高校自主招生数学模拟题三答案
1. 由 1 ? 1 ? 2x ? 0 得 x ? ?

1 , x ? 0 ,原不等式可变为 1 ? 1 ? 2 x 2 45 ? 1 ? ? 45 ? x? ,故原不等式的解集为 ? ? ,0 ? U ? 0, ? 8 ? 2 ? ? 8?

?

?

2

? 2 x ? 9 解得

2.答案:②⑤,解:由对称性可知,所得图形应为中心对称图形,且②⑤可以截得

4 4 3 3 4.答案:0,1, ?1 ? 2i , ? 1 ? 2i

3.提示: [?2, ? ) ? ( , 2] , 曲线为两个半圆,直线过定点(0,?2) ,数形结合可得. 解: z ? z ? 2 z
3
2 2

2

= 2 z ? z ,∴z( z 2 ? 1 ? 2 z ) ? 0

当 z ? 0 时,满足条件,当 z ? 0 时, z 2 ? 1 ? 2 z ? 0 设 z ? a ? bi ( a , b ? R ) , 则 a ? b ? 2 abi ? 1 ? 2( a ? bi )

? a 2 ? b 2 ? 1 ? 2a ? 0 (1) ∴ ? ,由(2) 2b( a ? 1 ) ? 0 ? 2ab ? 2b ? 0 (2) 2 1) b ? 0 代入(1) 整理得: (a ?1) ? 0 ? a ? 1 2 2) b ? 0 ,则 a ? ?1 代入(1) 得: b ? 4 ? b ? ?2 ,经检验复数 z ? 1, ? 1 ? 2i 均满 足条件.∴ z 的所有可能值为 0,1, ?1 ? 2i , ? 1 ? 2i . a a ?1 b ?1 b ?1 b ?1 5 . 解 : 显 然 a ? b ? 1 . 由 条 件 得 a ? a ? b ? a ? b ? a ? b ?1 , 从 而 有 b a b ? b ? b 即 bb ? ab ? b , 再 结 合 条 件 及 以 上 结 果 , 可 得 aa?1 ? bb?1 ? a ? b ? aa ? bb ? aa ? ab ? b , 整 理 得 a ?1 b ?1 a a ?1 b ?1 a ?1 2 a?1 a ? ab ? a ? a ? b ? a ? ? a ? b ? ? a ,从而 a ? a ? a ? a ?1? ? a ? ab ? a 即
a a ?3 ? 1 , 所以 2 ? a ? 3 . a ? 2 时,b ? 1 , 当 不符合; a ? 3 时,b ? 2( b ? 1 不符合) 综 当 . 上,满足本题的正整数对 ? a, b ? 只有 ? 3,? ,故只有 1 解. 2
6.答案:

3 ? k1 ? 3k2 ,由题意, x3 ? k1 x ? k2 ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 由此可得 1 ? k1 ? k2

a ? b ? c ? 0 , ab ? bc ? ca ? ?k1 , abc ? k2 以及1 ? k1 ? k2 ? (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) 1 ? a 1 ? b 1 ? c 3 ? (a ? b ? c) ? (ab ? bc ? ca) ? 3abc 3 ? k1 ? 3k2 ? ? ? ? 1? a 1? b 1? c (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) 1 ? k1 ? k2
7.提示:甲、乙二人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果,故基本事件总数为 92=81 个, 由不等式 a?2b+10>0 得 2b<a+10, 于是, b=1、 3、 5 时, 当 2、 4、 每种情形 a 可取 1、 …、 2、 9 中每一个值,使不等式成立,则共有 9× 5=45 种;当 b=6 时,a 可取 3、4、…、9 中每 一个值,有 7 种;当 b=7 时,a 可取 5、6、7、8、9 中每一个值,有 5 种;当 b=8 时,a 可取 7、8、9 中每一个值,有 3 种;当 b=9 时,a 只能取 9,有 1 种。于是,所求事件 的概率为

45 ? 7 ? 5 ? 3 ? 1 61 ? 81 81

8、解:由①②③可推出

f (1, n) ? n ? 2
9.解:

f (2, n) ? 2n ? 3

f (3, n) ? 2n?3 ? 3 . f (3, 2013) ? 22017 ? 3

| ? |? 2 ? cos 2

A? B A? B 1 3 ? 3 sin 2 ? 2 ? cos( A ? B) ? cos( A ? B) ? 2 2 2 2 2
1 , 2

? cos( A ? B) ? 3 cos( A ? B) ? 2 sin A sin B ? cos A cos B ? tan A tan B ?
tan C ? ? tan( A ? B) ?

tan A ? tan B ? ?2(tan A ? tan B) ? ?4 tan A tan B ? ?2 2 , tan A tan B ? 1 2 等号成立仅当 tan A ? tan B ? .令|AB|=2c,因 | MA | ? | MB |? 4c , 2 x2 y2 2 所以 M 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的动点.故点 C(0, c ), 设 M(x,y), 则 2 4c 3c 2 2 |MC|2=x2+( y ? c) 2 4 2 c2 1 9c 2 2 2 ? ? y 2 ? 2cy ? , | y |? 3c . = 4c ? y ? y ? 2cy ? 3 2 3 2
当 y= ? 3c 时, |MC|2max=

| MC | 7?2 6 2 2 3? 2 6 ?1 . c , |MC|max= c. 即 max= 2 4 2 | AB | 10.解析:? x, y , z 均为非负实数,? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 2 x ? y ? 0 , 13 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 2 x ? y ? , 4 13 ?3 ? 22 ?3 ? 22 ? ( x ? y ? z ) 2 ? 3( x ? y ? z ) ? ? 0 , ? x ? y ? z ? 或 x? y?z ? 4 2 2 ?3 ? 22 ?3 ? 22 (舍)所以, ( x ? y ? z)min ? ,只需 x ? y ? 0, z ? 取等. 2 2
11.解:经计算知 a2 ? 2 , a3 ? 3 , a4 ? a5 ?

10 ,下面用数学归纳法证明:当 n ? 5 时,有 3 n ?1 n ?1 1 n ?1 1 n ?1 1 10 10 ? ? ? ? 2 ??? ? n ?1 an ? .假设 an ? ? n ? 5? ,则 an ?1 ? n n ?1 2 n ? 2 2 1 2 3 3
n ?1 n ?1? n n 1 n 1 ? n ?1 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? n?2 ? ? ? an ? n 2n ? n ? 1 n ? 2 2 1 2 ? n 2n

?

n ? 1 n ? 1 10 n ? 1 8 6 8 10 ? ? ? ? ? ? ? n 2n 3 n 3 5 3 3 10 所以数列{an}中的最大值是 a4 ? a5 ? 3 ?
12.解:设⊙O: ( x ? a) 2 ?( y ? b)2 ? a 2 ? b2 , 即 x 2 ? 2ax ? y 2 ? 2by ? 0 抛物线与直线 y ? kx ? b 的两个交点坐标为 ( x1 , y1 , ), ( x2 , y2 ) ,

? x1 ? x2 ? 1 2 ? kx1 ? kx1 ? b ? 则? 2 ,即 ? b ①, 这两点亦在圆上,即 ? kx2 ? kx2 ? b ? x1 x2 ? ? k ? 2 2 2 o ? x1 ? 2ax1 ? y1 ? 2by1 ? x1 ? 2ax1 ? (kx1 ? b) 2 ? 2b(kx1 ? b),

?

(1 ? k 2 ) x ? 2ax1 ? b2 ? 0
2 1

2a ? x1 ? x2 ? , ? ? 1? k 2 2 2 2 同理 (1 ? k ) x2 ? 2ax2 ? b ? 0 , 即 ? ② ?b 2 ?x x ? . ? 1 2 1? k 2 ? 1 1? k 2 1 2 ?k? 比较①,②知: a ? (1 ? k ), b ? 2 k k k? ? ? (k ? Z ) 为对称轴,即 13.解:首先,函数 f (x) 以为 ? 周期,且以 x ? 2 4 ? f ( x ? ? ) ? f ( x), f (k? ? ? x) ? f ( x)( k ? Z ) ,其次, 2 k? ? 3? f ( ) ? a ? 7, f (k? ? ) ? 2a ? 10, f (k? ? ) ? 2a ? 4 , ∵ f (x) 关 于 2 4 4 k? ? x? ? (k ? Z ) 对称, 2 4 k? k? ? k? ? k? ? , ? )及( ? , ? ) 上的零点个数为偶数, ∴ f (x) 在 ( 2 2 4 2 4 2 2 ( 要使 f (x) 在区间 0,n? ) 恰有 2011 个零点,则上述区间端点必有零点 k? k? ? ? ? ) ? 0, f ( ? ) ? 0 ,考虑区间 (0, ) 及 ( , ? ) 上的零点个数. (1)若 a ? 7 ,则 f ( 2 2 4 2 2 ? 当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? 7(sin x ? cos x) ? 3 sin 2 x ? 7 , 2 2 令 t ? sin x ? cos x(t ? (1, 2 ]. 则 y ? g (t ) ? ?3t ? 7t ? 4 ? 0 , 4 ? ? 解得 t1 ? 1 (舍) t 2 ? ? 2 sin( x ? ) ,故在 (0, ) 内有两解. , 3 4 2 ? 当 x ? ( , ? ) 时, f ( x) ? 7(sin x ? cos x) ? 3 sin 2 x ? 7 , 2 2 令 t ? sin x ? cos x(t ? (1, 2 ] ,则 y ? g (t ) ? 3t ? 7t ?10 ? 0 , 10 ? 解得 t1 ? 1 (舍) t 2 ? ? , (舍) ,故在 ( , ? ) 内无解.因此, f (x) 在区间 (0, ? ) 内有三 3 2
个零点.

故在(0, n? )内有3n ? (n ? 1) ? 4n ? 1 ? 2011 个零点。解得 ? 503. n
同理可得满足条件 (a, n) ? (7,503),(5 2, 2011),(2 2, 2011) .

14.证明:不妨设 BC ≥ AC ,由 ?ADC ~ ?CDB 且 I1 , I 2 分别是其内心,得 且 ?I1 DI 2 ?

AC I1D ? BC I 2 D

1 ?ADB ? 900 ? ?ACB , 所 以 2

?DI1I 2 ~ ?CAB

则 ?I 2 I1D ? ?CAB

① 设 ?ADC, ?BCD 的内切圆半径分别为 r , r2 , Rt ?ABC 的三边长为 a, b, c , I1 , I 2 在 AB 边 1 , E , F , 并 且 AD ? x, BD ? y, CD ? z x ? z ?b y? z?a b?c?a r1 ? , r ?2 , AO ? 1 , 2 2 2 b?c?a y ? z ?a x ? z ?b ?x? ? ? r2 ? r1 , 所以 DO1 ? AO1 ? AD ? 2 2 2 I1E ? r1 ? r2 ? (r2 ? r1 ) ? DF ? DO1 ? O1F , EO1 ? r 1? (r 2? r )1? r ? I F 2, 2 上 的 射 影 为 因 此 则

O . ? 1 ? O12 1 ? OO2 F I I且 1I ? ?I1O1I 2 ? ? ? ?I1O1E ? ?I 2O1F ? ? ? ?O1I 2 F ? ?I 2O1F ? ,② 2 则 D, O1 , I 2 , I1 四点共圆 ? ?I 2O1F ? ?I 2 I1D ? ?CAB (由①知)所以 O1I 2 // AC , 同理 O1I1 // BC , 1 (b ? c ? a) AI1 AO1 2 b?c?a ∴ , 又 由 角 平 分 线 性 质 得 ? ? ? I1P BO1 1 (c ? a ? b) c ? a ? b 2 CQ BC CQ BC ab ? ? ? ? CQ ? QA BA QA ? CQ BA ? BC a?c 1 CQ ? CO2 sin ?ACD ab QO2 S?CQO2 2 b?c b 同理 CQ ? ,另一方面 , ? ? ? b?c O2 P S?CPO2 1 CP ? CO sin ?BCD a ? c a 2 2 C AI1 QO2 b ? c ? a b(b ? c) 又 O2 I1 // CA ? , ? ? ? I1P O2 P c ? a ? b a (a ? c ) P 而 a(a ? c)(b ? c ? a) ? b(b ? c)(c ? a ? b) Q I ? E
1

?I1

?

? a(ab ? ac ? a2 ? cb ? c2 ? ac) ? b(bc ? ba ? b2 ? c2 ? ac ? bc) I2 I1 ? a(ab ? b2 ) ? b(ba ? a 2 ) ? 0 , A D O1 所以 O2 I1 // CA , 同理 O2 I 2 // BC , 所以四边形 I1O1I 2O2 为平行四边形,由②知四边形 I1O1I 2O2 为正方形.
15.解:由于问题的对称性, 只要证明对于任何正数 下式成立

B

因为如果上式成立, 则原式的左边不小于

不失一般性, 可以在 的假设下证明上述不等式. 如果 , 只要将不等式两边同除 , 令 于是问题转化成下列被修改的问题:给定满足条件 此不等式证明如下: 的正数 证明


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