nbhkdz.com冰点文库

2010年全国高考理科数学试题及答案-新课标


2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)-(24)题为选考题,其他 A. 题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓

名、准考证号, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

(A)(0,2) (2)已知复数 z ?
1 4 x x?2

(B)[0,2]
3?i

(C){0,2]

(D){0,1,2}

(1 ?

3i )

2

, z 是 z 的共轭复数,则 z ? z =

B.

1 2

C.1

D.2

(3)曲线 y ?

在点(-1,-1)处的切线方程为 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2

(A)y=2x+1

(4)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2 ,- 2 ) ,角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式: 样本数据 x 1 , x 2 , ? x n 的标准差
1 n

锥体体积公式
1 3

s ?

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ]
2 2 2

V ?

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式[来源:Z。xx。k.Com]
S ? 4? R
2

(5)已知命题
p 1 :函数 y ? 2 ? 2
x ?x

在 R 为增函数, 在 R 为减函数,

V ?

4 3

?R

3

p 2 :函数 y ? 2 ? 2
x

?x

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

则在命题 q 1 : p 1 ? p 2 , q 2 : p 1 ? p 2 , q 3 : ? ? p 1 ? ? p 2 和 q 4 : p 1 ? ? ? p 2 ? 中,真命题是 (A) q 1 , q 3 (B) q 2 , q 3 (C) q 1 , q 4 (D) q 2 , q 4

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A ? { | x | ? 2, x ? R } }, B ? { x |
x ? 4, x ? Z } ,则 A ? B ?

(6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的 种子数记为 X,则 X 的数学期望为 (A)100 (B)200 (C)300 (D)400

-1-

(7)如果执行右面的框图,输入 N ? 5 ,则输出的数等于

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答,第(22)

(A) (B) (C) (D)

5 4 4 5
6 5

题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)设 y ? f ( x ) 为区间 [ 0 , 1 ]上的连续函数,且恒有 0 ? f ( x ) ? 1,可以用随机模拟方法近似计算积分

5 6

?
3

1 0

f ( x ) d x ,先产生两组(每组 N 个)区间 [0 ,1] 上的均匀随机数 x1 , x 2 , … x N 和 y 1 , y 2 , … y N ,由此得到 N 个点

(8)设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? x ? 8( x ? 0 ) ,则 { x | f ( x ? 2 ) ? 0} ? (A) { x | x ? ? 2 或 x ? 4} (C) { x | x ? 0 或 x ? 6} (B) { x | x ? 0 或 x ? 4} (D) { x | x ? ? 2 或 x ? 2}

( x1 , y 1 )( i ? 1, 2, … , N ) ,再数出其中满足 y 1 ? f ( x1 )( i ? 1, 2 , … , N ) 的点数 N 1 ,那么由随机模拟方案可得积分

?

1 0

f ( x ) d x 的近似值为



(14)正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种) (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为____ (9)若 c o s ? ? ?
4 5

1 ? ta n

? ?
2 ?

, ? 是第三象限的角,则
1 ? ta n

(16)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=
? BAC=_______

1 2

DC, ? ADB=120°,AD=2,若△ADC 的面积为 3 ?

3 ,则

2

(A) ?

1 2

(B)

1 2

(C) 2

(D) -2

三,解答题:解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 设数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? 3 ?2 (1) 求数列 ? a n ? 的通项公式; (2) 令 b n ? n a n ,求数列的前 n 项和 S n (18)(本小题满分 12 分)
2 n ?1

(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 (A) ? a
2

(B)

7 3

?a

2

(C)

11 3

?a

2

(D) 5 ? a

2

? | lg x |, 0 ? x ? 1 0 , ? (11)已知函数 f ( x ) ? ? 1 若 a , b , c 互不相等,且 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ), 则 a b c 的取值范围是 ? ? x ? 6, x ? 10. ? 2

(A) (1,1 0 )

(B) (5, 6 )

(C) (1 0 ,1 2 )

(D) ( 2 0, 2 4 ) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB ? CD,AC ? BD,

(12)已知双曲线 E 的中心为原点, P (3, 0 ) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点 垂足为 H,PH 是四棱锥的高 ,E 为 AD 中点 为 N ( ? 1 2 , ? 1 5 ) ,则 E 的方程式为
x
2

(1) 证明:PE ? BC
2

(A)

?

y

2

?1

(B)

x

?

y

2

(2) 若 ? APB= ? ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的
?1

3 x
2

6 y
2

4 x
2

5 y
2

正弦值
?1

(C)

?

?1

(D)

?

6

3

5

4

-2-

(1)求 E 的离心率; (2) 设点 p (0, ? 1) 满足 P A ? P B ,求 E 的方程 (21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? e ? 1 ? x ? a x 。
x 2

(19)(本小题 12 分) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: (1) 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; 是否需要志愿 需要 不需要 性别 男 40 160 女 30 270 (1) 若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围

(2) 能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3) 根据(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人,需要志愿帮助的老年人的比例?说明 理由 附: 请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅 、 、 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已经圆上的弧 (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; (Ⅱ)BC =BF×CD。
2

,过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明:

(20) (本小题满分 12 分) 设 F1 , F 2 分别是椭圆 E :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、 右焦点, F1 斜率为 1 的直线 i 与 E 相交于 A , B 两点, 过

且 A F 2 , A B , B F 2 成等差数列。

-3-

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 ? =
?
3
? x ? 1 ? t cos ? ? y ? t s in ?

(t 为参数) 2 ? ,C

? x ? cos ? ? y ? s in ?

( ? 为参数) ,

时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的参数方程,并指出它 是什么曲线。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选项 设函数 f ( x ) ? 2 x ? 4 l ? 1 (Ⅰ)画出函数 y ? f ( x ) 的图像 (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ a x 的解集非空,求 a 的取值范围。

-4-

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案
一、 选择题 (1)D (7)D (2)A (8)B (3)A (9)A (4)C (10)B (5)C (11)C (6)B (12)B

(18)解: 以 H 为原点, H A , H B , H P
A (1, 0, 0 ), B (0,1, 0 )

分别为 x , y , z 轴,线段 H A 的长为单位长, 建立空间直角坐标系如图, 则

(Ⅰ)设 C ( m , 0, 0 ), P (0, 0, n )( m ? 0, n ? 0 ) 则
D( 0 m , , 0E) , 1 m ( , 2 2 , 0 ).
1, 0 ).

二、填空题 (13)
N1 N

(14)三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案同样给分)
2 2

可得

PE ? (

1 m , ? n ) ,C ? m ( ? , , B 2 2

(15) ( x ? 3) ? y ? 2 三、解答题 (17)解:

(16)60°

因为 P E ? B C ? 所以
P E?

m 2

?

m 2

?0 ? 0

B C

(Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,
a n ? 1 ? [( a n ? 1 ? a n ) ? ( a n ? a n ? 1 ) ? ? ? ( a 2 ? a 1 )] ? a 1 ? 3( 2
? 2
2 n ?1

?2

2 n?3

? ? ? 2) ? 2

2 ( n ? 1) ? 1



而 a1 ? 2, 所以数列{ a n }的通项公式为 a n ? 2 (Ⅱ)由 b n ? n a n ? n ? 2
3 2 n ?1 2 n ?1



(Ⅱ)由已知条件可得 m ? ?

3 3

, n ? 1, 故 C( ?

3 3

,0,0)


5 2 n ?1

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2



D( 0 ? ,

3 3

, 0E, )

1 2

? (

3 , 6

,P 0 ) ,

(0, 0,1)

从而
2 ? S n ? 1? 2 ?
2 3

设 n ? ( x , y , x ) 为平面 P E H 的法向量
?2 2 ?
5

? 3 ?? ? n? 2
7

n ?2

2

1

② 则
? n ? H E? ? ? ? n ? H P? ? ,o ,o

①-②得
(1 ? 2 ) ? S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 5 2 n ?1

? 1 x? 3 y?0 ?2 6 即? ? z ? 0 ?

? n?2

2 n ?1

。 因此可以取 n ? (1, 3, 0 ) ,



Sn ?

1 9

[(3 n ? 1) 2

2 n ?1

? 2]

由 P A ? (1, 0, ? 1) ,

??? ?

-5-

可得

? ? ?? c o sP A n ? ,

2 4 2 4



4 3

a ?

4ab
2

2 2

a ?b

, 故 a ? 2b
2

2

所以直线 P A 与平面 P E H 所成角的正弦值为 (19)解:

所以 E 的离心率 e ?

c a

?

a ?b
2

2

?

2 2

a

(II)设 AB 的中点为 N ? x 0 , y 0 ? ,由(I)知
x1 ? x 2 2 ?a c
2

(1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要帮助的老年人的比例 的估算值为
70 500 ? 14%
500 ? (40 ? 270 ? 30 ? 160) 200 ? 300 ? 70 ? 430
2

x0 ?

?

a ?b
2

2

? ?

2 3

c , y0 ? x0 ? c ?

c 3



(2) K

2

?

? 9 .9 6 7 。

由 P A ? P B ,得 k P N ? ? 1 , 即
y0 ? 1 x0 ? ?1

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女 性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成 男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. (20.)解: (I)由椭圆定义知 A F 2 ? B F 2 ? A B ? 4 a ,又 2 A B ? A F 2 ? B F 2 , 得 AB ?
4 3
l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ?

得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2 , b ? 3
x
2

故椭圆 E 的方程为 (21)解:

?

y

2

? 1。

18

9

(1) a ? 0 时, f ( x ) ? e ? 1 ? x , f '( x ) ? e ? 1 .
x x

a

当 x ? ( ? ? , 0 ) 时, f '( x ) ? 0 ;当 x ? ( 0 , ? ? ) 时, f '( x ) ? 0 .故 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 单调减少,在 ( 0 , ? ? ) 单调
a ?b 。
2 2

增加 (II) f '( x ) ? e ? 1 ? 2 a x
x

设 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组
?y ? x?c ? 2 2 ?x y ? 2 ?1 ? 2 b ?a

由(I)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故
x

f '( x ) ? x ? 2 a x ? (1 ? 2 a ) x ,
2

化简的 ? a ? b
2

?x
2

2

? 2 a cx ? a
2

2

?c
2

2

?b
2

2

??0

从而当 1 ? 2 a ? 0 ,即 a ?

1 2

时, f '( x ) ? 0 ( x ? 0 ) ,而 f (0 ) ? 0 ,

则 x1 ? x 2 ?

?2a c a ?b
2 2

, x1 x 2 ?

a

2

?c
2

?b
2

?
2 x 2 ? x1 ? 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ? ? ?
2

于是当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 . 由 e ? 1 ? x ( x ? 0 ) 可得 e
x ?x

a ?b

因为直线 AB 斜率为 1,所以 A B ?

? 1 ? x ( x ? 0 ) .从而当 a ? ? 1) ? e
?x x x

1 2

时,

f '( x ) ? e ? 1 ? 2 a ( e
x

?x

( e ? 1)( e ? 2 a ) ,

-6-

故当 x ? (0 , ln 2 a ) 时, f '( x ) ? 0 ,而 f (0 ) ? 0 ,于是当 x ? (0 , ln 2 a ) 时, f ( x ) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 ( ? ? , ] .
2 1

故 P 点轨迹是圆心为 ? (24) 解:

?1

1 ? , ? ,半径为 的圆。 0 4 ?4 ?

(22)解:
? A (I)因为 ? C ? B C ,
? ? 2 x ? 5, x ? 2 f (x) ? ? ? 2 x ? 3, x ? 2 则函数 y ? f ( x ) 的图像如图所示。 (Ⅰ)由于

所以 ? B C D ? ? A B C . 又因为 E C 与圆相切于点 C ,故 ? A C E ? ? A B C , 所以 ? A C E ? ? B C D . (II)因为 ? E C B ? ? C D B , ? E B C ? ? B C D , 所以 ? B D C ∽ ? E C B ,故 即 BC ? BE ? CD .
2

BC BE

?

CD BC



(23)解:
? ? ?
3 时, 的普通方程为 y ? C1
? y ? 3 ( x ? 1) ? 2 2 C 3 ( x ? 1) , 2 的普通方程为 x ? y ? 1 。 联立方程组 ? , 2 2 ?x ? y ? 1 ?

(Ⅰ) 当

解得 C 1 与 C 2 的交点为(1,0) ?

?1 3 ? , ? ?。 ?2 2 ? ? ?

(Ⅱ) C 1 的普通方程为 x sin ? ? y co s ? ? sin ? ? 0 。 A 点坐标为 ? sin ? ? c o s ? sin ? ? ,
2

故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为:
1 ? 2 x ? sin ? ? ? 2 ?? 为 参 数 ? 1 ? y ? ? sin ? co s ? ? ? 2
2

?

(Ⅱ)由函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? a x 的图像可知,当且仅当

a ?

1 2 或 a ? ? 2 时,函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? a x 的

图像有交点。故不等式 f ( x ) ? a x 的解集非空时, a 的取值范围为
? ? ?? , 2 ? ? ?1 ? , ?? ? ?2 ? ?。

1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 4? 16 P 点轨迹的普通方程为 ? 。

-7-


2010年高考新课标全国卷理科数学试题及答案

2010 年高考新课标全国卷理科数学试题及答案 ( 宁夏、吉林、黑龙江、海南) (新课标)理科数学本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 ...

2010年全国高考理科数学试题及答案-新课标_1

2010年全国高考理科数学试题及答案-新课标_1_理学_高等教育_教育专区。全国普通高等学校招生全国统一考试试题及答案,整理编辑。2010 年普通高等学校招生全国统一考试 ...

2010年高考全国新课标文科数学试卷及答案

2010年高考全国新课标文科数学试卷及答案_高考_高中教育_教育专区。2010年高考全国新课标文科数学试卷及答案 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考公式: ...

2010年全国高考理科数学试题及答案-新课标

2010年全国高考理科数学试题及答案-新课标word版2010年全国高考理科数学试题及答案-新课标word版隐藏>> 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第 ...

2010年全国高考理科数学试题及答案-新课标

2010年全国高考理科数学试题及答案-新课标_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2010年全国高考理科数学试题及答案-新课标_高考_高中教育_...

2010年高考全国新课标1卷理科数学试卷

2010年高考全国新课标1卷理科数学试卷_高考_高中教育_教育专区。DB 2010 年高考全国新课标 1 卷理科数学试卷第I卷 参考公式: 如果事件 A、 B 互斥,那么 球的...

2010年新课标Ⅰ 高考理科数学试卷(真题与答案解析)

2010年新课标高考理科数学试卷(真题与答案解析)_高考_高中教育_教育专区。2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷...

2010年全国高考文科数学试题及答案-新课标

2010年全国高考文科数学试题及答案-新课标_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2010高考卷www.zgxzw.com 中国校长网 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参...

2010年全国高考理科数学试题及答案-新课标

2010年全国高考理科数学试题及答案-新课标 隐藏>> 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第...