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【新课标(理)】2013山东高考数学二轮复习 第二部分 :解析几何思想方法与规范解答


第三讲

思想方法与规范解答(三)

? 1.函数与方程思想 ? 函数与方程思想在数列中的应用主要体现在: ? (1)等差、等比数列基本元素的计算,尤其是“知 三求二”,注意消元的方法及整体代换的运用; ? (2)数列本身是定义域为正整数集或其有限子集的 函数,在解决数列问题时,应有函数与方程思想 求解的意识.

?

[例1] (2012年郑州模拟)已知等差数列{an}满足: a5=9,a2+a6=14. ? (1)求{an}的通项公式; ? (2)若bn=an+qan(q>0),求数列{bn}的前n项和Sn.
[解析] (1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 则由 a5=9,a2+a6=14,
?a1+4d=9, 得? ?2a1+6d=14, ?a1=1, 解得? ?d=2,

所以{an}的通项 an=2n-1.

(2)由 an=2n-1 得 bn=2n-1+q2n-1. 当 q>0 且 q≠1 时, n=[1+3+5+…+(2n-1)]+(q1+q3+q5+…+ S q
2n-1

q(1-q2n) )=n + ; 1-q2
2

当 q=1 时,bn=2n,则 Sn=n(n+1). 所以数列{bn}的前 n 项和

?n(n+1),q=1, ? Sn=? 2 q(1-q2n) ?n + 1-q2 ,q>0且q≠1. ?

? 已知两个等比数列{an},{bn}满足a1=a(a>0), b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. ? (1)若a=1,求数列{an}的通项公式; ? (2)若数列{an}唯一,求a的值. ? 解析:(1)设数列{an}的公比为q,则b1=1+a =2,b2 =2+aq=2+q,b3 =3+aq2 =3+q2 , ? 由b1,b2,b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2), ? 即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2- ? 所以数列{an}的通项公式为a2.=(2+)n-1 或an n n-1. =(2-)

(2)设数列{an}的公比为 q, 则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2)得 aq2-4aq +3a-1=0.(*) 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 1 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a= . 3

? 2.分类讨论思想 ? 数列中的讨论问题常见类型 ? (1)求和分段讨论:知道数列{an}的前n项和Sn, 求数列{|an|}的前n项和; ? (2)对等比数列的公比讨论:求等比数列前n 项和问题中对公比q=1和q≠1进行讨论; ? (3)对项数的奇偶讨论:与数列有关的求通项 或求前n项和问题中对项数n的奇偶进行讨 论.

?
? ?

[例2] (2012年高考湖北卷)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的 积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.

[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a2=a1+d,a3=a1+2d.
?3a1+3d=-3, ? 由题意得? ?a1(a1+d)(a1+2d)=8, ? ?a1=2, ?a1=-4, 解得? 或? ?d=-3, ?d=3.

所以由等差数列通项公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5,或 an=-4+3(n-1) =3n-7. 故 an=-3n+5,或 an=3n-7.

(2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等比数 列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,满 足条件.
?-3n+7,n=1,2, 故|an|=|3n-7|=? ?3n-7,n≥3.

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n=1 时,S1=|a1|=4;当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5;

当 n≥3 时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an| =5+(3× 3-7)+(3× 4-7)+…+(3n-7) (n-2)[2+(3n-7)] 3 2 11 =5+ = n - n+10. 2 2 2 当 n=2 时,满足此式.

?4,n=1, ? 综上,Sn=?3 2 11 ?2n - 2 n+10,n>1. ?

在等比数列{an}中,设前 n 项和为 Sn,x=S2 +S2 ,y=Sn(S2n+S3n), n 2n 试比较 x 与 y 的大小.

解析:设等比数列的首项为 a1,公比为 q, 则当 q=1 时,Sn=na1, ∴x=(na1)2+(2na1)2=5n2a2, 1 y=na1(2na1+3na1)=5n2a2,∴x=y; 1

a1(1-qn) 当 q≠1 时,Sn= , 1-q a1(1-qn) 2 a1(1-q2n) 2 ∴x=[ ] +[ ] 1-q 1-q a1 2 =( ) [(1-qn)2+(1-q2n)2] 1-q a1 2 4n 2n =( ) (q -q -2qn+2), 1-q a1(1-qn) a1(1-q2n) a1(1-q3n) y= [ + ] 1-q 1-q 1-q a1 2 4n 2n =( ) (q -q -2qn+2), 1-q ∴x=y,综上可知 x=y.

? 高考对本专题的考查各种题型都有,在选 择填空中主要考查等差、等比数列的基本 问题,在解答题中主要考查,由递推关系 求通项及数列求和问题,同时综合考查数 列与不等式,函数的综合应用,难度中档 偏上.

1 【押题】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,且 Sn=Sn-1+an 4 1 119 * ,且 3bn-bn-1=n(n≥2, - 1+ (n∈N ,n≥2),数列{bn}满足:b1=- 2 4 且 n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn-an}为等比数列; (3)求数列{bn}的前 n 项和的最小值.

【解析】

1 1 (1)由 Sn=Sn-1+an-1+ 得 Sn-Sn-1=an-1+ , 2 2

1 即 an-an-1= (n∈N*,n≥2), 2 1 则数列{an}是以 为公差的等差数列, 2 1 1 1 ∴an=a1+(n-1)× = n- (n∈N*). 2 2 4 1 1 (2)证明:∵3bn-bn-1=n(n≥2),∴bn= bn-1+ n(n≥2), 3 3

1 1 1 1 ∴bn-an= bn-1+ n- n+ 3 3 2 4 1 1 1 = bn-1- n+ 3 6 4 1 1 3 = (bn-1- n+ )(n≥2), 3 2 4

1 1 1 3 bn-1-an-1=bn-1- (n-1)+ =bn-1- n+ (n≥2), 2 4 2 4 1 ∴bn-an= (bn-1-an-1)(n≥2), 3 bn-an 1 ∵b1-a1=-30≠0,∴ = (n≥2), bn-1-an-1 3 1 ∴数列{bn-an}是以-30 为首项, 为公比的等比数列. 3 1 (3)由(2)得 bn-an=-30× )n-1, ( 3 1 1 1 1 ∴bn=an-30× )n-1= n- -30× )n-1. ( ( 3 2 4 3

1 1 1 n-1 1 1 1 n- 2 1 ∴bn - bn - 1 = n- - 30× ) - (n- 1)+ + 30× ) = + ( ( 2 4 3 2 4 3 2 1 1 30× )n-2× ( (1- ) 3 3 1 1 = +20× )n-2>0(n≥2),∴数列{bn}是递增数列. ( 2 3 ∵当 n=1 时,b1=- 119 3 <0;当 n=2 时,b2= -10<0; 4 4

5 10 7 10 当 n=3 时,b3= - <0;当 n=4 时,b4= - >0, 4 3 4 9

∴数列{bn}从第 4 项起各项均大于 0, 故数列{bn}的前 3 项之和最小, 119 3 5 10 493 记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 T3=- +( -10)+( - )=- . 4 4 4 3 12

1 1 1 n-1 1 1 1 n- 2 1 ∴bn - bn - 1 = n- - 30× ) - (n- 1)+ + 30× ) = + ( ( 2 4 3 2 4 3 2 1 1 30× )n-2× ( (1- ) 3 3 1 1 = +20× )n-2>0(n≥2),∴数列{bn}是递增数列. ( 2 3 ∵当 n=1 时,b1=- 119 3 <0;当 n=2 时,b2= -10<0; 4 4

5 10 7 10 当 n=3 时,b3= - <0;当 n=4 时,b4= - >0, 4 3 4 9

∴数列{bn}从第 4 项起各项均大于 0, 故数列{bn}的前 3 项之和最小, 119 3 5 10 493 记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 T3=- +( -10)+( - )=- . 4 4 4 3 12

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