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高三复习——线面平行证明


高三复习——线面平行证明
一:从结论出发,假定线面平行成立,利用线面平行的性质,在平面内找到与已知直线的平行 线。 例1:如图正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E为 DD1 的中点,试判断 BD1 与平面 AEC 的位置关系,并说 明理由。
D1 A1 E B1 C1

D A B

C

实战试招1:
PA // 平面BFD 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 的底面 ABCD 是菱形, 点F为 PC 中点, 求证:

P

F A B C D

二:以平面外的直线作平行四边形 例 2:如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,E 为 A1 B1 上任意一点,求证: AE // 平面DC1
D1 A1 E B1 C1

D A B

C

实战试招 2 如图,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,E 为 B1C1 的中点,F 为 AA1 的中点,求证: A1E // 平面B1CF

A1 E B1 F

C1

A B

C

三:选证明面面平行,再由线平行的定义过度到线面平行。 例 3:如图,四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为正方形,E,F,G 分别为 PC , PD, BC 的中点,求证:
PA // 平面EFG
P

E F C D G A B

实战试招 3 如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)D 为 BC 的中点,求证: AC 1 // 平面AB 1D

A1 B1 C1

A B D C

高三复习——线面平行证明
一:从结论出发,假定线面平行成立,利用线面平行的性质,在平面内找到与已知直线的平行 线。
D1 A1 E B1 C1

例1:如图正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E为 DD1 的中点,试判断 BD1 与平面 AEC 的位置关系,并说明理由。 招式讲解:三点确定一个平面,已知直线 BD1 已有二点,只需再有一 点即可确定一个平面。为了更直观的找到两平面的交线,选择第三点 时有技巧可寻。平面 AEC 将空间分为两个部分,第三点可选在与线段

D A B

C

BD1 的另一侧,本题中即D点。三点组成的三角形,除 BD1 的另两边
BD , DD1 必然与平面 AEC 相交,则两交点形成的直线与 BD1 平行。

在实际证明过程中,两交点在题中的位置越特殊,越有可能为正确的辅助线。 D1 C1 证明展示 证明:连结 BD 与AC交于点O,连结 OE
A1 E B1

E、O分别为 DD1 、 BD 中点

? OE // BD1

OE ? 平面AEC , BD1 ? 平面AEC

D O A B

C

? BD 1 // 平面AEC

招式点评 优点:招式简洁,证明过程简易。 缺点:与平面的交点若不是特殊点,会出现能找出平行线,但难于证明的情况。再有就是平面的另一 面可能在题目中难以找到第三点。 实战试招1: 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 的底面 ABCD 是菱形,点F
P

为 PC 中点,求证: PA // 平面BFD

F A B C D

二:以平面外的直线作平行四边形 例 2:如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,E
D1 A1 E B1 C1

为 A1 B1 上任意一点,求证: AE // 平面DC1 找平行线是高中立体几何中的常见手段。 相邻两边,则就能作出平行四边形。 形的一边,则另一边可以是

招式讲解: 通过平行四边行 若能够找到平行四边行的 本题中 AE 可做为平行四边 若考 A1E, EB1 , AB, AD, AA1 , 则只有 EB1和AD 。这时,可 为本题所要的。
A D B C

虑到可在题目中较为容易的画平形四边形 以发现以 AE, AD 两边所作的平行四边形

证明展示 证明:过 E 点作 AD 的平行线,交 C1D1 与 F 点,连结 DF
D1 A1 E F B1 C1

EF // A1D1 , A1E // D1F

? 四边形 A1EFD1 为平行四边形
? EF ? A1D1
D A B C

? EF // AD且EF ? AD ? 四边形 ADFE 为平行四边行
? AE // DF



AE ? 平面DC1 , DF ? 平面DC1

? AE // 平面DC1
招式点评 优点:招式本身的关键在于平行四边行,同学们比较熟悉,因此接受起来比较快。 缺点: 找平行四边形的思维过程中可能的情况比较多, 要一个一个去排除, 需要一定的逻辑思维能力。 再有,招式本身不能解决所有题目要注意变招。 实战试招 2
A1 E B1 F C1

如图,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,E 为 B1C1 的中点,F 为 AA1 的中点,求 证: A1E // 平面B1CF

A B

C

三:选证明面面平行,再由线平行的定义过度到线面平行。 例 3:如图,四棱锥 P ? ABCD ,底面 P ABCD 为正方形,E,F,G 分别为 证: PA // 平面EFG
E F C D G A B

PC , PD, BC 的中点,求

招式讲解: 面面平行到线面平行的方 解题的关键,而寻找平行 到的。两条相交直线可以 是一条,我们只需要找

法中,寻找与平面 EFG 平行的平面是 平面遵循一定的方法其实是很容易找 确定一个平面,已知直线 PA 可以看作
EF , EG, FG 中三条边中任何一条线的

平行线即可。但所找的平行线还需满足一个条件,与已知直线 PA 相交。题目中, EF与FG 的平行线 都很容易找到,比如我们找到满足要求的 EF 的平行线 AB ,则 PA与AB 所组成的 平面PAB 就是我们 所要找到平面。接下来我们的任务就是证明 平面PAB // 平面EFG 。 证明展示 证明: E, F 分别为PC与PD中点

? EF // DC, 又 DC // AB

? EF // AB, 又 EF ? 平面EFG, AB ? 平面EFG
? AB // 平面EFG

E, G分别为PC, BC中点

? PB // EG, 又 EG ? 平面EFG, PB ? 平面EFG
? PB // 平面EFG 又 AB ? PB ? B PA ? 平面PAB

?平面PAB // 平面EFG ? PA // 平面EFG

招式点评 优点:与前二斧而言使用范围最广的招式,套路式的方法很容易找到证明的思路。大部分的题目都可以 使用这招得到解决,只不过是证明过程的长度有所不同而已。 缺点:由于证明面面平行,必须先证两个线面平行,所以不论题目难易过程都较长。步骤多,要写好 要下一番功夫。 实战试招 3 如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)D 为 BC 的中点,求证: A1

AC 1 // 平面AB 1D
B1 C1

总结:线面平行证明的三种方法中,多数题目其实都可以用第一、二种方法 得到解决,因此前二种方法是首先。第三种方法虽然证明过程长,但其思路 C D B 是很固定的, 实践过程中更容易为同学们所掌握。 一个题目可能有几种证法, 同学们练习时可以三种方法都去试一试,看看有几种办法可以解决。在熟悉以后,解题过程中可按照 招式一、二、三的顺序依次去思考。 另:对于考试中的另一重点,垂直关系就很难总结为平行中一样固定的模式,但解题时也有一定规律 可寻,详情在另一文中讲述。

A


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