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数学:第三章《导数及其应用》测试(3)(新人教A版选修1-1)

时间:2012-03-01


第三章 导数及其应用 单元测试
A 组题(共 100 分) 一.选择题(每题 7 分) 选择题( 选择题 1.函数 f ( x) = 2 x ? 6 x 的“临界点”是
3

A.1

B. ? 1

C. ? 1 和 1

D. 0

2.函数 f ( x) = x 3 ? x 2 ? x 的单调减区间是 A. ? ∞,? ) (

1 3

B. (1, ∞ )

C. ? ∞,? ) , (1, ∞ ) (

1 3

D. (? ,1)

1 3

3. x0 为方程 f ′( x ) = 0 的解是 x 0 为函数 f(x)极值点的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.函数 y = f ( x ) 的图象如图所示,则导函数 y = f ′( x) 的图象可能是 y
f(x)

y

f ′( x)

f ′( x)

y x

y O

f ′( x)

y O x
f ′( x)

O

x

O A

x

O B C

x D

5.福建炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时时,原油温 度(单位: 0 C ) 为 f ( x ) = 值是 A.8 B.

1 3 x ? x 2 + 8(0 ≤ x ≤ 5) ,那么,原油温度的瞬时变化率的最小 3 20 3
C. ? 1 D. ? 8

6.若函数 f ( x ) 在 R 上是一个可导函数,则 f ′( x ) > 0 在 R 上恒成立是 f ( x ) 在区间

(?∞, ∞) 内递增的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.某产品的销售收入 y1 (万元)是产量 x (千台)的函数: y1 = 17 x 2 ,生产总成本 y 2 (万元) 也是产量 x (千台)的函数; y 2 = 2 x 3 ? x 2 ( x > 0) ,为使利润最大,应生产 A.6 千台 8.函数 f ( x ) = ? B. 7 千台 C.8 千台 D.9 千台

x ( a < b < 1) ,则 ex

A. f (a ) = f (b) B. f (a ) < f (b) C. f (a ) > f (b) D. f ( a ), f (b) 大小关系不能确定 9.函数 f ( x ) = x 3 ? 6bx + 3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是

-1-

A.(0,1)

B.(-∞,1)

C.(0,+∞)

D.(0,

1 ) 2

10. f ( x ), g ( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, x < 0 时, f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x) < 0 当 且 f (?2) = 0, 则不等式f ( x) g ( x) < 0 的解集为 A. (-2,0)∪(2,+∞) C. (-∞,-2)∪(2,+∞)YCY 二.填空(每题 6 分) 11.函数 f ( x ) = ln x ? ( )

B. (-2,0)∪(0,2) D. (-∞,-2)∪(0,2)

1 2 1 x 在[ ,2] 上的极大值是 2 2

. . . .

12.函数 f ( x ) = 5 + x + cos x ( x ∈ (0,2π )) 的单调增区间是 13.函数 f ( x ) = x ?
3

3 2 x + 8( x ∈ [0,2]) 的最小值是 2

14.已知函数 f ( x) = ax 3 + 2 x( a > 0) ,则 f (x) 单调递增区间是 三.解答题(13+14+14) 15.已知函数 f ( x) =

x3 ,定义域为(-2,-1),求 f (x) 的极小值. x +1

16.已知 m > 0 ,函数 f ( x) = x 3 ? mx 在 [ 2, ∞) 上是单调函数,求 m 的取值范围.

7. 2007 年 9 月 5 日生效的一年期个人贷款利率为 7.29%,小陈准备购买一部汽车,购车一年后 一次性付清车款,这时正好某商业银行推出一种一年期优惠贷款业务,年利率为 x ,且 x ∈ (0.045,0.062),贷款量与利率的平方成正比,因此,小陈申请这种一年期优惠贷款. (1)写出小陈应支付的利息 h(x) ; (2) 一年期优惠利率 x 为多少时,利息差最大?

-2-

1.C 11. ?

2.D

3.D

A 组题(共 100 分) 4.D 5.C 6.A 7.A 13.

8. C

9. D

10.A

1 2

12. (0,2 π )

15 2

14. (?∞, ∞)

27 4 16.0< m ≤ 12
15.极小值 17.解: (1)由题意,贷款量为 kx ( k > 0) ,应支付利息 h( x ) = kx ? x = kx
2 2 3

(2)小陈的两种贷款方式的利息差为

y = 0.0729kx 2 ? kx 3 , x ∈ (0.045,0.062) y ′ = 0.1458kx ? 3kx 2
令 y ′ =0,解得 x = 0 或 x = 0.0486

当 x ∈ (0.045,0.0486)时,y ′ > 0;当x ∈ (0.0468,0.062)时,y ′ < 0 所以, x = 0.0468 时,利息差取得极大值,即一年期优惠利率为 4.68%时,利息差最大.

-3-


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