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【优选整合】高中数学人教A版选修2-2第一章1.4《生活中的优化问题举例》【学案】

时间:2017-10-27


1.4 生活中的优化问题举例
一、课前准备
1.课时目标 (1)了解函数极值和最值的基本应用. (2)会用导数解决某些实际问题.

二、基础预探
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: (1) 分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的,写出实际问题中变量之间的,根据实际意义确定 定义域. (2) 求函数 y ? f ? x

? 的导数 f ?(x),解方程 f ?(x)=0,求定义域内的根,确定. (3) 比较函数在和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值. (4) 还原到原中作答.

三、学习引领
1. 常见的优化问题 主要有几何方面的应用,物理方面的应用,经济方面的问题等.例如,使经营利润最大、生产效率最高, 或使用力最省、用料最少、消耗最省等等,需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,这些都是最优化问题.导 数是解决这类问题的基本方法之一. 2.解决优化问题的方法 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造 在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质,提出优化 方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 解决优化问题的基本程序是: 读题 建模 求解 反馈

(文字语言) (数学语言) 3. 需要注意的几个问题

(导数应用) (检验作答)

(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确 定,并注意定义域对函数最值的影响. (2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点,那么这个极值就是所求最值,不必再与 端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性.

四、典例导析
1

题型一 几何图形中的优化问题 例 1 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片, 切去阴影部分所示的四个全 等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状 的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB= x cm (1)某广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2)某广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的 比值.
3
2

D

C

A

x

E

F x

B

思路导析:明确平面图形中切割的规则 ,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系 ,确定包装盒中位置 关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题(1)中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来,观察其特点,用 一元二次函数最值解决问题 .问题(2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征 ,通过求导,研究函数性质,求 相应最值. 解:设该盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) ,由已知得

a ? 2 x, h ?

60 ? 2 x 2

? 2 (30 ? x),0 ? x ? 30.

(1)由题意包装盒侧面积 S ? 4ah ? 8x(30 ? x) ? ?8( x ? 15) 2 ? 1800 , 所以当 x ? 15 时,S 取得最大值.
2 2 3 (2)由题意知, V ? a h ? 2 2 (30 x ? x ), (0 ? x ? 30), V ? ? 6 2 x ( 20 ? x ) .由 V ? ? 0 得 x ? 0 (舍)或

x ? 20 .由于当 x ? (0,20) 时,V ? ? 0;当x ? (20,30)时V ? ? 0 ,所以当 x ? 20 时,V 取得极大值,而且为唯
一极大值,故也是最大值,此时

h 1 1 ? 该盒的高与底面边长的比值为 . 2 a 2

规律总结:几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和体积最大或最 小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行. 上述题中,
2

两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几 何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因 为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并 研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二. 变式训练 1 今有一块边长 a 的正三角形的厚纸,从这块厚纸的三个角,按右图那样切下三个全等的四边形 后,做成一个无盖的盒子,要使这个盒子容积最大, x 值应为多少?

题型二 费用最省问题 例 3 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均 为半球形, 按照设计要求容器的体积为

80? 立方米, 且 l ? 2r .假设该容器的 3

建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半 球形部分每平方米建造费用为 c, (c ? 3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r . 思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成 ,而且只涉及表面积问题 ,所以将圆柱的侧面积和两个 半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式. 解:(Ⅰ)因为容器的体积为

80? 80? 80 4r 4? r 3 ? ? r 2l ? 立方米,所以 ,解得 l ? 2 ? ,所以圆柱的侧 3 3 3r 3 3

面 积 为 2? rl = 2? r (

80 4r 160? 8? r 2 2 ? )? ? , 两 端 两 个 半 球 的 表 面 积 之 和 为 4? r , 所 以 y ? 2 3r 3 3r 3

160? l ? 8? r 2 + 4? cr 2 ,定义域为(0, ). r 2
' (Ⅱ)因为 y ? ?

20 160? 8? [(c ? 2)r 3 ? 20] ' ' 8 ? cr ? 16 ? r + = ,所以令 y ? 0 得: r ? 3 ; 令 y ? 0 得: 2 2 c ? 2 r r
3

0?r ?

3

20 20 ,所以 r ? 3 米时, 该容器的建造费用最小. c?2 c?2

规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的导数,先求函数 的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函 数定义域的影响. 变式训练 2 设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路 运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 题型三 利润最大问题 例某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/ 千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 ,a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可 x ?3

售出该商品 11 千克. (I)求 a 的值; (II)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

思路导析:问题(I),由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求 a 的值.问题(II),用 x 表示 该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后 确定利润最大的时刻. 解: (I)因为当 x ? 5 时, y ? 11,代入 y ? (II)由(I)知,该商品每日的销售量为 y ?

a a ? 10( x ? 6) 2 得, ? 10 ? 11, a ? 2 . x ?3 2

2 ? 10( x ? 6) 2 ,所以商场每日销售该商品所获得的利润为 x?3

f ( x) ? ( x ? 3)[

2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 x?3

? 2 ? 10( x ? 3)(x 2 ? 12x ? 36) , (3 ? x ? 6) .所以, f ?( x) ? 10( x ? 6) 2 ? 20( x ? 3)(x ? 6) ? 30( x ? 4)(x ? 6) .于是,当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下
表:

x
f ?( x)

(3,4) + 单调递增

4 0 极大值 42

(4,6) - 单调递减

f ( x)

4

由上表可知, x ? 4 是函数 f ( x) 在 (3,6) 上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点,所以当 x ? 4 时,函数 f ( x) 取得最大值,最大值为 42. 答:当销售价格为 4 元/千克时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大. 规律总结:在上述问题中,首先需要建立利润的数学模型,即写出利润关于销售价格的函数关系式.由于 所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判 断函数的最值情形 .因为实际问题往往会有更为具体的定义域 ,所以在求函数最值时 ,要充分注意函数定义 域的影响. 变式训练 3 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索 赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润 x(元)与年产量 t(吨)满 足函数关系, x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格). (1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t (元) ,在乙方按照获得最大利润的产量进行 生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?
2

五、随堂练习
1. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积为最大,则高为( A. )cm.

3 3

B.

10 3 3

C.

16 3 3

D.

20 3 3
) .

2. 以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为 ( A.10 B.15 C.25 D.50 ) .

3.若一球的半径为 r ,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为 ( A. 2?r
2

B. ?r

2

C. 4?r

2

D.

1 2 ?r 2
.

4.要建造一个长方体形状的仓库, 其内部的高为 3m, 长和宽的和为 20m, 则仓库容积的最大值为

5. 统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升),关于行驶速度 x (千米/小 时)的函数解析式可以表示为: y ?

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120 ) ,已知甲乙两地相距 100 千米.当 128000 80

汽车以(千米/小时)速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少? 6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时 10 公里时的燃料费是每小 时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,问此轮船以何种速度航行时,能使行驶每公里的费 用总和最小?
5

六、课后作业
1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V ,那么其表面积最小时,底面边长为( A.
3

)

V

B.

3

2V

C.

3

4V

D. 23 V

2. 制作一个圆柱形锅炉,容积为 V 两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元,侧面的材料每单位面积价格 为 b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是( A. )

a 2b

B.

a2 2b

C.

b 2a

D.

b2 2a

3. 做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27? ,且用料最省则圆柱的底面半径为. 4. 去年初,某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品.若该商品零售价定为 p 元,则销售量 q (件)与零
2 售价 p (元)有如下关系 q ? 8300? 170p ? p .那么该商品零售价

为元时,毛利润最大?(毛利润=销售收入一进货支出) 5.现有 10000 元资金可用于广告宣传或产品开发.当投入广告宣传和产品开发的资金分别为 x 和 y 时,得
1 2 x 3 y 3 .求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.

到的回报是 P ?

6.如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2 r ,短半轴长为 r ,计划将此钢板切割成等腰梯形的形 状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD ? 2 x ,梯形面积为 S. (1)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积 S 的最大值.

6